直线、平面平行的判定与性质（高效培优讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

第04讲直线、平面平行的判定与性质

目录

01考情研究.........................................

02知识梳理・........................................

考点一：平行的判定.............................................

考点二：直线与平面平行的判定..................................

考点三：直线与平面平行的性质..................................

考点四：平面与平面平行的判定..................................

考点五：平面与平面平行的性质..................................

三阶段突破训练

基础训练・................................................................

能力提升................................................................

真题感知................................................................

A考情探究＜

一、5年■■者白分布

5年考情

考题示例考点分析考情分析

2025•1卷第9题，5分

2025•北京第17(1)题，5分本节内容是高考数学的重点考

2025・2卷第17(1)题，5分查领域，涉及线线平行、线面平行和

2025•上海第18(2)题，8分面面平行的证明问题，常出现在解答

(1)直线与平面平2024•甲(文)第17(1)题，5分题的首个小问。本部分综合复习了空

行的判定与性质2024•天津第17题(1),5分间中平行关系的判定定理与性质定

(2)平面与平面平24年北京卷第17(】)题，5分理。在高考真题中，尽管证明目标集

行的判定与性质2024年I卷第17(1)题，5分中于平行结论，但解题过程常需交替

2024年甲(理)第19(1)题，5分运用直线与半面平行的判定或性质

2022年甲卷(文)第19题，12分定理，从而增强了题目的综合性与难

2022年乙卷(文)第9题，5分度。

2021年浙江卷第6题，4分

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理2

能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形平行关系的简单命题.

三、9HR导18

H线叮千面没行公共点,\

入足乂则称此＞线平面af行，记作/〃a/'

如果平面外的一条直线和这神

判定方法面内的一条直线平行，那么这条

直线和这个平面平行

如果一条直线和一个平面平行，经过

性质定理这条原线的平面和这个平面相交，那

\么这杀直线就和交找平行

没有公共点的两个千面叫作千行千面,

用符号表东为：对上平面a和。，n«np=*-则。〃p

如果一个平面内看两条相交的直域都平行

于另一个平面，那么这两个平面平行

如果两个平行平面同时和第三个平面

相交，那么他们的交线平行

A知识梳理＜

i.线面平行的判定定理和性质定理

类别文字语言图形语言符号语言

判定如果平面外一条直线与此平面内的/1/

定理①________平行，那么该直线与此平面平行Z7Qua=〃/a

ICa.

性质一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面lip=l〃b

定理与此平面相交，那么该直线与②―平行

aCB=b

【答案】二•条直线；交线

2.面面平行的判定定理和性质定理

类别文字语言图形语言符号语言

判定定如果一个平面内的两条③_________与另一个zrZa\

理平面平行,那么这两个平面平行’

0/anb=P>=>a//p

aua

buaJ

性质定两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面

理④一，那么两条⑤―平行/万/aAy==>a//b

BCy=b)

【答案】相交直线；相交;交线

点拨三种平行关系的转化

性质定理

S判定定理判定定理

线线平行二庚定现垓面平行—面面平行

方法总结

线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示.

判定/

一~弋＜质判定性心》~、

(―j〃面D

(1)证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线。与平面。没有公共点，一般结合反证法证明;

②利用线面平行的判定定理，即线线平行=线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面,

同何进面，得平行四边形的对边，不同向进而，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

＞探究核心考点＜

考点一；平行的判定

典例1.（2025•河北衡水•三模）己知直线平面且。U。，则是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由bua,a"b,可得〃/以或〃ua,所以是的不充分条件，

由bua,a//a,可得〃///?或。与。是异面直线，所以是"a//a"的不必要条件，

所以"〃/"〃是“〃/3”的既不充分也不必要条件.

故选:D.

