中考数学重点题型：尺规作图（2大易错点分析+21个易错点+易错题通关）教师版

尺规作图

尺规作图专题

易错点：

1.对工具的理解不准确：学生可能会误解直尺和圆规的使用规则。例如，直尺不能用来测量长度，只能用

来连接两点：圆规可以开到无限宽，但上面不能有刻度，只能拉开成之前构造过的长度。

2.作图步骤混乱：尺规作图需要按照•定的步骤进行，如果步骤混乱或者遗漏了某些步骤，可能会导致作

图失败或者得出的结果不准确。

3.对•几何概念理解不足：尺规作图涉及到许多几何概念，如线段、角、垂线等。如果学生对这些概念的理

解不足，可能会导致作图时出现错误。

4.忽略题目要求：在做尺规作图题时，学生需要仔细阅读题目要求，理解需要作什么图形以及需要满足的

条件。如果忽略了题目要求，可能会导致作图结果与题目要求不符。

5.作图精度不够：尺规作图需要一定的精度，如果作图时精度大够，可能会导致作图结果不准确。例如，

在作角平分线时，如果角度的划分不准确，就会导致结果不准确。

易错点1：等角作图

例：己知：如图，幺。8=20。，03平分/A℃.

(1)以射线。。为一边，在ZAOD的外部作NOOE,使NDOE=NCOO；(尺规作图，保留作图痕迹，不要求

写作法)

(2)若44。£：=105。10',求ZA8的补角的大小.

【答案】(1)见解析

(2)107025‘

【分析】本题主要考杳了尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握

定义.

(1)根据尺规作一个角等于已知角的方法进行作图即可；

(2)根据ZAQ8=20。，。8平分NAOC,WillZAOC=2ZAOB=2x20°=40°,根据NDOE=NCOQ,

ZDOE+ZCOD=ZEOC,求出NDOE=/COD=32。35',得III幺。£>=/。0。+/〃七=32。35'+400=72。35',

然后求出结果即可.

【详解】(1)解：如图，N£>O£即为所求作的角；

(2)解：VZAOB=20°,08平分NAOC,

・•・ZAOC=2ZAOB=2x20°=40°,

*/ZAOE=105010,,

・•・ZEOC=ZAOE-ZAOC=105°10,-40°=65°10r,

V/DOE=/COD,ZDOE+NCOD=ZEOC,

・•・/DOE=Z.COD=32。35',

ZAOQ=NCOQ+ZAOC=32°35'+40°=72°35',

:.1800-72°35,=107Q25,,

：・小的补角的大小为107。25'.

（1）在。8的下方作/80。=440。，仅用直角三角板完成作图，并说明作图的依据：

⑵在（1）的基础上，若N/4OD=160。，求/BOC的度数.

【答案】（1）见解析

（2）20°

【分析】（1）将直角板一边沿着OC方向，顶点与。点重合，沿着另一条直角边画射线。。即可；

（2）根据已知条件求出NAOC=70。，再由/8OC=NAQ8-NAOC即可得到答案.

【详解】（1）解：将直角板•边沿着OC方向，顶点与。点重合，沿着另•条直角边画射线0。即可.

ZAO6=90°,乙COD=90°,

ZAOB=^AOC+^COB.

NCOD=/DOB+ZCOB,

NBOD=ZAOC；

(2)解：•••Z4OD=160。，ZCOD=90°,

...ZAOC=ZAOD-ZCOD=160°-90°=70°,

.•.Z.BOC=ZAOB-ZAOC=90°-70°=20°.

变式2：如图，Z4OC=Z^OD=90°.

（2）设NDOC=。，=求夕与。之间的关系式；

（3）请在备用图中，仅利用三角板画出NMPN,使NM/W=N£P/J（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）ZA8=N8OC

（2）夕=180。一仪

⑶见解析

【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到答案；

（2）结合角的特点进行计算即可；

（3）以PF为直角的一边作NMPF,再以£P为直角的一边作NEPN,NMQV即为所求作.

【详解】（1）解：:NAOC=N8OD=90。，

/DOC+ZAOD=90°,Z1DOC+Z1BOC=900,

・•.ZAOD=/BOC；

(2)解：设NDOC=a,ZAOB=fi,则〃=4OD+a+NCO",

."+a=ZAOD+a+Z.COB+a,

..A+a=NAOC+N8O。=180。，

/.A=1800-a；

(3)解：如图所示，/M0V即为所求.

•;EPN,/MPF=900,

：.ZEPN+AEPM=ZA/PF+Z£7W,

:.NMPN=/EPF.

N

【点睛】本题考查了角的和差计算，同角的余角相等，作图-复朵作图，熟练掌握知识点是解题的关键.

