浙江省杭州市西湖区某中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024・2025学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学九年级（上）期中数学

试卷

一,选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）若2a=3b（a,人均不为0）,则的值是（）

A.2B.3C.2:3D.3:2

2.（3分）“一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（）

A.不可能事件B.不确定事件C.必然事件D.随机事件

3.（3分）若二次函数），=。。+力2+C3±0）的图象，经过平移后可与），=（1+3）2的图象完全重合，则〃,

b,c的值可能为（）

A.6/=1,b=0,c=—2B.。=2,0=6,c=0

C.a=—\fb=—3,c=0D.a=-2,Z>=—3,

4.（3分）在比例尺为1:1500000的地图上，A,8两地间的图上距离为2厘米，则A,8两地间的实际

距离是千米（）

A.0.3B.3C.30D.300

5.（3分）在R/ZkABC中，ZC=90°,如果sinA=1,那么下列各式正确的是（）

4

A.AB=4ACB.AB=4BCC.AC=4BCD.BC=4AC

6.（3分）如图，AB//CD/fEF,A厂与况相交于点G（点G在CD,七厂之间），若AC=3,CG=2,

GF=4,则处的值为（）

DE

EF

A.-B.-C.-D.-

2534

7.（3分）以下点可能成为二次函数y=-f+2/双顶点的是（）

A.（-2,4）B.（1,2）C.（-1,-1）D.（2,-4）

8.（3分）如图，在△ABC中，点O,E分别在AB,AC上，DE//BC,ZABE=ZAED,且A3=6,

4C=9,则CE的长为（）

A

A.9-3x/6B.4C.5D.3#

9.（3分）如图，在m/XABO中，斜边AB=1.若OC/IBA,Z4OC=36°,则（）

A.点4到AO的距离为sin54。

B.点8到的距离为lan36。

C.点A到OC的距离为疝136。41154。

D.点A到OC的距离为cos36Osin54。

10.（3分）已知到，内均为关于x的函数，当x="时，函数值分别为A，&，若对于实数*当Ovavl

时，都有则称y,当为亲函数，则以下函数、和为是亲函数的是（）

，1、

A・y=x+1,%=B.二+1,必=24—1

C.=x2-1,=--D.y=x?-1,y\=2x-1

x

二,填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

II.（3分）sin30°=.

12.（3分）在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试

验发现，摸出红球的频率稳定在0.5左右，则袋子中黄球个数可能是一个.

13.（3分）如图，若△A3C与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则&DE尸与△

A8c的周长比为

AB

14.（3分）图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AO和相交于点。，点

A、4之间的距离为1.2米，AB//CD,根据图②中的数据可得C、。之间的距离为米.

图①图②

15.（3分）设二次函数y=加+hx+c（4,b,c是常数，〃工0）,如表列出了x、y的部分对应值.

X•・•-5-3123・.・

y・.・-2.4m-2.40n・.・

则方程出+bx+c=〃?的解是，不等式尔+〃x+c>0的解集是.

16.（3分）如图，在矩形A8CO中，44=4,BC=6,E是BC的中点，将△€7）£：沿折叠，点C落

在能形内点尸处，连接4尸，则。尸=，sinZBEF=

三.解答题：（本大题有8个小题，共72分）

17.（8分）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为306时，达到最大高度10"?,

建立如图所示的平面直角坐标系.

（I）求球运动路线的函数表达式.

18.（8分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球.从中任

意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求：

（I）摸出的2个球都是白球的概率.

（2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率.

19.（8分）如图，在一个坡角为15。的斜坡上有一棵树，高为初，当太阳光线与水平线成54。角时，测得

该树斜坡上的树影BC的长为10/%延长45,交过点C的水平线于点D,求3。与树高AB（精确到0.1〃?），

（已知sinl50u0.259,cosl5°«0.966,tan15。弓0.268,sin54。々0.809,cos54°£0.588,tan540t1.376.供

20.（8分）己知二次函数y=o?+版-2的图象经过（-1,0）、（3,0）两点.

（I）求该函数解析式；

（2）当-lvxv2时，求y的取值范围.