典例2.（2025・河南•二模）如图，已知正方体的棱长为2,E,尸分别是棱AD,8c的

中点，若。为侧面AQRA内（含边界）的动点，且4尸//平面B所，则的最小值为（）

A.犯।B.迥C.75D.2夜

55

【答案】B

【解析】如图所示，取AA的中点/，连接AM，,4片，

在正方体ABCD-ABQR中，可得八。//BG且A0=，

因为E,尸分别是棱AO,4G的中点，则AE//与/且AE=87，

所以四边形为平行四边形，则

又因为人用（z平面8所.四u平面8叮，所以44//平面班下，

同理可证：AM〃平面8瓦

因为人向「AM=八，且明,AMu平面48也,所以平面被M〃平面庞下,

又因为AWu平面朋2。，当PeAW时，则用Pu平面所以旦夕〃平面8所，所以点。在侧面

M〃。内的轨迹为线段AAZ，

因为正方体ABC。—4用CQ的边长为2,可得AM=4M=A/5.AB、=2垃,

在Z\AM4中，可得cosNAM.=：|工=g,且与Mcos/AMq=gv逐=AM,

则sin/AMg=口色，所以87的最小值为AMrin/AMq=J5x口&=

51'55

【方法技巧】1.平行关系中的三个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,al/?，则a〃/7：（2）平行于同一个平面的两个平面

平行，即若眼"fitly，则a〃y.

2.平行关系相关的性质

（1）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；（2）两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应

成比例；（3）同一条直线与两个平行平面所成的角相等.

跟踪训练1.（2025•四川成都•模拟）已知〃?，〃是两条不同的直线，d力）是三个不同的平面，则下列结论

正确的是（）

A.若加//n,m//a,则〃//a

B.若a〃⑸mua,〃u尸,贝］〃"/〃

C.若aJ_反/_!_，，则a///

D.若m//n、aH0,ml_a,则〃

【答案】D

【解析】对于A,若加//%，〃//a,则〃〃a或〃ua,故A错误；

对于B若a〃4,mua,〃u<,则加〃〃或人与〃是异面直线,故B错误；

对于C,若则a///或acy=/，故C错误；

对于D,若川//〃，"7_1_a，则〃_La,又因为a///?,所以〃_L/?,故口正确，

故选：D.

跟踪训练2.(2025•福建泉州•模拟预测)在边长为2的正方体ABCO-A/GR中，M为边CG的中点，N

为边的中点.则()

A.RN”平面ABM

B.DN/平面ABM

C.直线GM与平面ABM所成用的余弦值为正

5

D.直线与平面A4河所成角的余弦值为半

【答案】AD

【解析】对于A,取8瓦的中点£,连接CE,可得RN//GE

在正方形BCG4中，因为M为CG的中点，可得8M//C£,所以。N//BM

因为AN(Z平面48Vf,8Wu平面八8W,所以RN〃平面A8W,所以A正确：

对于B,连接ON,设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系，

可得N(2,0,l)，A(0.0,2),A(2,0,0),4(2,2,0),M(0,2,l)C(0,2,2),。(0,0,0),

则DN=(2,0,1),A8=(0,2,0),BM=(-2,0,1),

n-AB=2y=0

设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),则，

n-BM=-2x+z=0

取z=2,则x=l,y=。，所以〃=U，0,2),

因为ON.〃=4wO，所以与平面ABM不垂直，所以B错误;

对于C,由向量。|例=(0,0,-1),设CM与平面所成的角为0,

可得sin6=gs。附,“==1=，其中6e[0，"

所以cos。=Jl-sii?。=且，即C、M与平面ABM所成角的余弦值为好,

55

所以(:不正确；

对于D,由向量=(0.-2,2),设直线CR与平面A6M所成先为“，

।___ICD•h4

则"n"向°小碰{==可，其中al。,]7r

所以cosa=，l—sin?a=巫,即直线CR与平面相M所成角的余弦值为叵,

55

所以D正确.

故选：AD.

跟踪训练3.（2025•江苏淮安•模拟预测）已知。，尸为平面，〃，〃为直线，下列说法正确的是（）

A.若直线〃，〃与平面。所成角相等，则。b

B.若a,bua,且a〃〃，b"0,则a〃?

C.若aJL〃，aB=1,aua,bu。，若a,人均不垂直于/,则a,人不垂直

D.若a_L〃，aua,ba。,bA.a,则〃〃尸

【答案】C

【解析】

如图所示，在正方体A8CD-£FG〃中，

直线EG和直线04与平面AO//E所成角均为45°,但7，，故选项A错误；

直线箱u平面直线〃u平面AB/话，且所〃平面A8CO,〃〃平面A8CO,但平面A8生_1_平

面/SC。，故选项B错误；

平面/WAE_L平面ABC。，£Fu平面AB户E,EDO平面ABC。，且£F_L£Z>,但EO与平面ABC。相交，

故选项D错误；

假设；J.V直线cua,dl,如图所示.

