第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优讲义）原卷版数学人教B版2019选择性必修第二册

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型【即学即练】1．20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（

）A．120 B．240 C．300 D．3602．（24-25高二下·安徽合肥·期末）包含甲在内的5名在校大学生计划参加学校运动会的志愿者服务，有跳高、跳远、铅球、篮球四个项目可以选择，每个学生只能选择一个项目，每个项目至少招募这5名志愿者中的一名.若甲不能参加跳高，跳远这两个项目的服务，则不同的招募方式共有（

）A．180种 B．150种 C．120种 D．90种知识点05二项式定理（1）二项式定理(1).式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2).通项公式：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项；(3).二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).（2）二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)增减性二项式系数Ceq\o\al(k,n)当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取得最大值（3）各二项式系数和(1).(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2).偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.【知识必备】(a＋b)n的展开式形式上的特点(1).项数为n＋1.(2).各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3).字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4).二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).【即学即练】1．（多选题）二项式的展开式中含的项的系数是60，则下列说法正确的是（

）A． B．展开式中含的项的系数是C．展开式中一定有含的项 D．展开式中的常数项是2．（多选题）已知，则（

）A．B．C．D．3．（多选题）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）A．各项系数之和为32 B．各项系数的绝对值之和为C．常数项为80 D．的系数为04．的展开式中的系数为.题型01计数原理-分类用加法，分步用乘法【典例1】.（25-26高二上·江苏南京·开学考试）书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（

）种.A．504 B．84 C．1008 D．168【典例2】．（25-26高二上·四川成都·月考）重新排列数字，使得偶数在偶数的位置上，但都不在原来的位置上，奇数在奇数位置上，但除其中一个奇数在原本位置上以外，其余3个奇数都不在原来的位置上，则有种不同的排法.【变式1】．设集合，选择集合的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（

）.A．50种 B．49种 C．48种 D．47种【变式2】．（2025·广西南宁·模拟预测）一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有种.题型02无限制的排列与组合问题-直接法【典例3】．（23-24高二下·河南周口·月考）A，B，C，D，E五人站成一排，那么排法种数为.【典例4】．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（

）A．24种 B．16种 C．12种 D．6种【变式1】．（23-24高二下·天津和平·期末）某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有种分组方法.（请用数字作答）【变式2】．（24-25高二下·江苏南通·月考）书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（

）A．24种 B．15种 C．12种 D．6种题型03相邻问题-捆绑法【典例5】．（24-25高二下·河南商丘·月考）5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（

）A． B． C． D．【典例6】．（24-25高二下·河南商丘·期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（

）A．24 B．36 C．48 D．60【变式1】．（24-25高二下·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，当甲和乙相邻时，甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有种.【变式2】．名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有种不同排法.用数字作答题型04不相邻问题-插空法【典例7】．（24-25高三上·上海·月考）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有种．【典例8】．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有种.（用数字作答）【变式1】．（24-25高二下·河南·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（

）A．120 B．72 C．48 D．12【变式2】．（24-25高二下·湖北·月考）袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（

）A．8 B．11 C．12 D．15题型05定序问题-除法【典例9】五人并排站在一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（

）A．60种 B．48种 C．36种 D．24种【典例10】DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（

）A．20 B．40 C．60 D．120

【变式1】．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________【变式2】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）题型06多面手问题【典例11】．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（

）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【典例12】．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）A．26种 B．30种 C．37种 D．42种

【变式1】．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）A．56种 B．68种C．74种 D．92种【变式2】．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（

）种不同的选法．A． B． C． D．题型07涂色问题【典例13】．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（

）

A． B． C． D．【典例14】．在如图所示的6块区域中，用4种颜色填涂，且相邻区域不同色，不同的染色方法有种.

【变式1】．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（

）A．360种 B．420种 C．480种 D．540种【变式2】．（24-25高二下·江苏南京·月考）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有种．题型08相同元素的排列问题【典例15】．从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有种.【典例16】．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（

）个正整数解.A．171 B．190 C．342 D．380【变式1】．（24-25高二下·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有种（用数字作答）. 【变式2】．已知，，，则关于，，的方程共有（

）组不同的解.A． B． C． D．题型09分组分配问题（平均分）【典例17】．（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【典例18】．（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（

）A．150 B．100 C．25 D．50【变式1】．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为．【变式2】．（25-26高三上·广东·月考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有种分法.（用数字作答）

题型10与数字有关的排列问题【典例19】．（23-24高二下·天津北辰·月考）从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．这样的四位偶数有个．（用数字作答）【典例20】．（24-25高二下·山西·月考）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（

）A．360 B．280 C．156 D．150【变式1】．用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数一共有个.（用数字作答）【变式2】．（2024·河南新乡·二模）从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（

）A．16 B．24 C．28 D．36题型11与几何图形有关的排列问题【典例21】．（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（

）A． B． C． D．【典例22】．（24-25高二下·山西·期中）已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（

）A．80个 B．86个 C．116个 D．136个

【变式1】．如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有个．【变式2】．（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的倍．题型12环排问题【典例23】．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（

）A．19 B．38 C．51 D．57【典例24】．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（

）A．60种 B．48种 C．30种 D．24种

【变式1】．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（

）.A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种【变式2】．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．题型13二项式的特定项及系数问题【典例25】．（25-26高三上·上海·期中）的二项式展开式中的系数为．【典例26】．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（）A． B．540 C．15 D．【变式1】．（25-26高三上·浙江·期中）在的展开式中，含的项的系数是.【变式2】．（多选题）在的展开式中，（

）A．常数项为20B．含的项的系数为80C．各项系数的和为32D．各项系数中的最大值为80题型14二项式系数的性质与各项系数的和【典例27】．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知的二项展开式中各项系数的和为．【典例28】．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列说法不正确的是（

）A． B．展开式的各项系数和为729C．展开式中的系数为15 D．展开式中奇数项的二项式系数和为32【变式1】．（25-26高三上·北京·月考）若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则，该展开式每一项的系数之和为.【变式2】．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（

）A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项题型15多项式展开式中的特定项（系数问题）【典例29】．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（

）A．75 B．135 C．180 D．195【典例30】．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（

）A．360 B．540 C．720 D．1080

【变式1】．（多选题）关于展开式中，则（

）A．展开式的各项系数和为 B．展开式中项的系数为120C．展开式中含的各项系数之和为100 D．展开式中不含字母的各项的系数之和为1【变式2】．（2025·辽宁·模拟预测）在的展开式中，常数项为.

一、选择题1．（24-25高三上·河南周口·期中）从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．（24-25高一下·江苏南京·期末）书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（

）A．18 B．12 C．28 D．244．（24-25高二下·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（

）A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种5．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种6．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种7．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的有（

）A．96个 B．72个 C．24个 D．300个8．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（

）A．35 B．34C．31 D．309．（2025高三上·广东·专题练习）的展开式中，的系数为（

）A．-54 B．-24 C．27 D．5410．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（

）A．B．C．D．11．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（

）A．10 B． C． D．12．（25-26高三上·广东广州·月考）（多选题）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（

）A．常数项为15B．各项的系数和为C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项的系数和为1613．（多选题）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（

）A．B．各项二项式系数和为128C．二项式系数最大项有2项D．第5项系数等于-3514．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选题）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（

）A． B．二项式系数的和为1314C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项二、填空题15．（2025高三·全国·专题练习）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，则从最初位置爬到号蜂房共有种方法．16．（24-25高二下·重庆·期末）某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有种．17．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有.

18．（2025·安徽安庆·模拟预测）“四进制”是一种以4为基数的计数系统，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四