相似三角形中（双）8字型模型（4大题型）（专项训练）-北师大版九年级数学上册（附答案）

专题05相似三角形中（双）8字型模型

目录A题型建模.专项突破

题型一、“8”字模型

题型二、反“8”字模型

题型三、平行双“8”字模型

题型四、“A”字模型与“8”字模型综合

B综合攻坚-能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、“8”字模型

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再看.一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就

可以判定这两个三角形相似.

条件：如图1,AB//CD-结论:

OB

~OD'

1.如图，平行四边形48CO,E是48延长线上一点，DE交BC于点、F,若

垂足分别为8、C,4c与8。交于点E,过点

E作EF上BC,垂足为广.

试卷第1页，共10页

EFEF

(1)求证:--------1--------

ABCD

(2)连接力人。尸，求证：EF平分NMD.

题型二、反“8”字模型

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就

可以判定这两个三角形相似.

反“8，，字模型条件：如图2,乙4=4。；结论:

△AOBFDOC0备=%=压

3.如图，8ZXAC相交于点P,连接8C、4),且N1=N2,4)=3DP=2,

CP=1,求8c的长.

D

⑴求证：ADBESACEF；

(2)求。尸的长.

题型三、平行双“8”字模型

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就

可以判定这两个三角形相似.

试卷第2页，共10页

If

平行双“8”字模型条件：如图3,AB//CD；结论：==

DFCFCD

5.如图，在平行四边形中，点石是/D上一点，连接此并延长交4。于点

若DC=2DF,则黑的值为（）

A.-B.7C

-ID・I

6.如图，四边形力是平行四边形，点E是眼延长线上一点，连结

BD交于点F,G.

。)若BE=3CD,8c=12,求"'的长.

(2)求证：GC2=GFGE.

题型四、“A”字模型与“8”字模型综合知识点总结

1.模型构成与判定：力字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△43C中,

DE//BC,形成△4QE与△4BC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角

形（如力8〃CQ,力。与BC相交于点。，形成△/OB与△C。。），均通过“两角对应相等“

判定相似.

2上匕例线段关系：相似三角形对应边成比例，％字模型中空=斐=罢，8字模型中

ABACDC

试卷第3页，共10页

益=期=条，可用于线段长度计算或比例转化.

解题技巧

1.识别模型特征：抓住“平行线''或"公共角''关键标志，快速定位力字（含公共角+平行线）

或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系.

2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤

其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）.

7.如图，正方形边长为4,点E在边CZ）上，射线力石与射线8c交于点

⑴若CE=1,求C/的长;

（2）求证：DEBF=\6.

8.如图，在菱形48c。中，点歹在边C力上，连接一并延长，交对角线于点

⑴求证：4E是EG、M的比例中项；

（2）若8c=6,DF=4,求等的值.

9.如图，在△力8C中，点。，E,产分别在边力8,AC,8c上，连接OE,DF,

BE，。厂与航交于点G.已知四边形。叱E是平行四边形，且D分F=：2.

试卷第4页，共1（）页

A

(2)若四边形GkE的面积为48,求MB。的面积.

10.如图，力。是口49CQ的对角线，在4。边上取一点凡连接"交4C于点£,

并延长即交C。的延长线于点G.

⑴若=4CF,求证：AECFSAEGC.

(2)若QG=OC,BE=6,求EV的长.

⑶在(2)的条件下，若S—EF=3,求S四边形CME.

