专题3.4 二项式定理与杨辉三角八大题型（高效培优讲义）（解析版）数学人教B版2019选择性必修第二册

⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点03二项式展开式中的系数和有关问题（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．

题型一：求二项展开式【典例1】.（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项【分析】求出通项，找到常数项即可.【详解】的通项公式为，常数项时，则，所以常数项为，故选：D.【变式1】.已知二项式的展开式中的系数是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用【分析】应用二项展开式的通项求解可得.【详解】的展开式的通项公式.令，解得，可得，即的系数为.故选：A.【变式2】.（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是．【答案】【难度】0.94【知识点】求二项展开式【分析】根据二项式定理可得答案.【详解】．故答案为：．【变式3】.在二项式的展开式中，常数项是第项．【答案】11【难度】0.65【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式、求二项展开式的第k项【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可.【详解】的通项公式为，常数项时，则，所以常数项是第11项，故答案为：11题型二：求含有参数的二项展开式【典例2】.（24-25高二下·上海·期中）若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.94【知识点】由项的系数确定参数【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值.【详解】二项式的展开式的通项为,令，解得，所以，解得故选：D.【变式1】.（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）展开式中的常数项为160，则实数．【答案】1【难度】0.65【知识点】由项的系数确定参数、求二项展开式的第k项【分析】根据二项式的通项公式结合常数项计算求参数.【详解】由题意知，则，即，故即．故答案为：1.【变式2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）在展开式中的系数为20，则实数的值为．【答案】4【难度】0.85【知识点】由项的系数确定参数【分析】写出二项式的展开式通项，结合指定项系数求参数值即可.【详解】由题设，二项式展开式通项为，，令，得，故，可得.故答案为：4.【变式3】.（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【难度】0.85【知识点】由项的系数确定参数【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解.【详解】因为的通项为，令，解得，则，解方程得：.故选：D.题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数【典例3】.（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（）A．120 B．90 C．60 D．45【答案】C【难度】0.65【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数【分析】将变形成，利用二项式定理，可得项的系数.【详解】因为，所以的展开式中项的系数为.故选：C.【变式1】.（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（

）A． B．14 C． D．9【答案】A【难度】0.65【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】先确定二项式展开式的通项，再根据分配律运算得的系数即可.【详解】因为中二项式展开式的通项为，所以的展开式中，的系数是．故选：A．【变式2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）展开式中含项的系数为．【答案】【难度】0.85【知识点】三项展开式的系数问题【分析】确定展开式中对应的各项指数组合，即可列出该项得解.【详解】展开式中含项的为，则其系数为.故答案为：.【变式3】.（2025·浙江丽水·一模）展开式中的常数项是．【答案】【难度】0.85【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案.【详解】由二项式的展开式的通项公式为，所以，所以当时有常数项，当时有常数项，所以所求展开式的常数项为.故答案为：.题型四：求二项式系数与项的系数的最值【典例1】.（2025·江苏宿迁·三模）（多选题）的展开式中，下列结论正确的是（

）A．展开式共8项 B．含项的系数为480C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128【答案】ACD【难度】0.85【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和【分析】利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确.【详解】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确；对于B，设展开式中的第项为,令，解得；因此含项的系数为，所以B错误；对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确；对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确.故选：ACD【变式1】.（24-25高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为.【答案】54【难度】0.85【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数【分析】根据展开式中第二项与第四项的二项式系数相等求出，再根据二项式的展开式通项公式求出常数项.【详解】的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为和，所以，根据组合数的性质可得.对于，易得展开式的通项为，，令，得，所以常数项为.故答案为：54.【变式2】.（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是（结果用数字表示）【答案】20412【难度】0.85【知识点】求系数最大（小）的项【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数.【详解】的展开式通项为，则系数为，设第项系数最大，则即，解得，又，所以，所以最大项系数为第7项，最大系数为.故答案为：20412.【变式3】.（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（

）A．252 B．210 C．120 D．10【答案】B【难度】0.65【知识点】求系数最大（小）的项、二项式的系数和【分析】根据二项式系数之和公式求出m，结合通项公式进行求解即可.【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32，所以，所以的通项公式为，当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为，故选：B题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和【典例5】.（25-26高三上·河北·开学考试）（多选题）设，则下列说法正确的有（

