一元一次方程的应用（专项训练）-2024苏科版七年级数学上册（含解析）

专题03一元一次方程的应用（原卷版）

A题型建模•专项突破

题型一、一元一次方程应用之古代数学名著中问题...................................1

题型二、一元一次方程应用之销售问题.............................................2

题型三、一元一次方程应用之行程问题.............................................3

题型四、一元一次方程应用之工程问题.............................................5

题型五、一元一次方程应用之方案选择问题.........................................6

题型六、一元一次方程应用之分段收费问题.........................................8

题型七、一元一次方程应用之配套问题............................................10

题型八、一元一次方程应用之动点问题............................................12

B综合攻坚•能力跃升

题型建模-专项突破

题型一、一元一次方程应用之古代数学名著中问题

1.我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车

各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人

和车的数量各是多少？，，求人和车的数量.

2.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出

六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又

差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？

3.《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个,

大小和尚得几丁？”大意为：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分

完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题.

4.《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.

1/51

问：人数、鸡价各几何？

译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元.有几人？鸡的价格是多少元?

5.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”.内容为“远望巍

塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开

始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯.

题型二、一元一次方程应用之销售问题

6.某超市计划购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价、售价如表:

进价（元/件）售价（元/件）

甲2530

乙4560

（1）超市如何进货，进货款恰好为4600元.

（2）为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后,

乙型节能灯的利润率为20%,请问乙型节能灯需打几折？

7.已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了150元，其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖

中这家商店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少钱？

8.DeepSeek的出现，不仅为我国人工智能的发展注入新的活力，更让全世界见证了我国在AI领域的卓越

创新与突破.某人工智能研发公司要购进一种芯片，他们购买的这种芯片价格是：商家按成本提价60%后

2/51

标价，再打八五折卖给他们.结果商家每片这种芯片获利144元，求这种芯片的标价.

9.在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用=(商场的实际售价-旧家电的折合价)

x(l-20%).张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标

价的九折，张强的旧电视折合200元.经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了

30%.求这台电视机的标价是多少元.

10.一次数学课上，老师要求学生根据图示张刚和李东的对话内容，展开如下活动:

活动1：仔细阅读对话内容；

活动2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答.

下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答.

(1)如果张刚没有办卡，他应付多少钱？

(2)你认为买多少元的书办卡比原价购买便宜？

题型三、一元一次方程应用之行程问题

11.周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马.马场有一个如图所示的全长为800m的环形跑道，把跑道从

3/51

A,B,C,。处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从/,。两处同时出发，沿箭头方向

相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为4m/s,6m/s.

(1)多久后两人首次相遇？

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距80m?

12.甲、乙两车分别从A,B两地出发同向而行，乙车在甲车前面.甲车每小时行驶72km,乙车每小时行

驶48km,已知A,3两地相距120km.

(1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？

(2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距72km?

13.随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼

的首选.周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动.已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为3.6千

米.小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时

的速度向迎泽大桥方向跑步.两人同时出发，相向而行.

迎泽大桥五一广场

(1)两人出发后多长时间相遇？

(2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后

再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？

14.环形跑道一圈长400m,小明同学在跑道上练习骑自行车，平均每分钟骑350m；小军同学在跑道上练

习跑步，起初平均每分钟跑250m.

4/51

(1)若两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？

(2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑1分钟后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑150m,经过

多长时间首次相遇？

15.江岸区某校七年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学活动.小李同学因事迟到!小时才赶到学

6

校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车.已知小汽车的

速度比大客车的速度每小时多20千米，分别求大客车、小汽车的速度.

(1)若设大客车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为千米/时，小汽车追上大客车时，大客车从

学校出发已行驶的路程可表示为千米，小汽车从学校出发已行驶的路程可表示为千米;

(2)请列方程求大客车、小汽车的速度.

题型四、一元一次方程应用之工程问题

16.宇树科技的机器人H1接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线

的高效运行.H1有两种工作模式:常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据.为

了优化能耗，工程师让H1先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式.最终H1刚好在4小时内完成了

全部任务.问：机器人H1在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？

17.某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个A部件和3个8部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同

一种部件，每人每天平均生产A部件的个数比8部件的个数少6个，且每天6个工人生产A部件的数量与5

个工人生产B部件的数量相同.

5/51

(1)工厂每人每天平均生产A部件和B部件各多少个？

(2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的A部件和8部件配套?

18.甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙

工程队每天挖掘长度的L5倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的;.

(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米.

(2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元.已知甲工程

队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数.

19.我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器

(CPU)芯片.据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速20%,达到每秒

1200万亿次.已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天

河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间.