综合攻坚•能力跃升」一、单选题

(25-26九年级上•上海•课后作业)

11.如图，ABLBD,EDLBD,垂足分别为8、。，则下列各式中正确的是

()

AECBD宜ACBC「ECAC、ACBC

ACDCaAEDC~BDDCECDC

试卷第5页，共10页

（24-25九年级卜••陕西西安•期中）

12.如图，在平行四边形48C。中，点E在刃的延长线上，且花=＞。，连接CE

交BD于点、F,交力8于点G,则%GC：S四边形和e的值是（）

A.3:5B.5:3C.5:7D.3:4

（24-25九年级上•全国•期末）

13.如图，在正方形ABCD中，G为。。的中点，连接AG并延长，交BC

边的延长线于点E,对角线BD交AG于点F,已知AF=2f则线段AE

的长是（）

A.16B.12C.10D.6

（2025•江苏南京•三模）

14.如图，.4。与BC相交于点。，过点。的直线与C。分别相交

8=4,则下列关系正确的是（)

AOI「EO1eAD1

D——=-

CO2c拓=5•BC2

二、填空题

（25-26九年级上•全国•期中）

15.如图，AB//CDrAD,8。相交于点E,若心DE=1:2,48=2.5,则CD的

试卷第6页，共10页

（24-25九年级下•辽宁抚顺•阶段练习）

AF

16.如图，己知小〃8C,CQ和8E相交于点。，S乙DOE；S,OB=9:25，则”=

（2025・宁夏•模拟预测）

17.如图，4B,。相交于点O,0c=2,OD=4,AC//BDtE广是AOD5的中

位线，且痔=2,则"的长为.

（24-25九年级上•广东江门•期末）

18.如图，AB//GH//CDf点〃在8C上，AC与BD交于点G,AB=2t

BG：0G=2：3,则G〃的长为.

三、解答题

（24-25九年级上•陕西榆林•期中）

试卷第7页，共10页

19.如图，△45C的顶点力是线段也的中点，PQ//BC,连接PC、QB,分别交

AB、AC于例、N,连接MN,求证：NM//BC.

（24-25九年级下♦安徽合肥•开学考试）

20.如图，点Q,C分别在4上，BC交DE于点、F,

ZADE=NACB,8。=8,CE=4,6=2.

（1）求证：△BDFs»ECF・、

（2）求。尸的长.

（24-25九年级上•四川眉山・期末）

21.如图，平行四边形力8C。中，点E为。。边上任意一点（不与点。、。重合）,

连接AE并延长与BC的延长线交于点F.

（1）图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来.

△AODsj,"OBs△="BDJ-FAADESA_s&_

（2）若$CF=22=6,求所的长及C怒F的值•

oC3L）C

（24-25九年级上•广东阳江•阶段练习）

22.在中，4c8=90。，BE是力C边上的中线，点。在射线8c上.

试卷第8页，共1（）页

A

A

CDI

(1)如图1,点。在8c边上，—力。与8E相交于点P,过点/作

DL)2

AP

交初的延长线于点凡易得芸的值.请你写出求解过程.

(2)如图2,点。在8C的延长线上，力。与边上的中线“的延长线交于点P,

CD1求塔的值.

~BC~2

(2025•广东佛山•三模)

23.综合与实践

如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四

边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做，垂

对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点

(1)理解应用

如图1,在。49CO中，AEtBD于点P,交CD于点E,若E为C。的三等分点,

则口口"C。是垂对三等分平行四边形，尸是垂三等分点,若DE=*D,

DE=47,RP=6,贝lJOA=；AD=

(2)问题探究

如图2,在垂对三等分平行四边形48。中，尸是垂三等分点，且满足

AE=^AB.若CE=CB,试猜想8。与8c的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸

已知四边形力BCQ是矩形，过点力作力于点尸，交CD于点、E,AB=9f当

试卷第9页，共10页

四边形力是垂对三等分平行四边形时，直接写出4。的长度.

(2025•吉林松原•二模)

24.【模型学习】

构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法.例如：如图①,

。是△谡。的边48上一点，E是4。的中点，过点。作交OE的延长线

于点凡可得到

【初步运用】

(1)如图②，在正方形力5c。中，点E是48上一点，点/是3c的延长线上一

点，且满足AE=C〃，连接律交为C于点G,过点上作EM_L相交4C于点M,则

EG和FG的数量关系为;

【深入探究】

(2)如图②，在(1)的条件下，连接。G并延长，交BC于点H,若BH=5,

BE=12,求正方形的边长；

【拓展迁移】

(3)如图③，在矩形48CQ中，AB=2BC,点E在48上，点尸在4c的延长线

上，且满足/E=2CE,连接物交力C于点G.判断施与CG之间的数量关系.

