浙江省杭州市下城区某中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市下城区春蕾中学九年级（上）期中数学试卷

一、单选题（每题3分。共30分）

1.（3分）下列y关于尤的函数中，是二次函数的是（）

A.y=2x+\B.y=-丁-2尤C.y=5D.y=/+l

2.（3分）“明天下雨的可能性为80%”这句话指的是（）

A.明天一定下雨

B.80%的地区下雨，20%的地区不下雨

C.明天不一定下雨

D.明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨

3.（3分）设A（-2,ji）,B（-1,y2）,C（1,*）是抛物线y=（无+1）2上的三点，则与，.*的

大小关系为（）

A.yi>yi>y3B.yi>*>y2C.y3>y2>yiD.y3>yi>yi

4.（3分）一个扇形的圆心角是120。，面积为3网机2,那么这个扇形的半径是（）

A.V3cmB.3cmC.6cmD.9cm

5.（3分）已知二次函数>=0?+法+<:的变量x,y的部分对应值如表：

x…_3-2-101…

y...-11-5-111...

根据表中信息，可得一元二次方程a^+bx+c^0的一个近似解XI的范围是（）

A.-3<xi<-2B.-2<xi<-1C.-l<xi<0D.0<xi<l

6.（3分）如图，4B是OO的直径，弦COLAB于点E,连接AC,若NA=22.5。，AB=4五,则C£»的长

C.2V2D.3V2

7.（3分）抛物线〉=-3（『2）2-3可以由抛物线〉=-3/+1平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A.先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度

C.先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度

D.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度

8.（3分）如图，扇形AO8中，ZAOB=90°,半径OA=6,C是油的中点，CD//OA,交AB于点。，则

的长为（）

A.2V2-2B.V2C.2D.6V2-6

9.（3分）如图，四边形ABCZ）内接于AE_LCB交CB的延长线于点E,若平分NOBE,AD=6,

CE=4,则AE的长为（）

A.2B.3C.2V3D.2V5

2

10.（3分）设函数为=一（刀一m）2,y2=-（x-n）,直线尤=1与函数yi,”的图象分别交于点A（1,

ai）,B（1,42）,得（）

A.若1＜加＜〃，则。1＜。2B.若冽＜"＜1,则。1＜。2

C.若根＜1＜〃，则。1＜42D.若则。2＜a1

二、填空题（每题3分。共18分）

11.（3分）抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是.

12.（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植

1200棵，成活的大约有棵.

o2468101214数量（百棵）

13.（3分）如图，AB是半径为2的O。的弦，点C是O。上的一个动点.若点N分别是AB,BC中

点，则MN长的最大值是

14.（3分）如图，物理实验中利用一个半径为3cm的定滑轮提起祛码，小明向下拉动绳子一端，使得定

滑轮逆时针转动120。，则祛码被提起了C7W.（结果保留7T）

15.（3分）“圆''是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞.如

图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5处地面入口宽为1/77,则该门洞的半径为m.

16.（3分）已知A（xi,ji）,B（%2,y2）是抛物线上的两点，其对称轴是直线x=xo,若|尤1

70|＞应70时，总有户＞”，同一坐标系中有-2,0）,N（4,0）,且抛物线与线段MN有两个

不相同的交点，则。的取值范围是

三、解答题（8题，共72分）

17.（8分）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到8的电路为通路状态时，系统

1

正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为5,当某元件不能

正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

图］图2

(1)如图1,只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为；

(2)如图2,用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率.(用画树状图或列表

方法求解)

18.(8分)仅用“无刻度直尺”按要求画图，不写画法，保留画图痕迹.

(1)如图，8C为的弦，画一条与8c长度相等的弦；

(2)如图，正五边形A2CL芯内接于圆，请作出一条直径.

19.(8分)如图，己知一次函数yi=-x+机与二次函数为=a/+.一3的图象相交于点A(-1,0)、B

(2,-3),且二次函数与y轴相交于点C.

(1)求点m的值和二次函数的解析式；

(2)求二次函数的顶点坐标和对称轴；

(3)请直接写出当＞1＜山时，自变量的取值范围.

20.（8分）如图，AABC中，AB=AC,E■在AC上，经过A、B、E三点的。0交8C于点Z）,且防=DE.

（1）求证：AB为。。的直径；

（2）若48=8,N8AC=45。，求阴影部分的面积.