）A．的展开式中所有项的二项式系数的和为B．C．D．【答案】ABC【难度】0.65【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误.【详解】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确；B选项，中，令得，B正确；C选项，中，令得①，令得②，两式①+②得，即，C正确；D选项，，由二项式定理得，故，，令得，D错误.故选：ABC【变式1】.（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（

）A． B． C．15 D．20【答案】A【难度】0.85【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解.【详解】由题意得，，所以展开式的通项为令，所以展开式中的常数项为．故选：A.【变式2】.（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为【答案】20【难度】0.85【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和【分析】根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解.【详解】因为的二项式系数和为64，则，解得，所以二项式系数最大值为.故答案为：20.【变式3】.（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为．【答案】135【难度】0.85【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和【分析】根据给定条件，利用赋值法求得指数，再利用二项式展开式的通项计算求解.【详解】依题意，，解得，故二项式的展开式的通项为：，当时，可得该展开式中的系数为.故答案为：.题型六：杨辉三角【典例6】.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第行的各数之和比上一行各数之和大64，则的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【难度】0.65【知识点】杨辉三角、二项式的系数和【分析】合理归纳，得到规律，建立方程求解即可.【详解】易知第一行的各数和为，第二行为，第三行为，第四行为，第五行为，归纳得第行的各数之和为，第行的各数之和为，而第行的各数之和比上一行各数之和大64，故有，解得，故B正确.故选：B【变式1】.（2024高二下·全国·专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【难度】0.85【知识点】杨辉三角【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.【详解】当时，第斜列各项之和为，同理，第斜列各项之和为，所以，所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.故选：C．【变式2】.（2025高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是．【答案】36【难度】0.85【知识点】杨辉三角【分析】根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果.【详解】由图分析，第0行的数为1，第1行的数为，第2行的数为，第3行的数为……因此，第n行第m个数为，所以第9行第8个数是.故答案为：【变式3】.（24-25高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为．【答案】【难度】0.65【知识点】杨辉三角【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值.【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数，去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为，故答案为：.题型七：二项式定理与数列求和【典例7】.已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）.（1）求数列的通项；（2）求数列前项和；（3）若，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【难度】0.65【知识点】二项式定理与数列求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、求二项展开式的第k项【分析】（1）利用二项式定理求得的展开式的第二项，可求得数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得；（2）分和两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得；（3）分和两种情况讨论，利用二项式定理可求得的表达式.【详解】（1）的展开式的第二项为，所以，数列的公比为，则；（2）当时，则，；当时，.综上所述，；（3）当时，，，此时，；当时，，此时，.综上所述，.【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中等题.【变式1】.已知函数，其中．（1）若，，求的值；（2）若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值；（3）若，求证：．【答案】（1）（2）1792（3）见解析【难度】0.4【知识点】求系数最大（小）的项、二项式定理与数列求和、二项展开式各项的系数和【分析】（1）令和，两式相加即得解；（2）先求出，设为中的最大值，则解不等式组即得解；（3）先得到，再利用二项式定理证明.【详解】（1），时，，令得，令得，两式相加可得．（2），．不妨设为中的最大值，则或6，中最大值为．（3）若，，．因为，所以．．故得证.【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数和差，求展开式系数的最大值，考查组合数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.题型八：排列组合综合【典例8】.（25-26高三上·辽宁丹东·阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（