试卷第10页，共10页

1.2:3

【分析1本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，由平行四边形的性质可

得DC//AB,DC=AB,AD=BC,则可判定ACDFs^BEF,从而可得比例式，结合DC=AB,

AD=BC及BE:AB=1;2,可得答案，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

【详解】解：•.•四边形48co是平行四边形，

:.DC"AB,DC=AB,AD=BC,

:.ACDFSABEF,

：.BE:DC=BF:CF,

•：BE:AB=1:2,DC=AB,

:.BE-.DC=BF.CF=\,2,

:.CF:BF=2:\,

:.CF:BC=2:3、

•••AD=BC,

.'.FC:AD=2:3.

故答案为：2:3.

2.(1)证明见解析

(2)证明见解析

FFCFFFRF

【分析】(1)证明和可得一=—,—=—,相加即可

ABBCCDBC

求证；

A/?RFRFRF

(2)证明可得差=若，又由平行线等分线段定理得妥=华，即得

CDDECFDE

ARBF

—=—,进而可得△川行即得到/彳必=NQR?,即可得///£=/£＞产E,即

CDCF

可求证；

本题考有了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质

是解题的关键.

【详解】(1)证明：•.Y8_L8C,EF1BC,

:.EF//AB,

:.ACEFs^CAB,

EFCF

:.----=-----,

ABBC

答案第1页，共23页

同理可得，ABEFS/DC,

EFBF

二=,

CDBC

EFEFCFBFBC,

:.----1-------=-----1-------==1；

ABCDBCBCBC

(2)证明：CD上BC,

:.AB//CD,

•••AABES^CDE,

ABBE

二---=---,

CDDE

-EFIBC,CD上BC,

.'.EF//CD,

BFBE

：'~CF~~DE'

ABBF

：''CD~'CFf

•：N4BF=NDCF=90。,

：.4ABFs^DCF,

A乙4FB=ZDFC,

•：4BFE=ZCFE=90°,

:"BFE-NAFB=NCFE-NDFC,

BPNAFE=NDFE,

:.EF平分乙AFD.

3-1

【分析】本题考查相似三侑形的判定与性质.先证明△，4POsZx4PC,根据相似三角形的

性质即可求出答案.

【详解】解：vZl=Z2,Z.DPA=Z.BPC,

..△APDs^BPC,

ADPD

,・--=---,

BCCP

,CPAD1x33

oDCZ=------------------——,

PD22

3

8C的长为

4.(1)见解析

答案第2页，共23页

（2）DF=5

【分析1（1）利用平角和已知先说明N8Qb=N£b,再通过相似三角形的判定说明

△DBFSKEF；

（2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论.

本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的

关键.

【详解】（1）证明：•••//。£=/力。，ZJDE+Z5Z）F=180o,4CA+NEC"=180。，

."BDF=NECF,且NDFB=NCFE,

:sDBFsKEF；

(2)解：•,FDBFSKEF,

二丝=理，且80=10,CE=6,CF=3,

DFCF

“DB・CF10x3仁

二Dr=---------=-------=5.

CE6

5.C

【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性

质，熟练掌握以上知识是解题的关键.由平行四边形的性质可得40〃8。、AB〃CD,根

PGA（Z4GAR7

据平行线分线段成比例定理可得黑==，再证△/IAGS^WG,则可得会=笑=、

BGGCGCCF3

从而可得F会G=32

O（J3

【详解】解：•:DC=2DF,

设DF=k,则。C=2左，CF=DC+DF=3k,

•••四边形48CQ是平行四边形,

/.AD//BC,AB=DC=2k,AB//CD,

EGAG〃八

—=——，AB〃CF,

RGGC

ZBAG=ZGCF,ZABG=NF,

:.^ABGs^CFG,

AGAB2k2

/.——=——=—=-,

GCCF3k3

•_E_G___2

BG3

故选：C.