//c

同。不垂直于/,ell,qua,cuo,团直线。与直线C必相交，设acc=O.

Qa_L尸，a（/?=/,c_L/,cua,c.cLp.

又bu/3,：.Cb.

c±Z?,alb'occ=O,aua,cua,:.bVa.

又/ua,这与。，〃均不垂直于/矛盾，故。，力不垂直，故选项C正确.

故选：C.

考点二：直线与平面平行的判定

典例1.（2025•上海金山三模）在棱长为1的正方体"CQ-ABCQ中，点M.N分别是棱8C,CG的中点,

动点尸在正方形4CG与（包括边界）内运动，则P4〃平面AM/V的一个充分非必要条件是（）

A.P为C]B.P为8G的中点

C.P的轨迹长度为&D.P为BBi的中点

【答案】D

【解析】取线段8c,84的中点£尸，连接析旦所,MEFHBC.,

因点M,N分别是棱BC,CG的中点，则MN〃BG，则17/MV,

因£尸（Z平面AMN.MNu平面人MN,则EFH平面AMN,

因EM=BB1,A^/ZBIi,,A4,=4",则EW//AA，EM=从4，

则四边形MEM为平行四边形，则\EHAM,

又AEu平面AMV,AMu平面AMN,则4后〃平面AMN,

又AE0后/=E,AE,u平面尸，则平面A后尸〃平面AMN、

故欲使P在正方形BCC石（包括边界）内，且尸入〃平面AMV,

则点尸必在线段E尸上：

A选项：当「为C1时，无法得出PA〃平面从例*,故A错误；

B选项：当?为BG的中点，无法得出心〃平面4MN,故B错误；

C选项：〜的轨迹长度为无法说明点〜在线段所上，

但若尸片〃平面则尸的轨迹长度为变，

2

则P的筑迹长度为正是尸4〃平面AMN的必耍不允分条件，故C错误;

2

D选项：。为8片的中点，即点P,尸重合时，必有PA〃平面AMN,

但PA〃平面AMN时，P不一定为的中点，

故P为的中点是PA〃平面AMN的充分不必要条件，故D正确.

故选：D

典例2.（2025・福建泉州•模拟预测）在直三棱柱人中，ZA3C=90。，BB，=6AB=6BC，M

为BB'的中点，则（）

A.AC//CMB.A'C'//平面AMC

C.AM1B'CD.平面AWC_L平面AMC

【答案】BCD

【解析】如图，设AC,AC中点分别为O,。，连接"6.30,

对于A,因为4Cu平面AA'C'C,。加＜=平面89。'。，

平面AA'CCc平面BBCC=CC.ACOCC=C,CMV\CC=C,

所以AC,CM为异面直线，故A错误；

对于B,在直二棱柱/WC-ATTC'中，AC//AC,

又A'C'a平面AMC，ACu平面AMC，所以A'C'//平面AMC，故B正确：

对于C,在直三棱柱ABC-ABC中，88」平面AbC,则物」9C',

又448c=90。，所以44‘4'。'=90。，即8'C'J_4'8',

又B&A'夕=9,仍',Abu平面,所以8'C'"L平面AAZ'B，

又AMu平面A4E9,所以*C'JLAM,故C正确：

对于D,因为BB'=QAB=eBC，不妨设BB，=CAB=6BC=2，

vZABC=90°,:.AC=^AB~+BC2=2,BD=-AC=\,

2

在直三棱柱A4C—A'Z/C中，易知BM上BD,则〃0=向尹二丽?二夜，

同理可得MO=Ji，又DD=BF=2,

所以Q/y2=M/>+M/y2，即A/D_LMD\

又MAZABIMB?=6=MC，。为AC中点，

所以M£）_LAC,又ACA!C,所以MZ）_LA'C,

又MD「ArC=ACu平面A'MC,

所以MZ）_L平面AMC,又M/）u平面AMC,所以平面AAQJ■平面AMC,故D正确.

故选：BCD.

【方法技巧】

证明线面平行的方法

（1）在平面内找出（或作出）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；

（2）两平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.