）A．192种 B．288种 C．144种 D．96种【答案】D【难度】0.65【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有种排法；第二步：将2名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；第三步：将“捆绑”在一起的2名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法．∴不同的排法种数有：种．故选：D【变式1】.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有种排法，将剩余的11名队员全排列共有，由分步乘法计数原理可得总的站法有，故选:B.【变式2】.现有个小球和个小盒子，下面的结论正确的是.①若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），则共有种放法；②若个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有种；③若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有种；④若编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有种.【答案】②③④【难度】0.65【知识点】实际问题中的计数问题、排列组合综合、分组分配问题【分析】由分步乘法计数原理可判断①的正误；由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断②的正误；由分步乘法、排列、组合知识可判断③的正误；利用枚举法可判断④的正误.【详解】对于①，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），每个小球有种放法，共有种不同的放法，①错误；对于②，将个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒，则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放个小球，此时，共有种不同的放法，②正确；对于③，将个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒，则两个盒子各放个小球，另一个盒子放个小球，此时，共有种放法，③正确；对于④，将编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法为：、、、、、、、、，共种，④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.【变式3】.冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）【答案】1560【难度】0.65【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题【分析】根据题意可知有两个人各分得2个、两个人各分得1个和有一个人分得3个、其余三人各分得1个两种情况，结合平均分配的思想方法与分步乘法计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，有两种情况：一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案；二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案．综上，不同的分配方案共有种．

一、单选题1．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【难度】0.85【知识点】二项展开式的应用【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果.【详解】二项式展开式的通项为．其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项．故选：B．2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）在的展开式中，的系数为40，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】由项的系数确定参数【分析】根据二项展开式通式得，再令，解出后即可得到方程，解出即可.【详解】的展开式通项为，令，可得，所以的系数为，解得．故选：C.3．（25-26高三上·广东·阶段练习）的展开式中的常数项为（

）A．120 B．88 C．24 D．18【答案】B【难度】0.85【知识点】三项展开式的系数问题、分类加法计数原理【分析】利用多项式乘多项式的规则及分类计数原理即可求解.【详解】因为，要想得到常数项，则有两种可能性：（1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为；（2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为.根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为.故选：B4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（

）A． B．25 C． D．50【答案】A【难度】0.85【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数.【详解】易得展开式通项公式为，令可得的系数为，令可得的系数为，故原展开式中的系数为.故选：A.5．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【难度】0.65【知识点】求有理项或其系数、求指定项的二项式系数【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项.【详解】由题知，又，所以，展开式通项为，令，则，所以展开式中有4项的有理项.故选：C6．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）的展开式的第二项的二项式式系数为（

）A．10 B．5 C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】求指定项的二项式系数【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案.【详解】的展开式的第二项的二项式式系数为.故选：B.7．（24-25高二下·广东汕头·期中）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（

）A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64C．有理项共有3项 D．常数项为第五项【答案】C【难度】0.65【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数、二项式的系数和、求指定项的二项式系数【分析】结合二项展开式的通项公式可判断ACD的真假，利用二项式系数的性质可判断B的真假.【详解】设展开式的第项为，则：.所以的二项式系数为，故A正确；由为整数，可得的值可以为，故展开式中有理项为4项，故C错误；由，所以为常数项，故D正确；对B：根据二项式系数的性质可得：所有项的二项式系数之和为，故B正确.故选：C8．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（

）A．第1项和第3项 B．第2项和第4项C．第3项和第1项 D．第4项和第2项【答案】B【难度】0.65【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的二项式系数【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大.【详解】的展开式的通项为，当取奇数时，系数为负值，当时，，当时，，当时，，所以第2项的系数最小；因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.故选：B.9．在的二项展开式中，系数最大的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项【答案】B【难度】0.85【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】的通项公式为,根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大，第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大故选：B10．（25-26高三上·河北·开学考试）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（

）A．60 B． C．15 D．【答案】A【难度】0.85【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可.【详解】由题可知，解得，则二项式展开式通项公式为，令，解得，所以常数项为.故选：A.11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【难度】0.65【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D.【详解】对于A，令，得，即，故A错误；对于B，展开式的通项公式为，所以，故B错误；对于C，令，得，即，故C正确；对于D，令，得，即，因为，所以，因为，所以不成立，故D错误.故选：C12．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（

）A．B．的最大值为C．D．【答案】C【难度】0.65【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD.【详解】展开式的通项公式为，对于A，，A正确；对于B，当时，，解得，当时，即有，因此的最大值为，B正确；对于C，当分别取时，，则，C错误；对于D，当分别取时，，则，而，因此，D正确.故选：C13．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