答案第3页，共23页

6.（1）力b=8

⑵证明见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行

四边形性质证三角形相似求解.

（1）根据平行四边形的性质，可得=AB//CD,AD=BC,从而可证

△EAFSQF,利用相似三角形性质求解，即可求得力尸的长；

（2）根据平行四边形的性质，可证/CGSAOR7,ADCGSABEG,从而可得£|=空，

GEGB

GFGD十./日GCGF..,、

7^；=7^D,再可得不^二大不，从而证得G。-=G/GE.

GCGBGEGC

【详解】（1）解：•••四边形彳8CZ）是平行四边形，8C=12,

.AB=CD,AB//CD,AD=BC=\2,

.△EAFs^CDF,

AFAE

~DF~~DC'

•BE=3CD=3AB,

.AE=2CD,

AFAE2CD-

.-----=------=-------=2,

DFDCCD

.AF=2DF,

22

.AF=—JD=—xl2=8•

33

(2)证明：在平行四边形49C。中，AB//CD,AD//BC,

IADCGS^BEG,ABCGSADFG,

♦:4DCGs^BEG,

.GCGD

"~GE~~GB'

，；ABCGS4DFG,

,GFGD

"GC~~GB，

.GCGF

"~GE~~GCy

GC2=GEGF.

4

7.(l)y

(2)见解析

答案第4页，共23页

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质.

(1)通过证明由相似三角形的性质可求解：

r)FAn

(2)通过证明△力8/可得笔=黑，可得结论.

ABBF

【详解】(1)解：•••四边形48CO是边长为4的正方形，

AD〃BC、AB=AD=BC=CD=4,

..△DAEsACFE,

DEAD

~CE~~CF

CD-CEAD4-14

--------=——，即H----=——

CECF1CF

4

:,CF

3

(2)证明：•.•力。〃8。，

ZDAF=ZF,

•••在正方形/WCQ中，/D=/B=90。,

：.4ABFsdDE,

.DEAD

一下一旅’

DEBF=\6.

8.(1)见解析

琮

【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三

角形的判定与性质成为解题的关键.

(1)根据菱形的性质可得力。〃8。，AB//CD,则△力EDs^GEB、")EFS^BEA可得

《=黑，黑=黑，进而得到第=筝，从而证明结论；

EGBEAEBE乜G月七

(2)根据菱形的性质可得4)=CQ=BC=6,进而得到CE=2,再证明可得

若RF=笠AF=怒AR=34,再证明可得当GF=黑RF=29,即:AE=?^GE；然后代入

DEEFDF2AEDE23

AE2=EFEG即可证明结论.

【详解】(1)证明：•••四边形/BC。是菱形，

:.AD〃BC,AB〃CD,

:"EDs&GEB,^DEFSABEA,

答案第5页，共23页

AEDEEFDE

''~EG~~BEy^E~~BE

AFPF

访=方,即店=上届，

：.AE是EG、E/的比例中项.

（2）解：•••四边形力8co是菱形,

:，4D=CD=BC=6,

•.•。尸=4,

:.CF=CD-DF=2,

vAD〃BC,

二"BEs^FDE,

BE_AE_AB_6「3

~DE~~EF~~DF~1~2

vAD//BG.

:."DEs^GBE,

式二匹」，即：AE=2E,

AEDE23

-\1-3GEEF-EG,

44

：.—GE，=EFEG,即一GE二E/，

99

—GE

,-.EFg4.

'EG~GE-9

9.(l)4E=10,GF=9

(2)125

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质.