20.黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、

乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工

2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？

题型五、一元一次方程应用之方案选择问题

21.洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.某校七年级组织了一次研学活动，计

划安排6名老师带领x名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元.现有A,8两种购票方案可供

选择：

6/51

方案A:教师全价，学生半价.

方案B:不分教师与学生，师生全部六折优惠.

(1)请分别计算A,8两种方案的总费用(请用含X的代数式表示).

(2)当学生人数是多少时，A,B两种方案的总费用一样.

⑶当x=30时，请通过计算来说明A,B两种购票方案中哪种更优惠.

22.某出租车公司推出N专车和8快车两种出租车，这两种出租车的收费方式如下.

/专车：3千米以内(包括3千米)收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用:

2快车：

计费项目起步价里程费远途费

计费价格8元2元/千米1元/千米

注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按

计价标准收取里程费：远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的

部分每千米加收1元.

(1)如果乘车路程是10千米，使用/专车出行，需支付的费用是元；使用3快车出行，需支付的费用

是元；

(2)如果乘车路程是尤卜＞12)千米，使用/专车出行，需支付的费用是元；使用2快车出行，需支付

的费用是元；(用含x的式子表示，结果要化简)

(3)如果乘车路程是V千米时，使用8快车出行的费用比使用/专车出行的费用省3元，求了的值.

23.游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元

会员费，每次游泳另外收费10元(一年内有效).

(1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次.他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程.

(2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程.

7/51

24.“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累

计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折.

(1)购买多少元商品时(大于250元)，两个商场的实际花费相同？

(2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些.

25.暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社

给出两种优惠方案(只选其中一种方案)：

方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元；

方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折.

当参加研学的总人数是x(x>50)时.

(1)请用含x的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元；

(2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数.

题型六、一元一次方程应用之分段收费问题

26.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式

计费价格表的部分信息：

自来水销售价格污水处理价格

每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨

8/51

17吨及以下a0.50

超过17吨但不超过30吨的部分b0.50

超过30吨的部分3.000.50

（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）

已知小王家2025年1月用水15吨，交水费30元；2月份用水26吨，交水费61元.

⑴求a,6的值；

（2）如果小王家3月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？

27.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式

计费价格表的部分信息：

自来水销售价格污水处理价格

每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨

17吨及以下a0.50

超过17吨但不超过30吨的部分b0.50

超过30吨的部分3.000.50

（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）

已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元.

（1）求a,b的值.

（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？

（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过

30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%）,求小王家11月份用

水多少吨.（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）

28.为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：

每户每月用水量水费价格（单位：元/立方米）

不超过22立方米2.3

超过22立方米且不超过30立方米的部分a

9/51

超过30立方米的部分4.6

(1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出上表中。值？

(2)在(2)的条件下，若小明家3月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家3月份的用水量是多少立方

米？

29.为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示.已知一个家庭使

用峰谷电的某月电费为95.2元，经测算，比不使用峰谷电节约10.8元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千

瓦时？

8:00-22:00：每千瓦时0.56元(峰电价格)

22:00-8:00：每千瓦时0.28元(谷电价格)

不使用峰谷电：每千瓦时0.53元

30.“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准:

用水量/月单价(%/m3)

不超过20m32.8

超过20m3的部分3.2

⑴如果1月份某用户用水量为19m3,那么该用户1月份应该缴纳水费元.

(2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少?

题型七、一元一次方程应用之配套问题

31.某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件28个或乙种零件14个.已

知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能

使每天生产的这两种零件刚好配套？

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32.在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.该班共有学生55人，其中男生人

数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.

(1)该班有男生、女生各多少人？

(2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多

少名学生剪筒底？

33.某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包

中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实

验器材包，应分配多少名工人生产电压表？

34.制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有12m3木材.

(1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？

(2)这样制作，一共能制作多少套？

35.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中，一部分人加工

甲种零件，其余的加工乙种零件.

(1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照3:4配比，那么应该安排几名工人加工甲种零

件，几名工人加工乙种零件？

(2)已知每加工一个甲种零件可获利15元，每加工一个乙种零件可获利20元.若此车间某天一共获利1240元,

求这一天有几名工人加工甲种零件.

11/51

题型八、一元一次方程应用之动点问题

36.如图，在数轴上，点/表示的数为-12,点5表示的数为4,原点为0,有两个电动玩具甲、乙分别从

点/沿数轴同时相向匀速运动，在4秒后相遇继续运动，玩具甲的速度为每秒3个单位长度.