21.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC.点。在BC上，点E在AC上，连结AD,DE,且4="DE.

（I）求证：△ABZMZkDCE；

（2）若AB=6,BD=2CE,求CD的长.

22.（10分）如图，在矩形ABC。中，点E,尸分别在CD,A。上，连结AE,BF,AE_L3户且AE=8尸.

（I）求证：AB=AD.

（2）连结日"BE,线段ED是线段AD与AF的比例中项.

①若AD=4,求线段斤D的长.

②求证：ADEFs^CEB.

D

23.(10分)己知二次函数y=Y-m+2)x+2a+l,

(1)若。=4,求函数的对称轴和顶点坐标.

(2)若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求。的值.

(3)若抛物线过点(T,%),且走于抛物线上任意一点(用,凹)都有))..此，若点5(2-m,p)是这

条抛物线上不同的两点，求证：+

24.(12分)问题情境:数学活动课匕王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形ABC。

的C"边上取一点七，将.沿地翻折，使点C’恰好落在边上点〃处.

实践探究：

(I)如图1,若80=284,求ZAfB的度数；

(2)如图2,当A3=6,且AF£D=12时，求QE的长；

问题解决：

八R

(3)如图3,延长瓦'，与NA8尸的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求—

BC

的值.

2024・2025学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学九年级（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共10小题）

题号1234567891()

答案DAACBAACCD

二.填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）sin30°=-.

一2-

12.（3分）在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试

验发现，摸出红球的频率稳定在。.5左右，则袋子中黄球个数可能是4个.

13.（3分）如图，若△A6C与△£>石尸都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△£>£尸与4

A8C的周长比为—血：1

14.（3分）图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，A。和C8相交于点O,点

A、4之间的距离为1.2米，AB//CD,根据图②中的数据可得C、Q之间的距离为0.96米.

图①图②

15.（3分）设二次函数y=依?+hx+c（a,b,c是常数，。工0）,如表列出了x、y的部分对应值.

X•••-5-3123・.・

y・..-2.4m-2.40n・..

则方程小+bx+c=〃?的解是_大=-3或工=-1_,不等式*+〃x+c>0的解集是

【解答】

工=-3或.丫=-1;1<-6或x>2.

16.（3分）如图，在矩形48CQ中，AB=4,BC=6,石是8c的中点，将△CZ）E沿/无价叠，点C落

74

在矩形内点尸处，连接8/，则C/=—,sinZBEF=

三,解答题：（本大题有8个小题，共72分）

17.（8分）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为30〃7时，达到最大高度1。/〃,

建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求球运动路线的函数表达式.

（2）球被抛出多远？

【蟀答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为y=g-30）2+10,

把(0,0)代入得〃=

90

117

.•・抛物线解析式为y=———(x-30f+10=———x2+-x；

90903

I9

(2)由(1)y=---x2+—x>

903

令y=0，x,=0>x2=60,

.•・抛物线与x轴的交点为（0,0）,（60,0）,

•••球被抛出60m.

18.（8分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球.从中任

意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求:

（I）摸出的2个球都是白球的概率.

（2）摸出的2个球中，1个是白球，I个是红球的概率.

【解答】解：（I）画树状图如下:

开始

小小小

红白白红白白红白白

共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种，

.♦•漠出的2个球都是白球的概率为士.

9

（2）由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种，

.••漠出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为3.

9

19.（8分）如图，在一个坡角为15。的斜坡上有一棵树，高为AB,当太阳光线与水平线成54。角时;测得

该树斜坡上的树影BC的长为10切，延长AB，交过点C的水平线于点。，求与树高AB（精确到0.1〃?），

（己知sin15。n0.259,cos15°«0.966,tan15°«0.268,sin54。=（）.809,cos54。、0.588,tan54°p1.376.供

【辞答】解：作CD_LA3于O.

在心△BCD中，BC=10m,/BCD=150,

:.CD=BCcosl5°«10x0.966=9.66(㈤,

4。=AC•sin15。*10x0.259=2.59(〃。；

在心△ACD中，CD=9.66m,Z4CD=54°,

AD=CDtan54°«9.66x1.376=13.292(，〃).

