解答题 数列及其综合应用（专项训练6大题型+高分必刷）（全国通.用）（原卷版）2026年高考数学一轮复习讲练测

6/15解答题数列及其综合应用数列及其综合应用是高考必考内容。近五年高频考查等差数列、等比数列的基本概念、通项与前n项和公式，以及裂项相消、错位相减等求和方法，命题兼顾基础与核心素养（数学运算、逻辑推理、数学建模），且近年情景更新颖、难度有所提升，常涉及实际应用与跨知识综合。未来考向仍以等差、等比数列核心知识为基础，重点关注数列通项与求和，同时强化与函数、不等式、概率等的交汇，以及新定义、实际情境类创新题型，进一步突出对数学素养的考查。题型1：分组求和法求数列的前n项和（25-26高三上·北京·阶段练习）已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．2、常见类型：（1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：（2）奇偶并项求和：通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且(1)设，证明：是等比数列；(2)设，试求的前n项和．题型2：裂项相消法求数列的前n项和（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求前项和.1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，点在曲线上且(1)求证：数列为等差数列；(2)设，记，求2．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．题型3：错位相减法求数列的前n项和（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知正项数列满足：．(1)证明是等比数列，并求通项；(2)若，求数列的前项和的表达式．1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）在等比数列中，，，且成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列前n项和为，且满足，数列满足．(1)求出(2)求出数列的前项和题型4：数列与不等式综合应用（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.(1)求，；(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等．1．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.(1)求的通项公式；(2)对于任意，求实数的取值范围.2．（24-25高三下·四川江油·三诊）已知数列满足，（），记．(1)求证：是等比数列；(2)设，数列的前n项和为.(ⅰ)求．(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．题型5：数列中的探究性问题（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：=1\*GB3①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．1．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，(1)证明：数列是等差数列；(2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由.题型6：数列的新定义问题（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；(2)已知的差分数列为，求的通项公式．1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的．2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.(1)证明：数列是“方特数列”；(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；(3)证明：当时，数列是“方特数列”.2．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．(3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．4．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．(1)求的通项公式及；(2)设数列满足，其中．（ⅰ）求证：当时，求证：；（ⅱ）求．5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．6．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．(1)求，的通项公式；(2)，，有，（i）求证：对任意实数，均有;（ii）求所有元素之和．7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足(1)求证：为等比数列；(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．2．（25-26高三上·湖南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.3．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，，且（）．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．4．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且．(1)证明：是等差数列；(2)若．①求的通项公式；②求的前项和．5．（25-26高三上·山东潍坊·开学考）已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k．6．（25-26高三上·湖北·阶段练习）记为数列的前n项和，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和.7．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比