（1）根据平行四边形的性质得出。E〃8C,DF//AC,DE=CF,即可得

△4DES2BC,ABFG/ABCE,再根据相似三角形的性质及比例的性质即可;

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可.

【详解】（1）解：•••四边形"CE是平行四边形,

：.DE//BC,DF//AC,DE=CF,

:.△ADES/\ABC,

答案第6页，共23页

AEDE2

■JC-^C-5,

-AC=25,

・•・/£=10,

.•"=25-10=15,

DECF2

'~BC~~BC~~5"

BF3

/.——=-，

BC5

•.•DF//AC,

.FBFGSABCE,

FGBF3

'~CE~~BC~~5y

/.GF=9；

(2)解：YABFGSABCE,—=",

BC5

S,BCE15)25

S^BFG+S四边形GFCE=S&BCE»

.S四边形GFCE-25-9二16

S.E一五'

•••四边形G/7CE的面积为48,

S^BCE=75,

AE2

v--=—,

AC5

CE3

.*.--=—,

AC5

S.BCF3753

,寸瑟，即L、

°“/BC」」

解得S“时=125.

10.(1)见解析

(2)3

(3)15

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形

相似时，应注怠利用图形中己的的公共角、公共边等隐含条件.

答案第7页，共23页

(1)依据等量代换得到/灰/=NG,依据NCb=NCEG,即可证明△EC/S^EGC；

(2)依据48=CO=OG,可得48=gcG,依据48〃CG,即可得出EG=12,8G=18,再

根据/仍〃。G,可得，进而根据后产=86-4E解题；

(3)过点力作力，_L8产于点，，由(2)知BE=6,EF=3,由5“即=力〃=3,求出

1RFARAr

4H=2,即可求出S“版=彳8-4/=6,再根据户sSG尸，得到左=W=WT=1，

2GrDGDk

推出力少=。〃，证明得到，=；,推出^^二；,求出S&w,=12,从

2»ZXC£6,

而求出S%8C=SMM+，.£=18,再根据平行四边形的性质得到

SXACD=SA.：+S四边形WE=18，即可求解.

【详解】(1)证明：•••o/BCO中，AB//CD,

/.AB//CG,

:"ABF=NG,

又•••NABF=ZACF,

:"ECF=NG,

又•••Z.CEF=NCEG,

.•.△ECFS^EGC；

(2)解：•.•平行四边形,4夕。中，AB=CD,

又•:DG二DC,

:.AB=CD=DG,

:.AB=—CG,

2

•••AB//CG,

:.AABES^CGE,

ABBE1

:•==,

CGGE2

即"-=L

EG2

EG=12,

BG=BE+GE=18,

•••AB//CG,

:.“8卜SWG卜,

答案第8页，共23页

BFAB,

=1,

GFDG

：.BF=LBG=9,

2

：.EF=BF-BE=9-6=3；

（3）解：过点/作力〃_L8尸于点，,

由（2）知

,：S“EF=；EFAH=3,

二.AH=2,

S.f.F=—BE-AH=6,

"BFsQGF,

BFABAF,

----=-----=-----=1,

GFDGDF

：.AF=DF,

vAD//BC,

4AEFs^CEB,

.AF1

"~BC=2，

.S4\EF二1

SACEB4

**S&CEB=]2,

S&ABC-S&CEB+S&18E=18，

SgCD~S&AEF+S四边形或房=18,

•C-15

一」四边形CD尸E-1」•

11.D

答案第9页，共23页

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的

关键.先证明再根据对应边成比例判断即可.

【详解】证明：，,45_L8D,ED工BD,

/B=/D=90。,

NACB=ZDCE,

.'.^ABC~&EDC、

.AC_BC

"~EC~~DC'

故选：D.