AB

—1--------------------------------------------------1-----------------1——>

O

(1)/、3两点之间的距离为；

(2)求玩具乙的运动速度；

(3)若玩具甲，乙开始运动的同时，玩具丙从点。出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度运动，求运动时

间为多少时，玩具甲、乙之间的距离等于玩具丙运动的距离？

37.如图，数轴上/、8两点所对应的数分别为-8,4,/、8两点各自以一定的速度同时运动，且点4运动

的速度为2单位长度/秒.

‘I』》

(1)若/、2两点相向而行，在原点O处相遇，求点2的速度；

(2)若/、2两点从开始位置上同时按照(1)中的速度向数轴正方向运动，多少秒后，点/、3与原点距离

相等.

38.如图，在数轴上点/表示数a,点3表示数6,且a,6满足|a+11+(6-9>=0.动点P从点/出发，

以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为/秒.

AB

-------1-----------1--------------------------------------------1―►

0

⑴填空：°=_,b=_.

Q)若PB=4PA,求才的值.

(3)动点0从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动.点尸，。同时运动，是否存在某一

时刻/，使得3,P,。三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出/的值；若不

12/51

存在，请说明理由.

39.如图，点A,3在同一数轴上，数轴的单位长度为1,且点A,8表示的数互为相反数.

(1)求48的长度；

(2)点C,。为同一数轴上两个动点，两点同时出发.点C从点A出发，向右以1(单位长度/秒)的匀速移

动秒；点。从点3出发，向左以2(单位长度/秒)的匀速移动.

(i)用含f的代数式表示点C,。表示的数；

(ii)若AD=BC,求t的值.

40.综合与实践

己知数轴上有/、8、C三点，点/在数轴上对应的数为0,点3对应的数为6,且a、6满足卜+50|+仅-30)2=0,

2

点C在数轴上对应的数为x,且x是方程x=1x+6的解

।*-

ACB

图1

______1~»。「

ACB

图2

⑴数轴上点4、B、。表示的数分别为、、；

13/51

（2）如图1,若动点P从/点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点0从点2出发，

以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点尸、0同时出发，当/为何值时，P、。之间的距离

恰好等于8个单位长度？

（3）如图2,若动点P、。两点同时从/、3出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，

已知点P的速度是点R的速度的6倍，点。的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒.经过5秒时，尸、

。、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点.请直接写出动点R的运动速度.

1.（2025・浙江•模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万

三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有83000根短竹，每根短竹

可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正

好配套?下列说法正确的是（）

A.设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为5x-3x=83000

B.设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为3x=5（83000-x）

C.设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为=83000

D.设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为3y=5（83000-、）

2.（2025•黑龙江佳木斯•三模）某工厂计划生产一批口罩，原计划每天生产10000个，由于疫情形势变化,

实际每天生产的数量比原计划增加20%,结果提前5天完成生产任务.设原计划生产x个口罩，根据题意

可列方程为（）

10000-10000x(1+20%)10000x(1+20%)10000

1000010000x20%10000x20%10000

3.（2025•吉林长春•二模）用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底

18个，1个盒身与2个盒底配成一套.现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底

刚好配套，设需要x张做盒身，根据题意可列方程为.

4.（2025•陕西咸阳・模拟预测）某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30

天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设.则完成这条

14/51

地下管线的铺设任务时，甲、乙两个工程队合作铺设的天数为.

5.（2025・四川宜宾•模拟预测）如图，C、D、E、尸为直线NB上的4个动点，其中/C=10,5尸=14.在

直线48上，线段CD以每秒2个单位的速度向左运动，同时线段EP以每秒4个单位的速度向右运动，则运

动秒时，点C到点A的距离与点F到点B的距离相等.

11.1.1I,.1

ACDEFB

6.（2025•吉林・中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人

步.问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，

最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为.

7.（2025•陕西西安•三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机

器人，每台机器人每天可完成240件上衣或400条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件

上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？

8.（2025•陕西西安•模拟预测）汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”

的体现，深受小朋友们喜爱.某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则

每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元.求每件儿童汉服的进价.

9.（2025・贵州遵义・一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影.到

了影院后，看到有以下优惠活动方案：

优惠方案一会员费200元，票价35元/人.

优惠方案二原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折.

（1）若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？

（2）若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人?

15/51

10.(2025•甘肃张掖•一模)如图，。为数轴原点，点N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点

O右侧，且。"=9,MN=24.蚂蚁尸从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂

蚁。从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动.设点尸，0的运动时间/(秒).

M0PN

______II.I.

0

⑴点〃表示的数为二点N表示的数为」

(2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数；

(3)若蚂蚁0沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求才的值；

(4)蚂蚁。沿数轴向左运动，若无论/取何值，OQ-mNP(加为常数)的值始终固定不变，求加的值.