21.（8分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已

知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长尤（米），总占地面积为y（米2）.

（1）求y关于无的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料.求

总占地面积最大为多少米2?

XX

图1图2

22.（10分）如图，四边形ABCD内接于。0,ZBAD=90°,BC=CD,过点。作CE,使得CD=CE,交

AD的延长线于点E.

(1)求证：AB—AE；

(2)若AD=DE=4,求CD的长.

23.（10分）在平面直角坐标系中，设二函数yi=（x-m）（x+m+2）,其中加邦.

（1）求证：函数yi与x轴有交点；

（2）若函数y2=mx+〃经过函数yi的顶点，求实数〃的最大值；

（3）已知点尸（-3,a）,Q（xi,b）在函数yi的图象上，若定/?,求xi的取值范围.

24.（12分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂

点.

(图1)(图2)

(1)如图1,AB,AC是。。的等垂弦，0O_LAB,OE_L4c垂足分别为。，E.

求证：四边形AOOE是正方形；

(2)如图2,AB是。。的弦，作。OCLOB分别交。。于。，C两点，连接CD分别交A2、

。4与点/、点E.

求证：AB,CD是。。的等垂弦；

(3)已知。0的直径为10,AB、CD是。。的等垂弦，尸为等垂点.若AP=3BP.求A8的长.

2024-2025学年浙江省杭州市下城区春蕾中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DCDBCBCDDB

二、填空题（每题3分。共18分）

11.（3分）抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（2,-3）.

12.（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植

1200棵，成活的大约有960棵.

02468101214数量（百棵）

13.（3分）如图，48是半径为2的的弦，点C是。。上的一个动点.若点M,N分别是AB,8c中

点，则长的最大值是.

14.（3分）如图，物理实验中利用一个半径为3cm的定滑轮提起祛码，小明向下拉动绳子一端，使得定

滑轮逆时针转动120。，则祛码被提起了21cm.（结果保留it）

15.（3分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞.如

图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5相，地面入口宽为1处则该门洞的半径为1.3m.

16.（3分）已知A（xi,yi）,B（及，>2）是抛物线>=〃/+3%+1上的两点，其对称轴是直线x=xo,若|%i

-xo|>|x2-xo|时，总有yi>”，同一坐标系中有M（-2,0）,N（4,0）,且抛物线与线段MN有两个

5Q

不相同的交点，则。的取值范围是-^a<-r.

—4-4—

三、解答题（8题，共72分）

17.（8分）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到8的电路为通路状态时，系统

正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为去当某元件不能

正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

图］图2

1

（1）如图1,只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为-；

—2—

（2）如图2,用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率.（用画树状图或列表

方法求解）

【解答】解：（1）由题意得，该电路为断路的概率为去

,,心》,1

故答案为：

（2）将2个电子元件①、②正常工作分别记为R,R2,2个电子元件①、②不能正常工作分别记为瓦，

列表如下：

R1

R1(Ri,R2)（七,雨

(瓦,R2)（心时

共有4种等可能结果，其中系统正常工作的结果有有：（Ri,R2）,共1种,

•••系统正常工作的概率心

18.(8分)仅用“无刻度直尺”按要求画图，不写画法，保留画图痕迹.

(1)如图，为。。的弦，画一条与长度相等的弦；

(2)如图，正五边形ABCDE内接于圆，请作出一条直径.

【解答】解：(1)如图，即为所求；

E/

(2)如图，即为所求.

19.(8分)如图，已知一次函数yi=-x+:〃与二次函数%=a/+bx—3的图象相交于点A(-1,0)^B

(2,-3),且二次函数与y轴相交于点C.

(1)求点m的值和二次函数的解析式；

(2)求二次函数的顶点坐标和对称轴；

(3)请直接写出当yi<y2时，自变量的取值范围.

-x+m与二次函数丫2=CLX2+bx-3的图象相交于点A(-1,0)、

B(2,-3),把点A的坐标代入yi=-x+机得:

l+m=0,

解得：m=-1；

把点A,点B的坐标代入二次函数=CLX2+bx-3得：

(ct-b-3=0

(4a+2b-3=-3'

解得：

lb=—2

二次函数解析式为丫2=x2-2x-3；

22

(2)y2—x—2x—3—(x—l)—4,

抛物线的顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=l；

(3)yi<”，体现在形上，一次函数的图象位于二次函数图象的下方，

观察图象知，当x<-l或x>2时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方，

故当x<-1或x>2时，yi<yi.