12.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质.根据平行四边形的性质

得到AD=BC,AB//CD,再证明“EGs/CG,利用相似的性质得到

2=（会］=4,证明△^GSAEOC,利用相似比得到詈［黑［=』，所以

S,GM口9S皿.［ED）16

：

S四边彩ADCG=15S的G»然后计算S^BGCS四边形mcG的值•

【详解】解：•.・四边形力8c。为平行四边形，

AD//BC,AD=BC,AB//CD,

vAE//BC,

:.AAEGS^BCG,

1

°ABCG9

即SABCG=9s“EG，

-AG//CD,

.•.△EAGSAEDC,

:

.—J且丫/EA丫=m_i

S.EDC刃\EA+AD)UJ16

即邑ex=16S&EAG»

A§区边彤ADCG=15SA%G，

S«HGC：S双边渺ADCG=9S"EG：1=3：5

答案第10页，共23页

故选：A.

13.D

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,

止确掌握相关性质内容是解题的关键.先结合正方形的性质得出力4=8,AB\\CDy

AD〃BC,再证明/，然后证明△彳G。安4EGC,即可作答.

【详解】•••四边形48co为正方形，

AB=CD,AB||CD,AD//BC,

•••G为CD的中点，

AB=CD=2DG,DG=CG,

-AB//CD,

:"ABF=ZGDF,Z.BAF=NDGF,

:.△ABFsAGDF.

AFAB.

----==2,

GFGD

,-.FG=-AF=\,

2

:.AG—3.

vAD//BC,

：.ZADC=ZECD=90°,

vDG=CG,/AGD=NEGC,

:."GD知EGC,

:.AG=EG,

•••AE=2AG=6,

故选：D.

14.C

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性

质是解本题的关键.

由得到△404SAQ0C,"OESADOF,ABOEsRCOF、进而求解即可.

【详解】解：YAB//CD

：.4AOBs4DOC,AAOES^DOF,△BOEsROF

答案第11页，共23页

ABOAOBOE_AEBE_2_1

故选：c.

15.5

【分析】由平行线的性质求出N8=4C,乙4=小将AEABsAEDC,再由相似三角形的性

质求出线段C。即可.

【详解】解：■:AB〃CD,

:.乙B=iC,乙A=LD,

〜△EOC,

:.AB：CD=AE：DE=\：2,

又,M8=2.5,

：.CD=5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判

定与性质.

16.|

【分析】本题考杳的是相似三角形的判定与性质，先证明△OQES^OCB,利用相似三角形

Apr)p1

的性质可。£AC=3:5,再证明可得下==二彳，从而可得答案.

ACBC5

【详解】W：-DE//BC,

："DEO=NOBC,ZODE=NOCB,

:.AODES^OCB,

S&DOE•SKOB=9:25,

:.DE:BC=3:5,

♦:DE"BC,

•••"DEs“BC,

AEDE3

：,---=---=—，

ACBC5

•_A_E_—_3

EC-2’

故答案为：|.

答案第12页，共23页

17.2

【分析】先依据三角形中位线定理求出04的长度，再由4cli8。判定“0C与力0。相似,

最后根据相似三角形对应边成比例求出力C的长.本题主要考查三角形中位线定理、相似三

角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定及性质是解题的关键.

【详解】•••£（尸是△OOB的中位线，

:.DB=2EF=2x2=4.

vJC||BD,

:.4Aoes^BOD,

ACOC

•%---=---9

BDOD

AC2

o即n——=-'

44

解得力C=2.

故答案为：2.

18.-##1.2

5

【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行

线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

由平行线分线段定理可得/G:GC=8G:OG=2:3,即GC:力。=3:5；再证明

△GHCsjBC可得GC:AC-GH:,4B,即3:5-G4:2,然后求解即可.

【详解】解：.:ABHGH!lCD,

:.AG:GC=BG:DG=2;3,

.\GC:AC=3:5.

•:AB〃GH,

：gGHCs“BC,

：.GC:AC=GH:AB,即3:5=G〃：2,解得：G〃=E.