AB=AD-BD=\3.292-2.59«10.7(〃。.

答：树高10.7米.

20.(8分)已知二次函数y=aF+区-2的图象经过(—1,0)、(3,0)两点.

(I)求该函数解析式;

(2)当T<x<2时，求y的取值范围.

a-h-2=0

【解答】解：(1)将点(-1,0)和点(3,0)的坐标代入函数解析式，得

9〃+3/?-2=()'

2

a--

解得•

二次函数的解析式为y=|f-^x-2；

(2)•.•二次函数的解析式为)，=2/—±、一2,

33

二次函数的对称轴为人==1,

2a

•.•(7=->0,二次函数的开口向二，

3

时，y随x的增大而减小，当lvxv2时，)，随x的漕大而增大,

.W=1时，>取最小值，y=-g,

=时，y=0,x=2时，y=-2,

Q

综上所述：当Tvx<2时，函数y的取值范围为gyv。.

21.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC.点D在BC上,点石在AC上，连结AD,DE,且4=石.

(I)求证：

(2)若AB=6,BD=2CE,求CD的长.

A

:./B=ZC,

•/ZADC=NB+NBAD,

即ZADE+ACDE=NA+/BAD,

而4=NA。石，

:.^CDE=ZBAD,

/.△AB44DCE；

(2)解：•.•△ABLA△DCE,

ABBD

----=-----，

DCCE

•;BD=2CE,

,AB

・・-=2,

CD

：.CD=—AB=—x6=3.

22

22.(10分)如图，在矩形4bCD中，点E,厂分别在CD,AD上，连结AE,BF,AE_L8/且AE=8下.

(I)求证：AB=AD.

(2)连结日"BE,线段FD是线段4)与AF的比例中项.

①若AD=4,求线段㈤的长.

②求证：ADEFsAcEB.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABC。是矩形,

:.^BAD=ZADE=9(r,

...NA“+NA阳=90。，

.•.zm£+zAra=90°，

：.^ABF=ZDAE,

在△AB/和中，

NABF=NDAE

<NBAF=ZADE=90°,

fib=AE

:.^ABF^/^DAE(AAS),

AB=AD；

(2)①由(I)可知，AAB/二AZME,

.•.AF=DE,

.\DF=CE,

•.•线段DF是线段4厂与AO的比例中项，

..DF2=AFAD,

AD=4，

DF?=(4-DF)x4,

DF=-2+2x[5(负值舍去)；

②：线段是线段AF与AL)的比例中项,

.\DF2=AFAD,

,DFDE

HC~~EC'

,.2FDE=/BCE=X)。，

23.(10分)已知二次函数y=f-(a+2)x+2a+l,

(I)若a=4,求函数的对称轴和顶点坐标.

(2)若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值.

(3)若抛物线过点(-1,%),且充■于抛物线上任意一点(Xj,y)都有y..%,若点，BQ-m,p)是这

条抛物线上不同的两点，求证：??+〃>-8.

【解答】解：(1)・.・a=4,

/.y=x2-(4+2)x+8+l,

y=x2-6x+9,

y=(x-3)2,

.•・函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线x=3,(3,0)；

(2)函数图象向下平移一个单位得y=x2-(a+2)x+2a+l-1,

/.y=x2-(a+2)x+2a与x轴只有一个交点，

△=(a+2--4x2a=0,

解方程得：a=2；

(3)•.•抛物线过点(T,%),且对于抛物线上任意一点区,yj都有升.%，

.•.(-1,%)为抛物线的顶点，

抛物线的对称轴为x=-l,

4+2,

...------=-1,

2

ci=~~4，

抛物线为：y=x2+2x-l,

A(m,n),8(2-肛p)在抛物线上,

n=nr+2m-1»p=(2-m)2+2(2-in)-7,

/.n+p=tn2+2in-7+(ni-2)2+2(2-ni)-7,

n+p=2(w-1)2-8,

,4。〃,〃)，B(2-m,p)是这条抛物线上不同的两点，

。2-in，

:.m*1

/./!+/?>—8.

24.(12分)问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形ABCD

的CD边上取一点石，将△8CE•宿8石翻折，使