易错点2：垂线作图

例：如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，点A、B、C、。均

在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

0

-1--♦・,

.4

C；

­-£)

(1)画线段A8,画直线AC.

(2)过点。画直线AC的垂线，垂足为E.

(3)点。到直线AC的距离为线段一的长度.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)DE

【分析】本题考查作图-应用与设计作图、直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，熟练掌握相关知识

点是解答本题的关键.

(1)根据线段、直线的定义画图即可.

(2)结合网格，过点。作OE垂直直线4c即可.

(3)由点到直线的距离可知，点。到直线AC的距离为线段OE的长度.

【详解】(1)解：如图，线段八区、直线AC即为所求.

(2)如图，OE即为所求.

(3)点0到直线AC的距离为线段OE的长度.

故答案为：DE.

变式1：如图，在射线A8上有一点M,请选择适当的工具作图，完成以下问题:

(1)过点M作射线AC的垂线，垂足为点〃；

(2)在线段”。上任取一点N(不与”，。重合)，连接MN；

(3)在线段MA,MU,MN中，线段最短，依据是.

【答案】(1)见解析；

⑵见解析；

(3).”“，垂线段最短

【分析】(1)根据垂线的作法作图即可；

(2)根据平行线的作法作出平行线即可；

(3)根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论.

【详解】(1)解：如图所示，直线即为所求;

⑶解：VMH0AC,Z.MH<AM,MH<MN,

理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短.

故答案为MH,垂线段最短.

【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关

键.

变式2：在正方形网格中，每个小正方形的边长都为I个单位长度，AABC的三个顶点的位置如图所示，现

将AABC向右平移3格，再向下平移2格，得到△OER使点A的对应点为点。，点B的对应点为点E,点

C的对应点为点立

(1)画出△DEE

(2)在图中画出的A8边上的高线CG(保留利用格点的作图痕迹);

（3）AABC的面积为；

（4）若AB的长为5,AB边上的高CG=

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用平移的性质得出对应点的位置，顺次连接即口:；

（2）利用格点的特点，过。点作48的垂线即可；

（3）利用AABC所在矩形的面积减去周围3个三角形的面积即可求解：

（4）利用（3）的结论和三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）解：如图，将AABC的三个顶点分别向右平移3格，再向下平移2格，得到对应点的位置，顺

次连接即可得到△/）"；

（2）解：如图，利用格点的特点，过C点作A8的垂线CM交AB于点G,CG即为A8边上的高线;

（3）解：ZkABC的面积为:4x4——x4x1--x3x1---x3x4=—

13

故答案为：y;

（4）解：由（3）得SMBC=—,

・•・-ABCG=—,

22

:AI3=5,

・•・-x5CG=—.

22

13

解得CG=£,

13

故答案为:y.

【点睛】本题考杳平移变换、格点作图及三角形面积的求法，利用格点特点作出4B的垂线是解题的关健.

易错点3：角平分线作图

例：已知：如图RL&ABC,ZC=90°.

⑴用尺规作图法做NA8C平分线交4c于点D（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若AB=IO,CD=3,求△A80的面积.

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】本题考查了作图——角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等

是解题关键.

（1）根据角平分线的作法作图即可；

（2）过点。作与点E，由角平分线的性质定理得到QE=ZX?=3,即可求山△A8O的面积.

【详解】（1）解：如图所示，点。即为所求；

（2）解：如图，过点。作。与点E,

Q8。是NA8C的平分线，DEJ.AB,BC±AC,

:.DE=DC,

DC=3>

DE=3»

"\BD=-^xDE=-xlOx3=!5.

22

变式1：请回答下列问题：

（1）如图I,已知利用直尺和圆规，作/84C的平分线八。交于点。（保留作图痕迹，不要求写

作法）；

（2）如图2所示，A。是AA5c"的年平分线石、尸分别是AB、AC上的点，旦NEDf+N6AC=18。。，求证：

DE=DF.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可；

（2）过点。作于点〃，作QQ^AC于点Q，证明△曰〃运△凡犯（AAS）,得出OE=QF，即可得

出答案.

【详解】（1）解：如图，作N8AC的平分线人。交8C于点。；

A

（2）证明：如图，过点。作OHJ./W于点H,作QQ^AC于点Q,

则NE〃D=NFQO=90。,

平分/84C,

/.DH=DQ,

QZEDF+ZBAC=180%

:.ZAED+ZAFD=\S00,

ZDFQ+ZAFD=\S00,

/.ZDEH=ZDFQ,

ZDEH=/DFQ

在4EHD和AFQD中<NEHD=AFQD,

DH=DQ

.•.△EHD^AFQD(AAS),

：.DE=DF.