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专题03一元一次方程的应用（解析版）

目录^---------------

A题型建模•专项突破

题型一、一元一次方程应用之古代数学名著中问题...................................1

题型二、一元一次方程应用之销售问题.............................................2

题型三、一元一次方程应用之行程问题.............................................3

题型四、一元一次方程应用之工程问题.............................................5

题型五、一元一次方程应用之方案选择问题.........................................6

题型六、一元一次方程应用之分段收费问题.........................................8

题型七、一元一次方程应用之配套问题............................................10

题型八、一元一次方程应用之动点问题............................................12

B综合攻坚•能力跃升

题型建模-专项突破

题型一、一元一次方程应用之古代数学名著中问题

1.我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车

各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人

和车的数量各是多少？，，求人和车的数量.

【答案】有39人，15辆车

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2

人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可.

【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得：+2=彳，

32

解得x=39.

车的数量为；+2==+2=15.

33

答：有39人，15辆车.

2.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出

六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又

差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？

【答案】人数为9人，买鸡的钱为70钱

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键.设人数为无，根据题意列出

方程，解方程即可求解.

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【详解】解：设人数为X,根据题意得9x-ll=6x+16,

解得:x=9,

.•.买鸡的钱数为：9x9-11=70,

答：人数为9人，买鸡的钱为70钱.

3.《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个,

大小和尚得几丁？”大意为：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分

完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题.

【答案】小和尚有75人，大和尚有25人.

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有无人，则大和尚有（10。-尤）人，根据100个馒头

列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键.

【详解】解：设小和尚有无人，则大和尚有。00-x）人，

由题意得，j+3（100-x）=100,

解得75,

100-75=25（人），

答：小和尚有75人，大和尚有25人.

4.《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.

问：人数、鸡价各几何？

译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元.有几人？鸡的价格是多少元？

【答案】9人；70元

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数x9元一11

元=总人数x6元+16元，设一共有x人，列方程为9x-ll=6x+16,然后解出方程即可.

【详解】解：设一共有x人.根据题意得：

9x-ll=6x+16,

解得，x=9

.*.9x9-11=81-11=70（元）

答：有9人；鸡的价格是70元.

5.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”.内容为“远望巍

塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开

始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯.

【答案】3

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

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【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有X盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目

都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程

是解此题的关键.

【详解】解：设塔的顶层有x盏灯，

由题意得：%+2尤+4工+8尤+16尤+32尤+64工=381,

解得：x=3,

塔的顶层有3盏灯.

题型二、一元一次方程应用之销售问题

6.某超市计划购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价、售价如表：

进价（元/件）售价（元/件）

甲2530

乙4560

（1）超市如何进货，进货款恰好为4600元.

（2）为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后，

乙型节能灯的利润率为20%,请问乙型节能灯需打几折？

【答案】（1）应购进甲商品40件，购进乙商品80件

（2）乙商品需打9折

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）

【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知

数，列出方程.

（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（120-x）只，根据甲乙两种灯的总进价为4600元列出

一元一次方程，解方程即可；

（2）设乙型节能灯需打。折，根据利润=售价-进价列出。的一元一次方程，求出。的值即可.

【详解】（1）解：设超市应购进甲种商品x件，则购进乙种商品（120-x）件，

由题意得：25x+45（120-x）=4600,

解得：x=40,

・・・120-％=120-40=80,

答：应购进甲商品40件，购进乙商品80件；

（2）解：设乙商品需打。折，由题意得：60x0.1〃—45=45x20%,

解得：a=9,

答：乙商品需打9折.

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7.已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了150元，其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖

中这家商店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少钱？

【答案】在这次买卖中这家商店是亏了，亏了12.5元钱.

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设第一件运动衫的进价为x元，第二件运动衫的进价为y元，根

据题意求出x,y,然后再用售价减去进价即可得出答案.

【详解】解：设第一件运动衫的进价为龙元，第二件运动衫的进价为y元，

则x（l+20%）=150,y（l-20%）=150,

解得x=125（元）,j^=187.5（元）.

A2x150-125-187.5^-12.5（元）.

答：在这次买卖中这家商店是亏了，亏了12.5元钱.

8.DeepSeek的出现，不仅为我国人工智能的发展注入新的活力，更让全世界见证了我国在AI领域的卓越

创新与突破.某人工智能研发公司要购进一种芯片，他们购买的这种芯片价格是：商家按成本提价60%后

标价，再打八五折卖给他们.结果商家每片这种芯片获利144元，求这种芯片的标价.

【答案】这种芯片的标价为640元.

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种芯片的成本价为x元，则这种芯片的标价为（l+60%）x元,

由题意列出方程（1+60%）XX0.85-X=144,然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题

的关键.

