专题01 基本计数原理九大题型（高效培优专项训练）（原卷版）数学人教B版2019选择性必修第二册

2/11专题01基本计数原理题型一：分类加法计数原理的应用题型二：分步乘法计数原理的应用题型三：计数原理的判断及综合应用题型四：计数原理在实际问题中的应用题型五：代数中的计数问题题型六：几何中的计数问题题型七：数字排列问题题型八：涂色问题题型九：其它计数模型题型一：分类加法计数原理的应用1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（

）A．18 B．9 C．8 D．72．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（

）

A．9 B．11 C．13 D．153．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（

）A．14 B．19 C．90 D．2004．（25-26高二上·全国·单元测试）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．65．（2025高二·全国·专题练习）某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方形（边长为个单位长度）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走几个单位长度，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向走i个单位长度，一直循环下去.此人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到起点A处的不同走法共有种.6．（2025高二·全国·专题练习）某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分别是元、元、元、元.某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品（至少购买一款，且每款只购一只），因信用卡出现故障，他身上只剩元现金，则他买玩具样品的方案有种.题型二：分步乘法计数原理的应用1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色各不相同的概率为（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（

）种.A．504 B．84 C．1008 D．1683．（2025高二·全国·专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（

）种涂法，A． B． C． D．4．（2025高三·全国·专题练习）已知图中每个开关都有闭合与不闭合2种可能，因此5个开关共有种可能情况，在这种可能情况中，电路（从甲到乙）接通的情况有（

）.A．30种 B．24种 C．16种 D．10种5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有条（每条线路仅含一条通路）．

6．（2025高二·全国·专题练习）有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则共有种放法.题型三：计数原理的判断及综合应用1．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（

）A． B． C．20 D．92．（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多选题）下列说法正确的是（）A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题3．（24-25高二下·全国·课前预习）若完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是.4．有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有种不同的选法.

题型四：计数原理在实际问题中的应用1．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（

）A．12种 B．14种C．7种 D．9种3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（

）A．4 B．6 C．8 D．124．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（

）A．54 B．12 C．8 D．815．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（

）A．6 B．12 C．24 D．486．某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（

）种.A．10 B．9 C．8 D．127．（2025高三·全国·专题练习）有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号种.8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）科学家发现一种特殊的粒子，现在把该粒子放在依次排开的1~5号密封箱子中，两个箱子之间只有一条通道相连，该粒子每天只会出现在一个箱子里，第二天会随机出现在相邻箱子中的一个，若科学家每天只能观察一个箱子，则至少需要天才能确保观测到该粒子.9．（24-25高三下·山东·开学考试）某校为弘扬“顽强拼搏的马拉松”精神，举办了5千米长跑比赛，若包含甲、乙在内的共6名同学进入了决赛，通过赛后成绩得知，其中没有名次并列的情况，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的绝对值为2．（1）若甲的名次为偶数，则这6名同学的名次排列情况共有种；（2）甲和乙的名次之和为10的概率为.10．（23-24高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有种．题型五：代数中的计数问题1．（24-25高二下·山西吕梁·阶段练习）数字540的不同正因数的个数为（

）A．10 B．16 C．20 D．242．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（

）A．30个 B．42个 C．41个 D．39个3．已知，且，则所有满足条件的数对的个数为（

）A．12 B．13 C．20 D．244．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（

）A．64 B．56 C．53 D．515．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为()A．13 B．15C．17 D．196．从1，2，…，2024中任取两数，（可以相同），则个位为8的概率为7．（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有个．8．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则不同的有序集合对有种.

题型六：几何中的计数问题1．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（

）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种2．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（

）A．18 B．30 C．36 D．543．一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（）A．至多能剪成19块“L”形骨牌B．至多能剪成20块“L”形骨牌C．最多能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对4．（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为．

5．圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．

题型七：数字排列问题1．（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（

）A．48 B．36 C．24 D．182．（24-25高二下·河北唐山·阶段练习）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A．48个 B．52个 C．60个 D．120个3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）用1，3，5组成数字可以重复的自然数，并按照从小到大的顺序排列，依次得到1，3，5，11，13，15，31，33，35，51，53，55，…则3135是这组数的（

）A．第69项 B．第72项 C．第74项 D．第75项4．（24-25高三上·重庆长寿·期末）数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（

）A．24个 B．12 C．9个 D．6个5．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（

）A．147 B．112 C．65 D．506．（23-24高二下·江苏无锡·期中）将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（

）A．240 B．192 C．120 D．727．（25-26高三上·浙江·阶段练习）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有个.（用数字作答）8．（24-25高二下·福建福州·期末）用0，1，2，3这4个数字，可组成个没有重复数字的三位数（用数字作答）题型八：涂色问题1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．1442．（24-25高二下·江苏南京·期中）用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（

）A．24 B．48 C．72 D．1204．（24-25高二下·四川达州·阶段练习）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（

）A．210种 B．420种 C．180种 D．260种5．（24-25高二下·安徽池州·期中）如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（

）种不同的着色方法.A．180 B．120 C．60 D．2406．（24-25高二下·天津·阶段练习）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（

）A．144种 B．120种 C．108种 D．96种7．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为.

8．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有种．

题型九：其它计数模型1．如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，则n＝（

）A．50 B．51 C．52 D．532．据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望