【点睛】本题主要考杳了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，

解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法.

变式2：如图，在“8C中，。是力8边上的一点，且4C=4).请用尺规作图法在边BC上找一点M,使

得2ACM=S“.(保留作图痕迹，不写作法).

【答案】见解析

【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，作出/C4B的角平分线交于"，则点M到AC的距离与

到AD的距离相等，根据AC=A。进而可得S“CM=SWW,即可求解，熟练掌握尺规作图作角平分线的方

法是解题的关键.

【详解】解：作出/C43的角平分线交8。于例，

•・・点M到AC的距席与到AD的距离相等，

,/AC=AD,

Lc”=S»

如图所示，点M即为所求:

c

M

B

D

易错点4：垂直平分线作图

例：如图，在矩形A8C。中，AC是对角线.

（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点。，交边人。于点E,交边BC于点F（要求：尺规作图并

保留作图痕迹，不写作法，标明字母）：

（2）连接AA、CE,求证四边形AEb为菱形.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】

本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、菱形的判定和矩形的性质.

（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得到M/AC,OA=OC,再证明△AOEgACO9得到OE=O尸，然后

利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到结论.

【详解】（1）

解：如图，为所作；

(2)

证明：TE产垂直平分AC,

：.EFLAC,OA=OC,

••・四边形A3CO为矩形,

/.AD//BC,

ZDAC=ZBCA,

在aAOE和△(%>「中，

NEAO=NFCO

<OA=OC,

NAOE=/CO”

/.AAOE^ACOF(ASA),

:.OE=OF,

・•.AC与石"互相垂直平分,

••・四边形A£C"为菱形.

变式1：如图，在“8C中，AO是△A8C的角平分线.

（1）请用圆规和无刻度的直尺作AO的垂直平分线，分别交Ab,4c于点“，N：（保留作图痕迹，不写作

法）

（2）连接DM,DN,试判断四边形/U〃）N的形状，并证明.

【答案】（1）见解析

⑵四边形AMDV是菱形，证明见解析

【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的美健是理解题意，正确

作出图形.

（1）根据要求作出图形；

（2）结论：四边形AMDV是菱形.证明四边相等可得结论.

【详解】（1）图形如图所示：

A

N

wx

BDC

(2)结论：四边形AMEN是菱形.

理由：设MN交AO于点。.

•.MV垂直平分线段

:.MA=MD,NA=DN,

•.•AO平分/8AC,

:.ZOAM=^O/\N,

vZO/VW+ZAMO=90°,ZOAN+ZANO=90°,

:.ZAMO=ZANOf

：.AM=AN=DM=DN,

••・四边形AMZW是菱形.

变式2：A、8是两个村庄，口、£2是两条马路.为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批

发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等.请你川尺规在图中找出市场的位置.（不用写

作法，但是要保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，

到两个村庄的距离相等，则蔬菜批发市场在线段A3的垂直平分线上，到两条马路的距离相等，则蔬菜批发

市场在"、L2夹角的角平分线上，据此作图即可.

【洋解】解：如图所示，作线段人B的垂直平分线和〃、L2夹隹的角平分线，二者的交点尸即为所求.

易错点5：平行线作图

例：作图题：

图①图②

（1）在图①中，作过点P作直线垂足为从作直线P0〃。。；

⑵请直接写出图①中三角形Q钻的面枳是平方单位；

（3）在图②中过点P作直线PC〃04（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）

【答案】（1）见解析；

⑵11；

（3）见解析

【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图

的步骤是解题关键.

（1）利用网格的特点作出图形即可；

（2）利用割补法即可求解；

（3）根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出N8PC=N8Q4即可解决问题.

【详解】（1）解：直线PH和直线即为所作，

2

=11平方单位；

故答案为：II;

(3)解:如图，直线PC即为所求.

B

变式1：如图，点。在△ABC的边的延长线上，利用尺规作图法在AC的延长线上求作一点E,使得

DE//AH.(不写作法，保留作图痕迹)

【分析】本题主要考查尺规作图，根据作一个角等于已知角的方法作图即可，熟练掌握作一个角等于已知

角的尺规作图以及平行线的判定是解题的关键.

【详解】解：如图，①以4,力为圆心，任意长度为半径画弧，交DB于点H,交AB与N；

②以。为圆心，MN长度为半径画弧，交弧于点G；

③连接DG,延长OG,交AC于点E；

•・,/CDE=NB,

/.DE//AB,

・••点七即为所求.

变式2：如图，NC4E是&48C的一个外角.

