2025-2026学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2﹣6对称轴是（）A．直线x＝﹣6 B．直线x＝﹣1 C．直线 D．直线x＝13．（4分）如图，△ABC内接于圆，点D在上，CD．下列角中，与∠ABD相等的是（）A．∠DBC B．∠BDC C．∠ACD D．∠ACB4．（4分）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（4分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°6．（4分）若要得到抛物线y＝（x﹣2）2+3，可以将抛物线y＝x2（）A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度7．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．168．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．3 B．2 C．3 D．29．（4分）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品（如图所示），计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同）2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（38﹣2x）（23﹣2x）＝874 B．（38+2x）（23+2x）＝874 C．（38﹣2x）（23﹣2x）＝1000 D．（38+2x）（23+2x）＝100010．（4分）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，下列说法正确的序号是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是．12．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是（填写符合条件一个数值即可）．13．（4分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的解，则m的值为．14．（4分）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为°．15．（4分）《弹簧探险家的能量之旅》假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量m＝1.35kg），弹簧的劲度系数k＝180N/m——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量!你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了x0＝﹣0.1m（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度v0＝0）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒其中：E是总机械能（单位：焦耳，J），在无能量损失的情况下保持不变．是小球的动能（速度v的单位：米/秒，m/s）．是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，m；以弹簧原长位置为参考点x＝0）．请阅读以上内容回答问题：当x＝0.05m时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，此时小球的速度v为．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．已知P是直线，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t．三、解答题（本题共9题，共86分）17．（8分）解方程：x2+2x﹣1＝0．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，DF．证明：BE＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座．求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率．21．（8分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接CD，∠BCD＝∠A，交CD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．23．（10分）阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…任务：（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系；（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．24．（12分）综合与探究【问题情境】如图1，在矩形ABCD中，，延长CD至点E．使得CE＝2CD．点F是AD边上一点，连接EF，CF．【操作发现】（1）若EF＝2，则CD的长为，AF的长为．【拓展探索】（2）如图2，将Rt△EFC绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，FG分别与AD，DC相交于点M①请判断DM和DN的数量关系，并说明理由．②如图3，探索Rt△EFG旋转过程中，若点F恰好在矩形对角线AC的中点上．求出图3中所有与图1中AF相等的线段．25．（14分）某施工队在屋顶上安装太阳能光伏板，发现光伏板的输出功率P（瓦）受太阳光入射角影响（°）有关．实验测定中发现：当倾斜角为0°时功率为100W；当倾斜角为20°时功率为240W（θ在0°至60°之间）可以近似将P视为关于θ的二次函数．（1）请估算出这条二次函数的解析式．（2）某地冬季太阳高度较低，而夏季太阳高度较高．当地屋顶安装太阳能板，若只固定一次倾斜角，最佳屋顶倾斜角常取该地纬度±10°之间．此外，当倾斜角不当时（s），按照秋冬季、春夏季时间的长短比例分布在秋冬季、春夏季两季．①已知该地春夏季时间t1（s）、秋冬季时间t2（s）之比k＝2．实验测定发现秋冬季太阳能板的功率相较于（1）中的P下降至，春夏季太阳能板的功率相较于（1）．若要使年总功W＝P2t1+P1t2最大，求该地摆放太阳能板的最佳倾斜角θm．（其中：W＝Pt）②根据地理学相关知识，一年中春夏季时间t1、秋冬季时间t2之比k随纬度f（°）增高而减小，且变化规律呈一条直线（f＝90）处k＝0．已知①中该地的纬度是30°．经过一番计算，发现最佳倾斜角θm和k存在关系．为了使年总功W＝P1t1+P2t2尽可能大，试判断“最佳屋顶倾斜角常取该地纬度±10°之间的角度”对于纬度多少的区域是适用的．（仅考虑0＜f＜60的地区）