跟踪训练1.（2025•辽宁盘锦•三模）在正三棱柱A8C-44G中，点E为棱的中点，点尸为棱A4的中

点，则下列说法正确的是（）

A.〃平面GB尸

B.若4B=4A，则AQAG

Q

C.若AA=2A8,则直线AE与CF所成角的余弦值为方

D.若A8=AA，则平面GEb与平面48C的夹角为J

6

【答案】ABD

【解析】对于A：依题意，AFHBE、AF=BE,则四边形8%尸为平行四边形，

所以AE//BF,乂AEa平面C/F,BFu平面C/F,故人后〃平面故A正确；

对于B：因为A3=A4],又4七=4片+B|£=AB—JAA,，AG=AC+A4,,

一一1.—.—..—1—1

所以ABAC；={AB--AA.)\AC=AB-AC+AB-AA.--AA,-AC--AA,

=|AB|-|AC|COS60°-||M|2=||^|2-g|W=o,

则aE_LAG，故B正确;

对于C,因为AE//BF,所以N8FG（或其补角）即为直线AE与G?所成的角,

不妨设AB=1,人4=2,则3尸=€；尸=J5,BQ=后,

故直线AE与C尸所成角的余弦值为ICOSZ«FC,|=2笠潟=:，故C错误;

对于D,取CG的中点。，连接乃旦。尸，则J）所是正三棱柱A8C-A.8G的中截面，

平面OEF〃平面ABC,平面GM与平面ABC的夹角等于平面&政与平面DEF的夹角,

取E尸的中点0,连接G。，。。，由C/=JCQ2+DF2=JCQ2+DE?=C1E,

得C0_LE/"乂。。J.EF,则NC0O是平面GE/与平面。切的夹角,

八—CC1—A86

"2'=2_金

在R【G。。中,tanNC0)=则为。。=3

6

所以平面GE/与平面A8C的夹住为故D正确.

6

故选：ABD

跟踪训练2.（2025•福建三明•模拟预测）如图，等腰梯形A3CQ中，AB//CD,CD=2AB=4,AELCD,

垂足为E,将VADE沿AE翻折，得到四棱锥P-四CE.在四棱锥f-/WCE中，点M,N分另!在线段P8,

心且卷号几

⑴求证：仞7//平面?。£；

【答案】（1）证明见解析；

AF4G

【解析】（1）若F,G分别是4EAP上的点，且%=空=2,连接NE尸GGM,

4NBM

X—=—=2,所以NF〃CE//A3//GM,尸G//£P,即M,N,RG四点共面,

NCMP

由杯U平面PCE,CEu平面PCE,则M7//平面PCE,

同理可证FG//平面PCE,又NF、FG=F,且都在平面MNFG内，

所以平面MWG//平面PCE,MNu平面MNFG,故A/N〃平面尸CE；

典例1.（2025•江苏南京•二模）设。是平面，〃?，〃是两条直线，则下列命题正确的是（）

A.若mUa,〃//a,则〃?//〃B.若m_La,n/ia,则〃z_L〃

C.若〃mHn,则〃//aD.若"?与。所成的角相等，WJmHn

【答案】B

［解析1对于A选项,若mHa,n/la,则机与〃可能平行、相交或异面.

例如，在正方体A8CO—AqGA。，AA//平面ABC。，4修〃平面ABC。，但AA与A4是相交的；A\DJ/

平面ABCZ）,BC〃平面/WCD,但AR与8G是平行的.AG〃平面A9c。，AS//平面ABCD,但与

RS是异面的.

对于B选项，若〃//a,则存在直线/ua,使〃/〃.

乂因为〃根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一

条直线垂直，所以/〃，/.

由于〃/〃，根据异面直线所成角的定义可知机_L〃，所以B选项正确.

对于C选项,若〃〃/a,mHn,则〃//a或〃ua.例如，当〃在平面a内时，也能满足“〃a且,所以

C选项错误.

对于D选项，若〃?，〃与。所成的角相等，则"，与"可能平行、相交或异面.

例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间相交.所以D选项错误.

故选:B.

典例2.（2025・北京大兴•三模）如图，矩形AC庄,AE=1,平面ACFE_L平面/WCZ）,AA//C。，

NBAD=90°,AB=l,CD=2,AD=\f平面ADF与棱BE交于点G.

（1）求证：AGHDFx

【答案】（1）证明见解析

【解析】（1）因为CD//A8,CDu平面COF,48a平面CO凡

所以A8//平面C0F.