(1)尺规作图，过A作8c边的平行线AO.(保留作图痕迹，不要求写作法);

(2)在(1)的条件下，若A3平分NC4E.求证：AI3=AC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查了作一个角等于己知角，平行线的判定和性质，等角对等边，

(1)作NB4G=N8,即可得到AO〃8C；

(2)利用A。平分/CAE得到NE4O=/D4C,根据AO〃AC推出NE4O=N&NC=N。人C,由此得到

ZB=ZC,即可推出4?=AC；

熟练掌握各性质定理是解题的关键.

【详解】(1)如图所示，以B为圆心，以任意长为半径画孤，交A8,3C于点M,N,以A为圆心，以长

为半径画弧，交AE于凡再以尸为圆心MN长为半径画弧，两弧交于G,连接AG即为所求平行线A。.

E

•・・/E4G=/8,

・•・AD//BC；

(2)・・・4。平分/。45.

・•・ZEAD=ZDAC,

'：AD//BC,

・••/EAD=ZB,ZC=ZDAC,

J/B=/C,

:.AB=AC.

易错点6：平移网格作图

例：如图，在平面直角坐标系中，已知4（2,7）,8（2,3）,C（6,3）,点用在线段AC上，坐标为（4,5）.

（1）（不用画图，直接写坐标）点M关于直线8C对称的点坐标是」如果将向右平移2个单位，平移

后点M对应点M"的坐标是二

（2）在线段上找一点尸，使N4PA=NMPC.（不必写作法，保留作图痕迹，标出点P）

【答案】（1）（4/），（6,5）；

⑵作图见解析.

【分析】（I）根据轴对称和平移得性质即可求解；

（2）连接AM',与8C相交于点尸，点尸即为所求；

本题考查了轴对称、平移，坐标与图形，作角相等，掌握轴对称和平移的性质是解题的关键.

【详解】（1）解：•・•点M关于直线8c对称的点为

・•・点用’的坐标是（4,1）；

将A/WC向右平移2个单位，平移后点M对应点的坐标是（6,5）；

故答案为：（4/），（6,5）；

理由：•・•点M与点/W关于直线对称,

:.5PC=/M'PC,

,:<M'PC=ZAPB,

工ZAPB=AMPC.

变式1：己知：“8C在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0,3）、以3,4）、C（2,2）1网格中每个

X

（1）洛”8C向下平移3个单位长度得△A4G，则点C1的坐标是；

（2）作图：以点8为位似中心，在网格内画出△&与G，使△&卜。2与AABC位似，且相似比为2:1；

（3）点4的坐标是，△4与G的面积是平方单位.

【答案】（1）（2,-1）

⑵见解析

⑶（1,0）,10

【分析】本题考查了作图（位似变换），掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键.

（1）根据点平移的规律，“上加下减，左减右加“，求解即可；

（2）延长班至IJA2使得砒=284,延长8c到G使得8G=2BC,连接4。?，则可得到△&Bq；

（3）根据Q的位置求解即可，利用割补法求解△&/G的面积即可.

【详解】（1）解：如图，△ABCi为平移后的三角形，

G点的坐标为（2,-1）

故答案为：（2,-1）

（2）如图，△&网G为所求的三角形，

（3）由图形可得，g的坐标为（1,0）,

△4/G的面积=6x4--x2x4--x2x4--x6x2=l0（平方单位）.

222

变式2：如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1.

（1）按要求作图：△A8C关于y轴对称的图形△AaG；

（2）冷点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点人的坐标为

⑶求“8。的面积.

【答案】（1）作图见洋解

⑵[3,2）

23

⑶a/WC的面积为万

【分析】（1）根据图形关于轴对称图形的定义和方法（原图关键点到轴的距离等于对称图形对应的点到轴

的距离）即可求解：

（2）根据点的平移规律即可求解；

（3）运用"割补法''求几何图形面积即可.

【详解】（1）解：“8C关于》轴对称的图形△A4G,如图所示，

・•.△A4G即为所求图形的位置.

（2）解：根据图示可得，4（-5「1）,将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点

的横坐标为-5+8=3,纵坐标为-1+3=2,

・・・&（3,2）,

故答案为：（3.2）.

（3）解：如图所示，将△A4C补成矩形8底/，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1,

.・.CD=EF=4,CF=DE=7,DA=5,AE=2,BE=3,BF=1,

长方彩

・•・SCDEF=CD.CF=4x7=28,SACDA=1x4x5=10,S^ER=；AE・6E=2x3=3,

乙乙乙乙

1|7

SMFC=_BF・CF=_x\x7=一,

ZADFC_222

,723

**•S^ABC=S&方形CDEF~SdCD「SAAEB-SBFC,§115^=28-10-3--=^-,

•••的面积为彳23

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形关于轴对称的作图方法，点的平移规律，“割

补法”求计算图形的面积的方法是解题的关键.