故答案为：g.

19.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的

PAAU

关键.根据尸0〃4C,可知“QNS£BN,从而有2=鬻，

BCMB

答案第13页，共23页

AQAN....，八_AMANAM4V...…八，八•..

——=——,结合n。月二月0,推出=——,=——,结合NBAC=NMAN,推出

BCNCMBNCABAC

△ABCS&AMN,根据相似三角形对应角相等，可知N40N=//18C,从而得证.

【详解】证明：丁点力是线段也的中点，

PA=AQ,

•：PQ//BC,

；APAMS&CBM,4AQNS4CBN,

PAAMAQAN

,AMAN

AMAN

又•••ABAC=/MAN,

:AABCsAAMN,

："AMN=/ABC,

:.MN〃BC.

20.⑴见解析

(2)4

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三角形的性

质时利用相似比进行几何计算.

(1)根据等角的补角相等，由乙4。£=44。8得至IJN8O尸二Nfb,加上对顶角相等得到

ZBFD=Z.EFC,然后根据相似三角形的判定方法得到结论；

(2)由于△BDFsAECF,则利用相似三角形的性质得到。":b=AQ：CE,从而根据比例的

性质可求出D尸的长.

【详解】(1)证明：•.•N4»=N4C8,

：2BDF=ZECF,

vABFD=/EFC,

：.ABDFsAECF：

(2)解：•：4BDFs4ECF、

:.DF:CF=BD:CE,

答案第14页，共23页

,:BD=3CE=4,CF=2,

.-.DF:2=8:4,

.-.DF=4.

21.⑴FOB；EODiCDB；砌；FCE

CF2

⑵即=10,灰与

【分析】本题考直相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题

意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

（1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形；

CF9CF

（2）根据m=弓，=6,平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得BF的长及—

Lj。X-ZV--

的值.

【详解】（1）解：••・四边形力8C。是平行四边形，

AD//BC,AB//CD,

CAODSAFOB,AAOBSAEOD,"BDSACDB,"DEs^FCE,△ADEs^FBA,

△FCES^FBA,

:'"DES^FBASAFCE：

故答案为：FOB；EOD；CDB；FBA；FCE；

（2）解：•••四边形45。是平行四边形，

AAB=CD,AD=BC,

vAD=6,

•••BC=6,

vCF=—2,

BC3

••.CF=4,

,,BF=BC+CF=6+4=1D,

-EC//AB,

•••△FECSAFAB,

CEFC

FC42

V--=-=一,

FB105

答案第15页，共23页

CE2

二—=—,

AB5

CE2

•**=一,

DC5

CF2

即8户二10,——=-.

DC5

3

22.(1)；,过程见解析

呷

【分析】本题主要考杳了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结

合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键.

(1)先证"EF知CEB,则有4b=8C.设CO=%,则D3=2k,AF=BC=34，由力尸〃BC

可得“PFsgPB,然后根据相似三角形的性质求解即可；

CD1

(2)如图：过点4作力少〃力3,交砥的延长线于点尸，设。C=Z,由==彳得

BC2

BC=2k,DB=DC+BC=3k.易证"EF咨ACEB,则有AF=BC=2k.易证

△APFS&DPB,然后根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)vAF//BC,

.-.ZF=ZEBC,

・••的是力。边上的中线，

:.AE-EC,

•:乙4EF=/BEC,

.•.△AEF知CEB(AAS),

:.AF=BC,

设CO=R,则。8=2〃,力尸=8C=3£,

•••AF//BCf

：・"PFS^DPB,

PAAF3

.*•==—；

PDBD2

(2)解：如图：过点力作力尸〃。〃，交8E的延长线于点E

答案第16页，共23页

FA

1

设。C=A'由C士D=上得8C=2〃,Q8=OC+8C=34.