乂CF//AE,C『u平面CQF,A£（z平面CO凡

所以/平面COR

又A8n4E=4,且A4,AEu平面A8E,

所以平面ABE//平面CDF,

又因为OFu平面CDR所以。平面CQ尸

因为Obu平面ADR平面4）户c平面"E=AG

所以。尸//AG,BPAG/IDF

【方法技巧】证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过咳线的一个平面和已知平面的交线平行.

注意利用线面平行的性质定理的美键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

跟踪训练1.（2025•湖南长沙•三模）在直三棱柱人8。-486中，AB±BC,AB=\,BC=瓜,

40=440（0</1<1），若Aa〃平面A8O,求4的值；

C__________51

【解析】连接A4交于点石，连接。石,

QAG〃平面A/。，AGu平面4c4,平面平面「.DE/AAG，

又是A4的中点，故力是乌G的中点，・•・石;.

跟踪训练2.（2025•山东滨州•二模）如图，在四棱锥尸-ABCO中，底面4BCO是矩形，

AO=2,人3=3,八八町为等腰三角形，且NPA。号，点E为线段尸。上一点.若8尸〃平面ACE,

求;二的值;

B

【答案】y

【解析】

设AC80=0,连接0E,因为正方形ABC。，所以。为4。的中点，

又因为8P//平面AC£,且BPu平面8。2，平面ACE1平面BDP=OE,

所以BP//OE,在正方形A8CO,0为80的中点，可得E为QP的中点，

PE1

所以，当BP//平面ACE,则丽=不.

考点四：证明面面平行

典例1.（2025•福建福州•模拟）如图，点A&C、M、N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不

满足直线"N〃平面A8C的是（）

【答案】D

【解析［对于A选项，如图①所示，在正方体0MM-GPQT中,

图①

QT〃EF&QT=EF,

因为8,C分别为Qr样的中点，则BQ//且BQ=EC,

所以四边形BCEQ为平行四边形，所以4C〃£Q,

因为8cd平面EMPQ.KQu平面EMPQ,所以8C〃平面上MPQ,同理可证A8〃平面初沪。，

因为48cBe=&AB,8Cu平面ABC,所以平面EMPQ〃平面ABC,

因为MNu平面EMPQ,故MN〃平面ABC,故A满足；

对干B选项,如图②所示,连接夕丁.

G

图②

在正方体DECF-GPQ7中,PE"FTRPE=FT,

因为AA分别为PE,口的中点，则Q4〃87且

所以四边形为平行四边形，椒PT,

因为M,N分别为GP,GT的中点，则MN〃/>T，所以MN〃AB,

因为MV0平面ABC,4E〃平面ABC,

所以MN〃平面4“C,故B满足；

对『C选项，如图③所示，在正方体DMKN-GPQ7中,取G7的中点F,

连接4£BF,PT,

,夕，一7

图③

因为PG〃融且PG=KMA,C分别为PG,KN的中点，

所以AG〃CN且AG=OV,故四边形ACNG为平行四边形，MAC//GN,

因为尸,B分别为G「7W的中点，所以的'〃GN,则M〃AC,所以4及C,厂四点共面,

因为月“〃ATJ1*W=N7，则四边形BWA7为平行四边形，所以尸7〃MN,

因为A尸分别为PG,GT的中点，则所〃。7，所以〃町，

因为MN<Z平面ABC.AFu平面力8C,所以MN〃平面A8C故C满足；

对于D选项，如图④所示，在正方体。£K〃-GP。7中，取EK的中点”,

连接BH、HM,CN,PT,EF,BN,

图④

因为PE//FTRPE=FT,B,N分别为PE,FT的中点，则PB〃TNRPB=TN,

所以四边形P8N7为平行四边形，则4N〃/>/，

因为AC分别为GP,GT的中点，所以AC〃PT,故AC〃8N,所以A4,C,N四点共面，

同理可证〃用V,WAC〃MH、同理可得A8〃〃CN,

反设MN（Z平面ABC,

因为MN〃A8,且A8u平面ABC,则MN〃平面A8C,

但MN与平面ABC有公共点N,这与MN〃平面A8C矛盾，

故MNu平面A8C,故D不满足.

故选:D.