若在的展开式中，的系数为75，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【难度】0.85【知识点】求指定项的系数、杨辉三角、两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】阅读题意，结合广义杨辉三角形和二项式定理求解即可.【详解】依题意，“广义杨辉三角形”构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，所以“广义杨辉三角形”的第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，在的展开式中，的系数为45，的系数为30，的展开式中，的系数为，解得.故选：A14．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（

）A．432种 B．240种 C．192种 D．96种【答案】C【难度】0.65【知识点】排列组合综合、不相邻排列问题【分析】利用排列组合知识进行求解即可【详解】根据题意，在“射”与“数”之间间隔一艺，先将“射”与“数”进行全排列，从剩余的4艺中选择1个放在“射”与“数”中间，再将这三艺看做一个整体和剩余的3个元素进行全排列，这样的排课方法数为：有种排课方法.故选：C.15．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（

）A．144种 B．72种 C．36种 D．24种【答案】B【难度】0.65【知识点】排列组合综合【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可.【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法，然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法，3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，所以总共有：种方式.故选:B二、多选题16．（24-25高二下·贵州安顺·期末）（多选题）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（

）A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项【答案】ABC【难度】0.65【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和【分析】令，即可求得各项系数之和，由此解方程得到的值.对于A，利用二项式系数之和的公式求解即可；对于B，写出该二项式展开式的通项，令的指数为求解即可；对于C，利用奇数项的二项式系数之和的公式求解即可；对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项.【详解】因为的展开式中各项系数之和为，所以令，，即，解得.对于A，各项的二项式系数之和为，故选项A正确；对于B，的展开式的通项为，令，解得，，故含的项的系数为，选项B正确；对于C，奇数项的二项式系数之和为，故选项C正确；对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项，时，中间项是第项，故二项式系数最大项为第项，选项D错误.故选：ABC.17．（24-25高二下·内蒙古·期末）（多选题）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（

）A． B．各项系数之和为C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为【答案】ABD【难度】0.65【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值、求二项展开式的第k项、二项式的系数和【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D.【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确．令，则各项系数之和为，B正确．因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误．的展开式的通式为，令得，故所求的常数项为，D正确．故选：ABD18．（24-25高二下·河北保定·期末）（多选题）已知，则（

）A． B．C．的展开式的二项式系数之和为 D．【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D.【详解】由题意有：令有，故A正确；由，故B正确；的展开式的二项式系数之和为，故C错误；令有，令有，两式相加有，故D正确.故选：ABD.19．（24-25高二下·山西·期末）（多选题）已知，则（

）A．B．在中的最大值为C．D．【答案】BCD【难度】0.65【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和【分析】将二项式化为并写出其展开式通项，进而根据各选项的分别求、确定中的最大值；用赋值法，令可求的值；将目标式去绝对值符号，应用赋值法令，即可求的值.【详解】由，得展开式通项为.对于A，，故A错误；对于B，均为负数，，，，，所以在中最大，故B正确；对于C，令，得，又，所以.故C正确；对于D，因为均为负数，其余的均为正数，所以，令，得.，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题20．展开：．【答案】【难度】0.65【知识点】求二项展开式【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可.【详解】由二项展开式可得，.故答案为：21．（24-25高二下·天津和平·期末）已知二项式的展开式中，的系数为28，则的系数为.【答案】70【难度】0.85【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数【分析】根据二项式的展开式的通项公式先求出，进而求解即可.【详解】二项式的展开式的通项公式为，，，令，得，由于的系数为28，则，解得，则，，令，得，所以的系数为.故答案为：70.22．（25-26高三上·全国·阶段练习）在展开式中，的系数为．【答案】【难度】0.65【知识点】三项展开式的系数问题【分析】利用二项式定理的原理可求解.【详解】表示4个相乘，要想得到，需要从4个因式中，3个选择项，1个选择常数项，所以的系数为：.故答案为：23．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）的展开式中项的系数是．【答案】【难度】0.85【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】根据题意，先求得展开式的通项，结合多项式的运算法则，求得的展开式中项，进而得到答案.【详解】由二项式展开式的通项为，则的展开式