BC2

•・•£是NC中点,

•••AE-CE.

vAF//DB,

:"F=4PBD,

在AAEF和KEB中，

NF=ZPBD

■Z.AEF=/BEC,

AE=CE

.•.△4£7&C£8(AAS),

AF=BC=2k,

•:AF〃BC,

•••"PFSQPB,

PAAF2k2

:.==——=—・

PDBD3k3

23.(1)2：而

(2)80=24。，理由见解析

(3)3百或3几

【分析】(1)由口45CQ得到/必〃CQ,得到ADEPS.P,根据相似三角形的性质即可求

出。尸.根据勾股定理在Rt△/中，求出/尸，进而在RtA/QP中求出4。；

BPEPBE2

(2)由o48C£)得至ij,得到△BEPs^ocP,因此=—^=—；=—,设

EP=2a,则CP=3。，BC=CE=5a,在RtaBCP中，根据勾股定理求得AP=4a,进而

3

有DP=QBP=6。,BD=DP+BP=\Oa，即可得到8Q=28C；

答案第17页，共23页

11PPDF1

(3)分两种情况讨论：①若。匹=：8=98=3,贝I」由△OEPs"力尸，得到F=F=Z，

33APAB3

DEEP

设EP=。，则/尸=3fP=3a,AE=AP+EP=4a,证明△。£'尸54力££),得到---=---,

AEED

求得1=•!，即彳£=6,在Rt△力。月中，根据勾股定理即可求出/1Q.②若

DE=^CD=^AB=6,同①思路即可求解.

【详解】⑴解：:。月=#。，DE=出,

:.CD=3DE=3币，

••・四边形488是平行四边形,

J.AB//CD,AB=CD=3行，

：•ADEPS^BAP,

DEDPnilV7DP

---=---，即-7==-----

ABBP336

:.DP=2.

'：AE1BD,

・•・在RJ48P中，AP=yl.4B2-BP2=^3^-62=3^,

在Ra/OP中，AD=>JAP2+DP2=^(3^)2+22=VJT.

故答案为：2；JJT；

(2)解：80=28。，理由如下：

•••四边形力8c。是平行四辿形，

:.AB//CD,AB=CD,

vAE—；AB,

22

...BE=-AB=-CD,

33

•；AB||CD,

:.ABEPS^DCP,

.BPEPBE2

'^DP~~CP~~DC~3,

•,・设EP=2a,则CP=3。，CE=CP+EP=5a,

：.BC=CE=5a,

答案第18页，共23页

•;CEA.BD,

•••在RlZSBCP中，BP=JifC2-CP2=yl(5a)2-(3a)2=4a,

BP2

•/——=-，

DP3

3

...DP=-BP=6a,

2

BD=DP+BP=\Oa,

'：BC=5a,

BD=2BC；

(3)解：分两种情况讨论：

ADEPS^BAP,

.EPDE\

,,方一万一3'

设EP=a,则片PuBEQub。，AE=AP+EP=4a,

•••AE±BD,

ZZ)PE=90°,

•••在矩形力8CQ中，N4QC=90。，

4DPE=ZADE,

•••Z.DEP=Z.AED,

入DEPs“ED,

.DEEPtin3a

AEED4a3

解得。=|(负值舍去)，

AE=6,

.•.在RJ4O七中，AD=ylAE2-DE2=373；

22

②如图，若DE=]CD=3.4B=6,

答案第19页，共23页

D.EC

..•在矩形48CO中，AB//CD,

-----------

：.ADEPS^BAP,

,EPDE2

7?二/二可

设EP=2b,则4P=36,AE=AP+EP=5b,

•/AELBD,

NOPE=90。，

•.•在矩形力8GD中，ZJ£)C=90°,

Z.DPE=ZADE,

•••4DEP=/AED,

：..DEPSAAED»

DEEP62b

：.——=——,即一=一,

AEED5b6

解得/>=手(负值舍去)，

/.AE=3JI6，

..・在Rt△/Of中，AD