典例2.（2025•河南•模拟）如图，在棱长均为2的八面体A8CD£户-G”"中，下底面A8CQE”是正六边

形，且平面CW、平面A/G均垂直于底面.

（1）证明：平面A8C。防〃平面GH〃.

【答案】⑴证明见解析

【解析】（1）在八面体A8C力所―中，四点共面.

因为八面体ABCDM-G"〃的棱长均为2,所以四边形8C7”为菱形，BC//1H.

因为8Cu平面ABCDEFJH仁平面ABCDEF,所以出〃平面A8COEE

同理，G“〃平面ABCDEF.

因为/HcGH=H,所以平面GM"〃平面43co£F.

【方法技巧】判定面面平行的方法

（1）利用定义，即证两个平面没有公共点（不常用）.

（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）.

（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）.

（4）利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（客观题可用）.

注意利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.

跟踪训练1.（2025•安徽•模拟预测）如图1,E,F,G,”分别是正方形48co各边中点，将

LAEHQBEF^CFG.DGH分别沿EH,EF,FG,GH折起，使得\AEHQBEF,ACFG,ADGH所在平面与底面

EFGH均垂直（如图2）,连接/山,8C,CDQ/I.

（1）证明：平面平面EFGH；

【答案】⑴证明见解析：

【解析】（1）如图1,A,B,C,。在平面耳5/上的投影A'l'CQ分别为的中点，

因为,防QCFG,OG”是全等的等腰直角三角形，所以44'=仍'=8'=。。，

又MEH、BEF,CFG,所在平面与底面EFG”均垂直，

所以与底面EFGH均垂直，从而AA//BB//CC//DD,

故四边形AAm9。。均为平行四边形（矩形），因此AC//A'C"D〃4'D',

由4。2平面£/七"，40匚平面石依”，则AC〃平面瓦＜汨，

同理打证BD//平面EFGH,又AC.BD相交且都在平面A8C。内，

所以平面ABCDH平面EFGH；

跟踪训练2.（2025•江西新余•模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2,E、/分别为AD、CQ中点，

四边形EOF。也是正方形，经过。点的直线/与平面ABC。的夹角为且/_LAC,现将正方形EOF。沿直线

4

/平移至A4G。得到四棱台ABCD-A8CQ.

%£i

f/

DE

FC

⑴求证：平面AE。〃平面AGC。；

【答案】（1）证明见解析

【解析】（1）由条件可知：£O〃oc,又EO（Z平面CGR。，ocu平面CG。。，

所以EO〃平面CG。。，又AO//OE且AA=OE，

所以四边形是平行四边形，故AEI/DD、,

又AEu平面CCQQ,DRu平面CCQQ,所以4E//平面CCQQ,

又％EcEO=E,又AEEOu平面AE。，所以平面④七。〃平面.

考点五：面面平行的性质

典例1.（2025•重庆•三模）已知长方体ABCO-ABGQ中，AB=AD=4,M=而，七为A片的中点.

若长方体表面上的动点P满足AP=2AC+〃AE（Z4£R）,则动点尸的轨迹围成面积为（）

A.24B.18C.1272D.12

【答案】A

【解析】由”=2AC+/ME知，点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形，

取4G的中点凡连接E尸,则有E/"AC,

又AE=CF=5所以EFC4为等腰梯形，

AC=2EF=4g，由此可算出其高〃=4夜，

所以等腰梯形EFCA的面积=1（2及+4x/2）x4x/2=24.

典例2.（2025・北京•模拟预测）在如图所示的多面体中，AB//CD,四边形ACEE为矩形，AB=AE=\,

AD=CD=2.

E

⑴求证：〃平面ABE；

【答案】（1）证明见解析.

【解析】（1）由四边形ACFE为更形，可得CF//AE,因AEu平面4?",C"a平面A%,故C尸〃平面

ABE；|i|AB//CD./Wu平面ABE，平面/腕，故CQ〃平面ABE,

又因C£＞「CTuGaZCbu平面CDb,故有平面A8£7/平面CD/7.

再由£）9u平面CDF可得。尸//平面ABE.

