第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练）（全国通.用） （解析版）

2/8第一章集合与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数及其应用（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合.若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，可得，.故选：D.2．曲线在处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．0【答案】B【详解】由题意可知，所以曲线在处的切线的斜率，故选：B3．已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对A，当时，，则，故A错误；对B，则则，故B正确；对C，当时，故C错误；对D，当时，故D错误.故选：B4．“”是“关于的不等式有实数解”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为关于的不等式有实数解，所以，所以，又由于真包含于，所以“”是“关于的不等式有实数解”的必要不充分条件，故选：B．5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20min，那么降温到35℃大约需要（参考数据:）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，即，，，设降温到35℃大约需要，则，即，，，所以，故选：B．6．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．在区间上单调递减C．的周期为3 D．【答案】D【详解】对于A，令，得，则，令，得，函数是偶函数，A错误；对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误；对于C，令，得，则，令，，得，则，，C错误；对于D，由为偶函数，得，D正确.故选：D7．已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．其中是真命题的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【详解】对于①，由得：，，，则，①正确；对于②，，，即，则，②正确；对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；对于④，当时，，，即，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C8．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点，当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需；当时，，令，得，令，，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，又，.要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点，则需满足，所以.综上，实数a的取值范围为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合，集合，集合，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】由，得，所以.由，得且，得或，所以或.由，得，所以.对于A，，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，因为{或}，所以，所以，所以C正确；对于D，因为，所以.因为{1或}，所以，所以D正确，故选：BCD.10．已知函数，则（

）A．的极小值点为2B．的极小值为C．当恰有1个零点时，的取值范围是D．当恰有2个零点时，的取值范围是【答案】BC【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，A错误，B正确.当时，，当时，，当恰有1个零点时，或，得，C正确.当恰有2个零点时，且，得，D错误.故选：BC.11．已知函数在区间上的最大值为2，则下列结论正确的是（

）A．B．若有3个零点，则C．若，则函数有2个零点D．若，则【答案】ABD【详解】由，则，当时，，则，所以函数在上单调递增，则，故A正确；对于B，若有3个零点，则，因此，故B正确；对于CD，当时，，令，得或，所以函数有3个零点，故C错误，因为，，且，所以，故D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，【答案】【详解】设，，因为函数是奇函数，.故答案为：13．已知二次函数的值域为，则的最小值为.【答案】4【详解】因为二次函数的值域为，所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为，所以的最小值为，所以，即，而，当且仅当时取等，此时.故答案为：414．若，则的大小关系为．【答案】【详解】，，，令，则，由，得，由，得．在上单调递增，在上单调递减．最大，而，，则．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【详解】（1）,，所以或， 2分当时，， 4分所以. 6分（2）由，则， 7分当时，，满足要求； 9分当时，，；由，则， 11分综上，的取值范围是或. 13分16．（15分）已知函数.(1)当时，求在上的值域；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，.令，，则，. 2分因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时；当时， 5分故函数，的值域为.所以当时，在上的值域为. 7分（2）当时，，满足在上单调递增，满足题意； 9分当时，设，则，.因为单调递增，所以要使在上单调递增，须使在上单调递增，

所以解得. 13分综上可得：实数的取值范围为，即. 15分17．（15分）已知函数．(1)若的解集为，求，的值；(2)若，求不等式的解集；(3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以关于的方程的两根为1，2，所以解得 3分（2）因为，所以．①当时，不等式为，解集为；②当时，不等式可化为，解集为或；③当时，，不等式可化为，解集为；④当时，，不等式可化为，解集为；⑤当时，，不等式可化为，解集为， 8分综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 10分（3）由（1）知不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，只需． 12分因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故实数的取值范围为． 15分18．（17分）已知，，，设函数，，且与的最大值相等.(1)求，间的等量关系；(2)证明：与都恰有1个零点；【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，； 3分函数的定义域为，求导得，当时，，不符合题意； 5分当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，不符合题意； 7分当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，， 9分由与的最大值相等，得，所以. 11分（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，而，， 13分当时，，当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点；函数在上单调递增，在上单调递减，， 15分当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点，所以与都恰有1个零点. 17分19．（17分）已知函数，其中，.(1)若曲线在处的切线方程为，求，的值；(2)讨论函数的单调性；(3)若曲线的一条切线是轴，求的取值范围.【详解】（1）由得，， 1分由题意得，，因为，所以，解得. 3分将代入切线方程可得，即，解