2025-2026学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDCCDCCCDB一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，故不是中心对称图形；B、绕某一点旋转180°后，故不是中心对称图形；C、绕某一点旋转180°后，故不是中心对称图形；D、绕某一点旋转180°后，故是中心对称图形；故选：D．2．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2﹣6对称轴是（）A．直线x＝﹣6 B．直线x＝﹣1 C．直线 D．直线x＝1【解答】解：由抛物线的解析式y＝2（x﹣1）4﹣6可知，抛物线对称轴为直线x＝1．故选：D．3．（4分）如图，△ABC内接于圆，点D在上，CD．下列角中，与∠ABD相等的是（）A．∠DBC B．∠BDC C．∠ACD D．∠ACB【解答】解：∵所对的圆周角有∠ABD，∴∠ABD＝∠ACD，故选：C．4．（4分）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝10，∴OD＝10﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝16，由勾股定理可知：102＝86+（10﹣x）2，∴x＝4，∴CD＝8，故选：C．5．（4分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【解答】解：旋转角是∠CAC′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．6．（4分）若要得到抛物线y＝（x﹣2）2+3，可以将抛物线y＝x2（）A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度2+3，故选：C．7．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝4有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣3c＝0，解得c＝4．故选：C．8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【解答】解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝BC＝2，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝，∴点A到直线A'C的距离为3，故选：C．9．（4分）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品（如图所示），计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同）2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（38﹣2x）（23﹣2x）＝874 B．（38+2x）（23+2x）＝874 C．（38﹣2x）（23﹣2x）＝1000 D．（38+2x）（23+2x）＝1000【解答】解：根据题意，可列方程为：（38+2x）（23+2x）＝1000，故选：D．10．（4分）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，下列说法正确的序号是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，4）；②当a＝0时，﹣x+1＝6；当a≠0时，ax2﹣（a+8）x+1＝（x﹣1）（ax﹣4）＝0，解得x＝1或x＝，故②正确；③当a＞0时，函数图象开口向上，若，则y＜5；当a＜0时，函数图象开口向下，若，则y＞3；故③错误；④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+4）x+1，Δ＝（a﹣1）7≥0，此时ax2﹣（a+6）x+1≤0函数与x至少有一个交点，不能使ax6﹣（a+1）x+1≤6对任意实数x都成立；当a＝0时，﹣x+1≤32﹣（a+1）x+8≤0对任意实数x都成立；故④正确；故选：B．二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是（2，﹣1）．【解答】解：点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是（6．故答案为：（2，﹣1）．12．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是2（答案不唯一）（填写符合条件一个数值即可）．【解答】解：∵抛物线的靠口向上，∴二次项系数大于0，∴a的值可以为2，故答案为：2（答案不唯一）．13．（4分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的解，则m的值为4．【解答】解：把x＝1代入x2﹣mx+4＝0得，1﹣m+2＝0，解得m＝4．故答案为：7．14．（4分）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为43°．【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，∵FI是⊙O的切线，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，故答案为：43．15．（4分）《弹簧探险家的能量之旅》假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量m＝1.35kg），弹簧的劲度系数k＝180N/m——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量!你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了x0＝﹣0.1m（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度v0＝0）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒其中：E是总机械能（单位：焦耳，J），在无能量损失的情况下保持不变．是小球的动能（速度v的单位：米/秒，m/s）．是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，m；以弹簧原长位置为参考点x＝0）．请阅读以上内容回答问题：当x＝0.05m时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，此时小球的速度v为1m/s．．【解答】解：由题意，系统的总机械能E初始状态（x0＝﹣0.5m，小球动能为0，∴总机械能等于弹簧的弹性势能：E＝＝＝0.4J．