易错点7：轴对称网格作图

例：如图，三个顶点的坐标分别为A（-4,l）,8（-3,3）,C（-l,2）.

⑴作出AABC关于丁轴对称的△ABC,并写出C的坐标：

⑵求出△AEC'的面积；

⑶在x轴上画出点P,使H+PC的值最小，并写出点P的坐标.（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析，仁（1,2）

呜

⑶见解析，点P的坐标为（-3,0）

【分析】

本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关健是周围轴对称变换的性质，学会利用轴对

称解决最短问题.

（1）根据关于），轴对称的点的坐标特征写出点4、B，、C点的包标，然后描点，顺次连接49、BC、AC

即可;

（2）利用割补法求三角形面枳即可；

（3）作C点关于工轴的对称点C〃，连接AU交工轴于点P,点P即为所作.

【详解】（1）如图所示，夕C即为所求，

・•・C（L2）：

（2）SAABC=3x2-—x2xl--x3xl-ix2xl=—；

（3）如图所示，点P即为所求,

・•・点〜的坐标为（一3,。）.

变式1：如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点48、C在小正方形的顶点上.完

成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）

（1）在图中画出与关于直线MN成轴对称的△A4G;

⑵仅使用无刻度的直尺作出AC边上的高.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了作图一轴对称变换、作三角形的高，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键.

（1）根据轴对称的性质作出点4B、。的对应点4、%G，再顺次连接即可；

（2）根据格点作出AC边上的高即可.

【详解】（1）解：如图，△A8©即为所求;

(2)解：如图，线段4。即为所求,

变式2：如图，在下列带有坐标系的网格中，△AEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,

A(-3,3),B(-4,-2),C(O-l),画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示

(1)在图1中，画出"BC关于滔日对称的AOEC(点。与点A对应)，点E的坐标为_；

(2)在图1中，画出△48C的中线AM,点M的坐标为二

(3)在图2中，画出“的高桥'(保留作图痕迹).

【答案】(1)(4,一2)

(2)(-2,-1.5)

(3)见解析

【分析】本题主要考杳了在网格中作三角形的高和中线以及作轴对称图形，解题的关键是作出对应点，掌

握网格的结构特点.

(1)作出点A、3关于)，轴的对称点。、E,然后顺次连接即可，写出点E的坐标；

(2)连接PQ,交于一点M,连接AM即可，根据点M为BC的中点，写出点M的坐标即可；

(3)连接8V,交AC于一点F,则M即为“WC的高.

【洋解】(1)解：作出点4、B关于)，轴的对称点。、E,则△OEC即为所求作的三角形

故答案为：(4,-2).

(2)解:连接PQ,交BC于一点M,连接AM,点M即为所求,

根据作图可知，点M为所在方格的中点上，点M的坐标为(-2,-1.5).

故答案为：(-2,-1.5)；

(3)解：连接8N,交AC于一点八如图所示:

J隼

易错点8：中心对称作图

例：如图，在方格网中已知格点—3。和点尸，请仅用无刻度直尺完成以下作图.

c：：：BTT'\

(1)画出,使得△AWC和AA4c关于点P成中心对称；

⑵请在方格网中标出所有使以点A,B,P,。为顶点的四边形是平行四边形的。点.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查了无刻度的直尺作图，用到的知识点是中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心

对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形.

(1)根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形；

(2)根据平行四边形的判定，画山使以点A、B,P、。为顶点的四边形是平行四边形的点即可.

【详解】(1)解：如图所示：

UlkA'B'C为所求;

变式1：如图1与图2,在边长均为I个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点。均在格点

I-请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）.

图1图2

（1）在图1中，作8c关于点。成中心对称的△A&C；

（2）在图2中.

①作人4次?绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的；

②请直接写出：点小到AC的距离为.

【答案】⑴见解析

⑵①见解析；②2

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点干，B\C即可;

（2）①利用数形结合的思想解决问题即可；

②判断出是直角三角形，利用等积法，即可求解.

【详解】（1）解：如图1中，即为所求.

图2

②过点8作A。_LAC于点

AB=y]22+42=2>/5»BCuh+f=石，AC=>/32+42=5>

V(2V5)2+(V5)2=52,

•••AB2+BC2=AC2,且ZABC=90。，

SAM=—ABxBC=—ACxBD,

△22

即昨A"=26x石=2,

AC5

・••点3到AC的距离为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查-旋转变换，勾股定理和逆定理，点到直线的距离等知识，解题的关键是学会利用数形结

合的思想解决问题.