20.(8分)如图，AABC中，AB=AC,E在AC上，经过A、B、E三点的交8c于点。，且丽=DE.

(1)求证：AB为O。的直径；

(2)若AB=8,ZBAC=45°,求阴影部分的面积.

A

[E

BD

【解答】（1）证明：连接A。，

'：BD=DE,

:./BAD=NCAD,XAB^AC,

：.AD±BC,

：.ZADB=9Q°,

...AB为。。的直径；

（2）TAB为。。的直径，

.•.点。在AB上，连接OE,

由圆周角定理得，ZAOE^ZBOE^90°,

：.阴影部分的面积=1X4X4+驾桨=8+4n.

L36U

21.（8分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已

知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长无（米），总占地面积为y（米2）.

（1）求y关于无的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料.求

总占地面积最大为多少米2?

【解答】解：⑴由题意得：y=^~^x=-^x2+^-x,

.*.x<46,

1r46

故：y=一/2+3》,(0<x<46)；

(2)由题意得：y=%：%=-.(%-24)2+192,

故：当％=24时，y由最大值192平方米;

22.(10分)如图，四边形A3CQ内接于NB4O=90。，BC=CD,过点。作CE,使得CD=CE,交

AD的延长线于点E.

(1)求证：AB=AE；

(2)若AZ)=O丘=4,求CD的长.

【解答】(1)证明：如图所示，连接AC

■:BC=CD,

：.BC=CD,

：.ZCAB=ZCAE,

•:CD=CE,

：.ZE=ZEDC,

VZB+ZC£)A=180o,ZC£>E+ZCZ)A=180°,

:./B=/EDC,

NE=/EDC

:./B=/E,

在△ABC与△AEC中，

ZB=(E

Z-BAC=Z.EACy

AC=AC

AABC^AAEC(AAS),

：.AB=AE；

(2)解：如图所示，连接5D

VZBAD=90°,

・・・BD是。。的直径，

：.ZBCD=90°,

由(1)可得A3=AE.

9

：AD=DE=4f

：.AE=AB=8.

：.BD=ylAB2+AD2=4V5,

23.(10分)在平面直角坐标系中，设二函数yi=(x-m)(x+m+2),其中加加.

(1)求证：函数yi与x轴有交点；

(2)若函数y2=mx+〃经过函数yi的顶点，求实数〃的最大值；

(3)已知点尸(-3,a),Q(xi,Z?)在函数yi的图象上，若介/?,求xi的取值范围.

【解答】(1)证明：yi=(%-m)(%+m+2)=%2+2%—(m2+2m),

:A=Z?2-4〃c=4+4xlx(m2+2m)=4(m+1)2>0,

・•・函数yi与1轴有交点；

2222

(2)解：yt=x+2x—(m+2m)=(x+l)—(m+l),

工顶点坐标为(-L-(m+1)2),

函数y2=mx+n经过函数yi的顶点，

-(m+1)2=-m+n,

13

则几=—m2—m—1=—(m+2)2—下

V-l<0,

.••当m=一2时，实数〃的最大值为一［；

L4,

(3)解：抛物线yi的对称轴为：x=-1,

:二次项系数。=1>0,开口向上，作草图如下:

泌，点Q(无1，b)在函数yi的图象上，

：.xi的取值范围为：-3<xi<l.

24.(12分)定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂

(1)如图1,AB.AC是。。的等垂弦，OZ)_LAB,OE_LAC垂足分别为。，E.

求证：四边形ADOE是正方形；

(2)如图2,A8是的弦，作。0CL08分别交。。于。，C两点，连接CD分别交A3、

0A与点M、点E.

求证：AB,CZ)是。。的等垂弦；

(3)已知。。的直径为10,AB、CD是。。的等垂弦，P为等垂点.若AP=33P.求A2的长.

【解答】(1)证明：AC是。。的等垂弦，

：.AB±AC.

VOD±AB,OE_LAC垂足分别为。，E,

・•・四边形ADOE是矩形.

9

：AB=ACf

11

：.AE=^AB=^AC=AD,

・•・四边形AOOE是正方形；

(2)证明：TAB是。。的弦，作