∵E＝0.9J，m＝4.35kg，x＝0.05m，∴利用机械能守恒求速度v机械能守恒：得，又∵弹簧弹性势能：，∴动能对应的速度：．∴最终小球的速度v为6m/s．故答案为：1m/s．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．已知P是直线，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t或．【解答】解：反过来思考，由相对运动理解，若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O''，连接O''M，∵点P在以O''为圆心，MO''为半径的、N），∴∠MO''N＝2∠MPN＝120°，∴∠O''MN＝30°，由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O''，∴点O''也在MN的垂直平分线上，记OO'与MN交于点Q，∴，∴，随着MN的增大，⊙O''会越来越靠近⊙O'，点P在上⊙O'，此时MN最大，，连接O''P，OP，∵OP≤OO''+O''P，∴当MN最大，时，此时△MPN为等边三角形，由上述过程知，∴，当r＝1，OP的最大值为3，设P，，则，解得：，设直线与⊙O交于T，S，过点S作SL⊥x轴，当，当y＝0时，∴与x轴交于点T（1，7），∴，∴∠OTK＝60°，∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，∴∠TOS＝60°，∴，即点，∴t的取值范围是或，故答案为：或．三、解答题（本题共9题，共86分）17．（8分）解方程：x2+2x﹣1＝0．【解答】解：方程变形得：x2+2x＝5，配方得：x2+2x+3＝2，即（x+1）4＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，DF．证明：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F是对角线AC的三等分点，∴AE＝CF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝，当时，原式＝．20．（8分）某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座．求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率．【解答】解：设新建充电站的数量的年平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝169．解得：x3＝0.3，x3＝﹣2.3（舍去）．答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为2.3．21．（8分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N．∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，且A，n（m＞n＞2），∴点A的坐标为（m，﹣m2+4），点C的坐标为（n2+4），∴AM＝m，CN＝n．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°．∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°，∴∠DCN＝∠ADM．在△ADM和△DCN中，，∴△ADM≌△DCN（AAS）．∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n．∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+8）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）．∴m﹣n＝1．22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接CD，∠BCD＝∠A，交CD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠ABC＝90°．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵点B是AD的中点，∴BD＝AB＝2OC．∵OB＝OC，∴OD＝OB+BD＝3OC，∴，∵BE⊥AD，∴∠DBE＝90°，又∵∠OCD＝90°，∴．∴DE＝3BE＝9，在Rt△DBE中，，∴，即⊙O半径为．23．（10分）阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…任务：（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：240．（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系；（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解：（2）∠BAD＝∠FAD．理由如下：连接BD，FD．∵六边形ABCDEF是等边半正六边形．∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E．∴△BCD≌△FED．∴BD＝FD．在△ABD与△AFD中，∴△BAD≌△FAD．∴∠BAD＝∠FAD．（3）答案不唯一，作法：如图，六边形ABCDEF即为所求．24．（12分）综合与探究【问题情境】如图1，在矩形ABCD中，，延长CD至点E．使得CE＝2CD．点F是AD边上一点，连接EF，CF．【操作发现】（1）若EF＝2，则CD的长为，AF的长为﹣．【拓展探索】（2）如图2，将Rt△EFC绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，FG分别与AD，DC相交于点M①请判断DM和DN的数量关系，并说明理由．②如图3，探索Rt△EFG旋转过程中，若点F恰好在矩形对角线AC的中点上．求出图3中所有与图1中AF相等的线段．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∵CE＝2CD，∴DE＝CD，∴AD垂直平分CE，∴CF＝EF＝2，∵DF＝DC，∴△DCF为等腰直角三角形，∴CD＝DE＝CE＝，∵AD＝DC＝，∴AF＝AD﹣DF＝﹣；故答案为：，﹣；（2）①DM＝DN；理由如下：∵四边形ABCD为矩形，如图，∴∠ADC＝90°，由题意结合旋转的性质可得：△EFG为等腰直角三角形，DF＝DG＝DE，∴DF⊥EG，∴∠EFD＝∠FGD＝45°，∠FDG＝∠ADC＝90°，∴∠FDG﹣∠FDN＝∠ADC﹣∠FDN，即∠MDF＝∠NDG，在△MDF和△NDG中，，∴△MDF≌△NDG（ASA），∴DM＝DN；②图3中所有与图7中AF相等的线段为DM、DN由（1）可得：AF＝（﹣1）CD，∵四边形ABCD为矩形