变式2：如图所示,在dBC中，4—2,3),次—3,1),C(-L2).

(1)洛向右平移4个单位长度，画出平移后的△ABC"

⑵将“BC绕原点。旋转18()。，画出旋转后的△&与G；

(3)由作图可知△4B|G与△△282G成中心对称，对称中心的坐标是.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

⑶[2,0)

【分析】本题考查了作图的综合问题一平移、旋转和对称.

(1)首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点A、&、C，顺次连接即可；

(2)将A、B、。绕点。旋转180%得到点为、%、C2,顺次连接即可；

(3)通过计算可得A4，用层和GG相交于点(2,0),根据中心对称图形的定义即可解答.

【详解】(1)解：AA臼G如图所示；

(2)解：△为与G如图所示;

(3)解：连接A4，和GG，

・•・对称中心为（2,0）.

故答案为:（2,0）.

易错点9：切线作图

例：如图，已知RsABC（NC=90。）.

（1）作一个圆，使圆心。在AC上，且与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的

理由）；

（2）尺规作图：作。。，使得圆心。在边A8上，0。过点A且与边4c相切于点。（请保留作图痕迹，标明

相应的字母，不写作法）.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心。的位

置是关键.

（1）作出/A4C的角平分线，角平分线与AC的交点。是圆心，以。为圆心，以OC为半径作圆即可；

（2）作/胡。的角平分线A。交AC与。，过。点作。。垂直于AC,交A4与。，以。为圆心，以。。为

半径作圆即可.

【详解】（1）如图所示，0。即为所求

I0B是NABC的平分线，ZC=90°,

・•・点O到AB的距离等于到BC的距离OC.

・・・00与AB、8C所在直线相切

（2）如图所示，0。即为所求作的图形

A

(1)如图①，点。在斜边A8上，以点O为圆心，06长为半径的圆交AA于点。，交6C于点E与边AC"相

切于点F.求证：Z1=Z2;

(2)在图②中作。M,使它满足以下条件：

①圆心在边A4上；②经过点&③与边4c相切.(尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考杳圆和切线的性质和基本作图的综合应用.掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是

解题的关键.

(1)由切线的性质可得/0州=90。=/。，推出Ob〃4C,由平行线的性质可得N1=NO/W,由等边对等

角可得N2=N0FB,等量代换可得N1=N2；

(2)先作/ABC的角平分线，与AC交于点尸，再作反的垂直.平分线，与AB交于点M,以点M为圆心，

为半径作圆即可.

【详解】(1)证明：如图①，连接。尸，

•••与与C相切于点尸,

・••ZOE4=90°=ZC,

二.OF〃BC,

N1=/OFB,

OF=OB,

Z2=ZOFB,

N1=N2;

:,MF=MB，

・•・5BF=ZMFB,

又丁BF平分上ABC,

：."BF=NCBF,

：.ZCBF=NMFB,

:.MF〃BC,

'：ZC=90°,

:.FM1AC,

:.OM与边AC相切.

变式2：如图，已知△ABC是锐角三角形（AC<A8）.

⑴请在图I中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线/，使/上的各点到仄C两点的距离相等；设直线/与

AB.8。分别交于点M、N,作一个圆，使得圆心0在线段MV匕且与边A3、8C相切；（不写作法，保

留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若BC=2,求。。的半径为

~-

【答案】（1）见解析；

乙

【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键

是理解题意，正确作出图形.

（1）根据题意作出图形即可；

（2）过点。作OE_L八4于E,设OE=ON=r,由勾股定理求出MV的长，由三角形的面积公式可得出答

案.

【详解】（1）解：如图直线/,00即为所求.

图1

（2）解：过点。作OE_LA/3于£,设OE=ON=r,如图,

A

\

BNC

图2

•••B/W=g,BC=2,MN垂直平分线段8C,

/.BN=CN=\,

:・MN=dBM2_BN?=」（-I2=-,

解得,•=；,

故答案为：—.

易错点10：相似作图

例：如图，在中，48=AC,请你利用尺规作图，在求作一点。，使△ABCsaOAC.（不写作

法，保留作图痕迹）

【答案】详见解析

【分析】本题考查作图-相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.作线段AC的垂直平分线交于点。，连接AD,点。即为所求.

【洋解】解：如图，点。即为所求.

理由：由作图可知/)A=£)C,

:.zc=zmc,

VAB=AC,

・•・ZB=ZC=ZDAC,

"ABCsQAC.

变式1：小明同学在学习过《对称图形一圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以

下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成.

问题背景：已知点产是四边形A8CO中4B边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点P.

问题2.如图2,ZA=ZB=90°,AADPS^BPC；

问题3.如图3,ZA=ZB=45°,^ADP^^BPC.