【详解】解：设这种芯片的成本价为x元，则这种芯片的标价为（l+60%）x元，

由题意得，（1+60%）尤x0.85-x=144,

解得:x=400,

,这种芯片的标价为（1+60%）x400=640,

答：这种芯片的标价为640元.

9.在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用=（商场的实际售价-旧家电的折合价）

x（l-20%）.张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标

价的九折，张强的旧电视折合200元.经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了

30%.求这台电视机的标价是多少元.

【答案】8000元

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程得应用，准确找出等量关系，列出L元一次方程是解题的关键；

根据“购买一台节能家电的实际费用=（商场的实际售价-旧家电的折合价）x（l一20%）”，可得出实际费

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用为(1-20%)x(0.9x-200)元.又已知实际费用比按标价出售便宜了30%,那么实际费用也可表示为

(l-30%)x元.根据上述两种方式表示的实际费用相等，列出方程，解方程即可.

【详解】解：设这台电视机的标价为x元，由题意得，

(l-2O%)x(O.9x-2OO)=(l-3O%)x,

解得尤=8000.

答：这台电视机的标价是8000元.

10.一次数学课上，老师要求学生根据图示张刚和李东的对话内容，展开如下活动：

活动1：仔细阅读对话内容；

活动2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答.

下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答.

(1)如果张刚没有办卡，他应付多少钱？

(2)你认为买多少元的书办卡比原价购买便宜？

【答案】(1)如果张刚没有办卡，他需要付350元

(2)我认为买多于250元钱的书办卡就便宜

【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际问题，根据题目等量关系，列方程是解决本题的关键.

(1)设如果张刚没有办卡，他需要付x元，根据关系式为：书的原价-10=书的原价xO.9+25,列出一元

一次方程即可；

(2)设买y元的书办卡与不办卡的花费一样多，根据题意得到了=25+0.9y,求出了即可.

【详解】(1)解：设如果张刚没有办卡，她需要付x元，

贝1］有：25+0.9x=x-10,

解得：x=350,

答：如果张刚没有办卡，他需要付350元；

(2)解：设买y元的书办卡与不办卡的花费一样多，

则有：y=25+0.9y,

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解得。=250.

所以当购买的书的总价多于250元时，办卡便宜，

答：我认为买多于250元钱的书办卡就便宜.

题型三、一元一次方程应用之行程问题

11.周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马.马场有一个如图所示的全长为800m的环形跑道，把跑道从

A,B,C,。处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从N,。两处同时出发，沿箭头方向

相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为4m/s,6m/s.

(1)多久后两人首次相遇？

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距80m?

【答案】(1)60秒后两人首次相遇

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距80m

【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距80m,所

走得路程.

(1)两人分别A,。两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程,

知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距80m,依然是行程问题，找到路程，知道速度，根

据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；

【详解】(1)解：设x秒后两人首次相遇，

3

依题意得到方程4x+6尤=800义一.

4

解得x=60.

答：60秒后两人首次相遇.

(2)解：设又经过V秒后两人两人相距80m,

依题意得4y+6y=80或4j，+6产800-80

解得了=8或y=72.

答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距80m；

12.甲、乙两车分别从A,B两地出发同向而行，乙车在甲车前面.甲车每小时行驶72km,乙车每小时行

驶48km,已知A,3两地相距120km.

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(1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？

(2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距72km?

【答案】⑴甲列车经过5小时追上乙列车

(2)经过2小时或8小时两车相距72千米

【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)

【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程求解，需要注意进行分类讨

论.

(1)设甲列车经过尤小时追上乙列车，根据甲列车行驶的路程等于乙列车行驶的路程加上120千米，列出

方程求解；

(2)设经过y小时两车相距72千米，分情况讨论，甲追上乙之前和甲追上乙之后，列出方程求解.

【详解】(1)解：设甲列车经过x小时追上乙列车，根据题意得，

72x=48x+120,

解得x=5,

答：甲列车经过5小时追上乙列车；

(2)设经过V小时两车相距72千米，

甲追上乙之前，

48了+120-72尸72,解得了=2；

甲追上乙之后，

72y-(48y+120)=72,解得y=8,

答：经过2小时或8小时两车相距72千米.

13.随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼

的首选.周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动.已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为3.6千

米.小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时

的速度向迎泽大桥方向跑步.两人同时出发，相向而行.

迎泽大桥五一广场

(1)两人出发后多长时间相遇？

(2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后

再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？

【答案】(1)12分钟

(2)三分钟

【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)

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【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解；

(1)设两人出发后X分钟相遇，根