2025-2026学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正切值是（）A. B. C. D.2.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A.∠D=∠B

B.∠E=∠C

C.

D.

3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD=（）A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

4.如图，半径为6的⊙A经过原点O和点C（0，4），点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC为（）A.

B.

C.

D.5.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD=2：3，△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（）A.9

B.15

C.12

D.186.已知⊙O的半径为6cm,点P在直线l上.若OP=6cm,则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.相离或相切或相交7.如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE+DF=6，△ABC的周长为20，则EF的长为（）A.8

B.4

C.3.5

D.38.一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（）A.

B.

C.

D.9.如图,RtABC中,ACB=,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为（

）

A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.110.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（3，0），B（0，4），⊙O的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A. B.2 C.3 D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.在△ABC中，若|sinB-|+，则∠C=

度.12.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，点C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=20，则△PDE的周长为

.

13.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：2，则S△DOE：S△AOC=

.

14.如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15，BC边上的高是10，则正方形的边长为

.

15.定义一种运算：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，，则sin15°的值为

.16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF：FD=1：3，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③；④，其中正确的是

.（填序号）

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：

（1）；

（2）.18.(本小题8分)

△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3）.

（1）以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并求出在旋转过程中，点B到点B2所经过的路径长.19.(本小题8分)

如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H.

（1）求证：△EDP∽△PCH.

（2）若P为CD中点，且AB=12，BC=18，求GH长.20.(本小题8分)

如图，AD是△ABC的中线，，，.

（1）BC的长为______；

（2）求∠ADC的值.21.(本小题8分)

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.

（1）求证：DE是⊙O的切线.

（2）若⊙O的半径为，∠C=30°，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）22.(本小题10分)

已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶的仰角为76°.（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

求：（1）坡顶A到地面PO的距离；

（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）.23.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，O为AC上一点，BC与⊙O相切于点E，连接AE，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M.

（1）求证：AE平分∠BAC；

（2）若，求⊙O的半径及DM的长度.24.(本小题12分)

某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究.

（1）【问题发现】

如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ.则∠ACQ的度数为______；

（2）【问题提出】

如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.试说明∠ABC=∠ACQ；

（3）【问题解决】

如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若CQ=2，求BP的长.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】90

12.【答案】40

13.【答案】1：9

14.【答案】6

15.【答案】

16.【答案】①②④

17.【答案】（1）

（2）

18.【答案】（1）如图△A1B1C1即为所求；A1（-2，-4），B1（-6，-2），

A1（-2，-4），B1（-6，-2）

（2）如图：△A2B2C2即为所求，

19.【答案】（1）∵矩形ABCD中，∠A=∠D=∠C=90°，

∴∠PED+∠EPD=90°

由折叠知，∠EPG=∠A=90°，

∴∠EPD+∠HPC=90°，

∴∠PED=∠HPC，

又∵∠D=∠C，

∴△EDP∽△PCH

（2）

20.【答案】8

21.【答案】（1）连接OD，OM，

∵AC=AB，

∴∠C=∠ABC，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠ABC，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC．

∴∠DEC=∠ODE，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（2）

22.【答案】（1）10米

（2）19米

23.【答案】（1）如图，连接OE，

∵BC与⊙O相切于点E，

∴∠OEC=90°，

∴∠OEC=∠B=90°，

∴OE∥AB，

∴∠BAE=∠OEA．

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠BAE=∠OAE，

∴AE平分∠BAC

（2）6，

24