(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)

【答案】详见解析

【分析】(1)作点。关于直线A3的对称点E,连接CE交A8于P,连接P。，于是得到

(2)作C。的垂直平分线MN交C。于。，以点。为圆心，0C为半径作圆0,交AB于点、P,于是得到

△ADPs史PC；

(3)作。C的垂直平分线，过点D作AA的垂线交AB于点以。为顶点，CO为角的一条边，作

/DCO=ZADP,交CO的垂直平分线于一点。，以。为圆心，以OC为半径作圆，与48的交点即为所求

作的点

【详解】(1)如图1,△加即为所求.

(2)如图2,△APD即为所求.

(3)如图3,△A0D即为所求.

【点睛】本题是相似形的综合题，考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质,

等腰直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键.

变式2：如图，8。为平行四边形A8CO的对角线，点E为边A8上一点，请用尺规作图法在边4。上求作一

点凡使得AAEF〜AC".（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查了相似三角形的性质以及尺规作图，解题的关键是利用相似三角形的性质得到

ZAEF=/BDC,进而求解.

【详解】解：

・•・ZAEF=ZBDC,

作图如下，点尸即为所求.

无刻度尺作图专题

易错点：

1.找点不准确：由于是无刻度的直尺，找点的准确性是关键。点可能位于格点上，也可能是图形上的特殊

点，如中点、N等分点、重心、垂心、圆心等。对这些点的准确识别是作图的基础。

2.对特殊角度的理解不准确：特殊角如45度、60度、120度、90度等，在作图时需要在格点上准确找到。

对这些特殊角的理解不准确，可能导致作图错误。

3.对特殊线的理解不准确：特殊的线，如垂线、中线、高等，需要按照其特性进行作图。对这些特殊线的理

解不准确，可能导致作图失误。

4.对特殊图形的理解不准确：特殊图形如正方形、平行四边形、特殊平行四边形等，需要根据其特性进行作

图。对这些特殊图形的理解不准确，可能导致作图错误。

5.对圆的相关性质理解不准确：在找圆心、弦长等过程中，需要喑助圆的相关性质，如圆心在弦的垂直平分

线上，同弧所对圆周角相等。对这些性质的理解不准确，可能导致作图失误。

6.比例和长度的误解：在无刻度尺作图中，经常需要根据已知图形或角度推断出其他线段的比例或长度。这

需要对图形的比例关系和长度关系有深入的理解。如果这些关系理解不清，或者计算错误，都可能导致作

图错误。

7.作图步骤混乱：无刻度尺作图需要按照一定的步骤和顺序进行，如先确定基准点，再连接线段，然后作垂

线或平行线等。如果作图步骤混乱，不仅可能导致作图错误，还可能影响作图效率。

8.忽略细节：无刻度尺作图要求精确度高，需要注意每一个细节，如线的粗细、角度的精确性、点的位置等。

如果忽略这些细节，可能会导致作图结果不准确。

9.缺乏空间想象力：无刻度尺作图需要良好的空间想象力，能够根据已知条件想象出未知部分的形状和位置。

如果空间想象力不足，可能会导致作图困难。

易错点1：三角形的四心

例：图①、图②、图③都是4x4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点.的顶点人B、C均在

格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图.

⑴在图①中作“BC边A8上的高C0.

(2)在图②中作边5c上的高AE.

⑶在图③中作.ABC边AC上的高I3F.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】本题主要考查了画三角形的高：

（1）取格点。，连接c。，CD即为所求；

（2）取格点E,连接AE,AE即为所求；

（3）设A£与C7）交于0,连接〃。并延长交AE于F,则称'即为所求.

【洋解】（1）解：如图所示，C。即为所求；

图①

（2）解：如图所示，AE1即为所求;

力匕------------

图②

（3）解：如图所示，M即为所求.

D

图③

变式1：如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△A8C的三个顶点均在格点上，仅

用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）.

CC

图1图2

（I）在图1中画GEF，使得史EF与的相似比为1：血.

（2）在图2中画出AABC的重心0.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）根据相似三角形的性质作出图形即可；

（2）根据三角形重心的定义即可得到结论：

本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键.

【详解】（1）画图如图，

D

由网格可知：AI3=2,BC=M，AC=3近，

DE=C.，EF=亚,DF=3,

.DEEFDF_1

**AB-7c-V2*

・•・ADEF与W?C相似且相似比为1:,

:.立)£尸即为所求：

(2)画图如图,

由。。和AE为“18。的中线,

・••点0是的重心，

・••点。即为所求.

变式2：如图是由小正方形组成的.3x3网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点4、B、C都是格点.仅

用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，保留作图痕迹，标出相应字母.