【方法技巧】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行=线面

平行”）

跟踪训练1.（2025•河北秦皇岛•三模）如图，在棱长为2的正方体"CO-44CQ中，E、尸分别为44、

8c的中点，则过点E、F、R的平面。与侧面BCC4的交线长为（）

人・日B/C.fD.及

【答案】A

【脩析】设平面a分别交棱C。、/2门.•点M、N,如下图所示:

因为平面ABCD〃平面,平面打〃Q平面ABCD=FM,

平面EFRC平面所以

又因为AA〃BC,由等角定理及图形可知/AQE=NCFM,

A.ECM111

则31/4。田=匕1/€7^,即矢==z，故CM=：CF=：,

117C7Fr222

13

^DM=CD-CM=2——=-,

22

因为平面44.B、BH平面CGR。，平面。平面A4M8=£N,

平面门平面CG。。=QM,所以ENHD\M,

又因为BBJ/DD,,由等角定理及图形可得NORM=NB\NE,

_AA

所以lanNORM=tan/耳NE,即也=里=2=。，所以8小=2&E=2,

-_

DDX-2433

所以BN=BB「B、N=2_^=^,故NFZBM+BF?=J^j+F='.

因此，平面。与侧面8CC£的交线长为N/=巫.

3

故选：A.

跟踪训练2.（2025•山东聊城•模拟预测）如图所示的多面体A48CDE中，P8_L平面A8CD,PB=3,AB//CD,

EC//PD,DC=2AB=2,AD-V10»EC=>/2»PD=3EC.

⑴若点尸为灰中点，求证：A尸//平面BEC；

（2）求直线BE与平面ACE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】（1）证明：如图所示，取/X?中点M,连接AM,五M,

因为A8//CD,且/X?=2AB=2：所以MC//A8,且A/C=A3,

所以四边形ABCM为平行四边形，可得AMHBC,

又因为同〃二平面8£（7,且8Cu平面8EC,所以AM//平面BEC,

因为ECV/叨，且尸和M分别是腰巫和。。的中点，可得FM//EC,

又因为平面BEC,且ECu平面8EC,所以FM//平面8EC,

因为=M，且AM,kMu平面ARW,所以平面加71〃/平面8EC,

又因为A尸u平面AFM,所以AF〃平面3EC.

＞三阶突破训练＜

基础过关

1.设表示空间的两条直线，。表示平面，给出下列结论：（1）若〃/必且人ua,则。〃々；（2）若a//c

且方ua,贝Ija//R（3）若々〃〃且。//“，则〃〃a；（4）若a//a且〃〃a,则a〃〃，其中不正确的个数

是（）

A.1B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】若〃///?且hua,则a//a或aua,故命题错误；

若a//a目.。ua,则a/〃?或a,力为异面更线，故命题错误；

7；〃///?且a//a,则。〃a或〃ua,故命题错误；

若〃//。且力〃2,则a//）或〃力相交或异面，故命题错误.

故选：D.

2.设/为直线，a为平面，则的一个充要条件是（）

A.。内存在一条直线与/平行B./平行。内无数条直线

C.垂直于。的直线都垂直于/D.存在一个与a平行的平面经过/

【答案】D

【解析】对于A中，由。内存在一条直线与/平行，贝。或/ua,所以A不正确；

对于B中，由/平行。内无数条直线，则〃或/ua,所以B不正确；

对于C中，由垂直于。的直线都垂直于/，则〃/a或/ua,所以C不正确；

对于D中，如图所示，由///a,在直线/上任取一点P作直线。，使得a〃a,

因为=尸且/MU平面夕，所以。//〃，即充分性成立；

反之，若存在一个与〃平行的平面经过/,根据面面平行的性质，可得〃/a,即必要性成立，所以D正确.

故选:D.

/文/”

///

X

3.已知夕是两个不同的平面，利，/是两条不同的直线，若mua,a/?=/,则“〃?〃/”是“〃?〃△〃

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.

【解析】若mua,a、B=l,且ma6,所以直线与平面平行的判定定理知〃?〃£；

若阳ua,aB=l,m〃3所以直线与平面平行的性质定理知“2〃/；

所以"m〃/"是"小〃尸”的充要条件.

故选：C.

4.已知。⑦表示两条不同的直线，a，/，，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（）

A.a（\B=a,buanaUb

B.ac\p=a,a/lb=。〃（/,且方//4

C.cdip、aCY=a、0r\y=bna]lb

D.aM/3、b/1p、aua、buana3B

【答案】C

【解析】对于A,由an/?=