(1)在图①中，画出aABC的中线8W；

⑵在图②中，画出AABC的中线八N；

(3)在图③中作出△/18c的外心0.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查了格点作图，中线的定义“三角形顶点和对边中点的连线是中线“，三角形外心的定义“三

角形三条垂直平分线的交点是三角形的外心

(1)连接BM,即为所求，

(2)连接G”,交BC于点N,连接AN,AN即为所求；

(3)连接S7V/K相交于点O,点O即为所求.

【详解】(1)解：如图所示：6M即为所求；

•/ZAMP=NCMQ,NAPM=NCQM,AP=CQ,

:yAPM'CQM,

：,AM=CM,即点M为AC中点，

・・・BM即为所求：

(2)解；如图所示:AN即为所求；

Z.GEN=/HFN,/GNE=4HNF、GE=HF,

：.0EN沿4HFN,

:・EN=FN,

:・BN=CN,即点N为BC中点,

:.AN即为所求：

(3)解：如图，点。即为所求；

•・•四边形切必是正方形，

・••ST垂直平分A8,

•・•四边形R/7X是正方形，

：.OJ=OT,即点。在."的垂宜平分线上,

・••点。在AC的垂直平分线上，

・••点。为“8C的外心，

点。即为所求.

易错点2：平行四边形

例：请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹.

图①图②

(1)如图①，在菱形AACO中，点E是AC的中点，请过E作出行3的平行线.

(2)如图②，在YABCO中，点E,是。。的中点，请找出BC的中点.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理；

(1)如图所示，连接AC、8D交于0,连接E0并延长，交A0于凡则直线E尸即为所求；

(2)如图所示，连接4C、BD交于0,连接E。并延长，交A3于G,连接CG,BE交于H,连接并延

长交8c于凡点尸即为所求.

【洋解】(1)解：如图所示，连接AC、BD交于0,连接E0并延长，交A。于F,则直线痔即为所求；

由菱形的性质可得。为AC中点，得0E是△ABC中位线，则OE

（2）解：如图所示，连接AC、4。交于。，连接石。并延长，交A3于G,连接CG,BE交于H,连接。〃并

延长交8C于”，点尸即为所求.

由菱平行四边形的性质可得。为AC中点，得0E是△O8C中位线，则OE〃水?,则四边形BCEG是平行四

边形，则〃为CG中点，则O”〃CE,可证明四边形OEb为平行四边形，则OE=C尸=：8C,即尸为8c

的中点.

变式1：如图，在平行四边形A8CO中，利用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）.

（1）在NB4O的内部作射线4石，作NE45=N8；

（2）在线段。。上作线段。尸，使"=80.

【答案】（1）见解析；

⑵见解析.

【分析】本题考查了尺规作图以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法以及平行四边形

的性质.

（1）利用尺规作图，作出相等的角即可；

（2）根据平行四边形的性质可得8c=D4,即D4=O9，即可求解.

【详解】（1）解：如图，射线AE即为所求，

（2）在平行四边形ABC。中8C=A£>,

由。可得D4=D9

如图，线段。尸即为所求.

变式2：已知四边形A8C。是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图.

（2）如图②，点P为4。上任意一点,，在4。上找出一点。，使8P=OQ.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】本题考查作图，平行四边形的性质；

（1）连接AC交80于点。，作直线。。交C。于点Q,点Q即为所求作.

（2）连接4C交于点。，作在AP交8c于点E,作直线。上交AO于点"，连接CF交BD于点Q,点、Q

即为所求作.

【详解】（1）如图，点。即为所求作.

（2）如图，点。即为所求作.

AD

易错点3：矩形

例：如图，四边形A3CO为矩形，且有隹=DE.请用无刻度宜尺完成下列作图，保留必要的可图痕迹.

亡E白E

BCBQC

图1图2

（1）在图1中求作BC边的中点尸；

（2）在图2中的边BC上求作点〃，使8G=C”.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定：

（1）连接AC/。，过AC8。的交点与点E作直线，交BC于点F,即可•

（2）方法一：连接AG,并延长HG交EF于点P,连接OP交BC于点”，即可；方法二：连接A”，交.EF

于点Q,连接。Q,并延长。。交8C于点”，即可；

【详解】（1）解：如图，点P即为所求；

士

BF：C

1

（2）解：如图，点”即为所求.

变式1:如图,正方形48CO,矩形。CEE并排放置，CE<CD.请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留

作图痕迹）.

图1

（1）在图1中作C7）中点G：

（2）在图2的边4c上找点P,使得9二C£.

【答案】（1）图见解析

（2）图见解析

【分