《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题

目录

《常微分方程》期末考试题（一）.............................2

《常微分方程》期末考试题（二）.............................7

《常微分方程》期末考试题（三）............................14

《常微分方程》期末考试题（四）............................19

《常微分方程》期末考试题（五）............................25

《常微分方程》期末考试题（六）............................32

《常微分方程》期末考试题库.................................37

1

《常微分方程》期末考试题（一）

一、填空题（每空2分，共16分）。

1、方程空=/+）尸满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面.

dr

dr

2.方程组一=F（x,Y）,xeR,YGR"的任何一个解的图象是n+1________维空间中

dv

的一条积分曲线.

3.//（x,y）连续是保证方程曳=〃尤V）初值唯一的充分条件.

_

_d.-v--

_

dr

4.方程组.小的奇点（0,0）的类型是中心

I一-X

1dr

5.方程＞，=A/+g（V）2的通解是），=Cr+gc2

6.变量可分离方程M（x）N（）"k+〃（L'二°的积分因子是、

N（）,，）PL（x）

7.二阶线性齐次微分方程的两个解y=5（x）,），=%*）成为其基本解组的充要条件是退

性无关

8.方程）产+4/+4），=0的基本解组是e-x,比工

二、选择题（每小题3分，共15分）。

9.一阶线性微分方程包+p（x）y=4（x）的积分因子是（A）.

ch-

（A）（B）"J，—©（D）…仔加

10.微分方程yInvdr+（x-Iny）dy=0是（B）

（A）可分离变量方程（B）线性方程

（C）全微分方程（D）贝努利方程

11.方程x（y—l）dxtr（x‘一l）d片0的所有常数解是（C）.

（A）x=±\（B）y=±\

（C）y=±\,x=±l（D）y=1,x=1

12.〃阶线性非齐次微分方程的所有解（D）.

（A）构成一个线性空间（B）构成一个〃-1维线性空间

（C）构成一个〃+1维线性空间（D）不能构成一个线性空间

2

13.方程V=Jy2-/+2（D）奇解.

（A）有一个（B）有无数个（C）只有两个（D）无

三、计算题（每小题8分，共48分）。

14.求方程曳=2个二）'2的通解

5X2

h八,y,dydy〒口duu-u~u

解：令±=〃，则ni)=〃+工上，于是，一=------,-----

xdxdxdxx\-u

r

所以原方程的通解为>=—,)，=X

14-Cx

15.求方程2dA-+(/+]11工川丁=0的通解

x

解：取M(x,}?)=~»N(x,y)=y3+Inx

x

则M3,y)=N,(x,y)=L于是原方程为全微分方程

x

所以原方程的通解为公+J'y3dy=C

*AT

即y\nx+^y4=C

16.求方程y=(y')2-卬+白上的通解

解：令y'=p，得到丁二〃2一初+十（*）,两端同时关于求导,

整理得迎一1'=0,则

1公）

Y厂

取2〃一工=0,得〃=彳，代入（*）得解y=—

24

取血-1=0,得〃=T+C,代入（*）得原方程得通解为

dx

2

y=—+Cx+Cx2

2

17.求方程）,一3），'=*的通解

解对应的齐次方程的特征方程为尤—34=0,

特征根为4=（）,4=3

3

故齐次方程的通解为y=G+Ge3x

因为。=5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y⑶二Ae"

代入原方程，得

25Ap—15Ae"=e5t

即A=—,

10

3x5r

故原方程的通解为y=C,+C2e+p-e

18.求方程y"+y'-2y=e*(cosx-7sinx)的通解

解：先求解对应的其次方程：)，〃+)，'-2>=0,则有，

2x

万+X-2=(),4=1,A2=-2;y=Ge'+C2e

因为数a±，N=l±i不是特征根，故原方程具有形如

y1=e'(Acosx+Bsiiix)的特解。

将.上式代入原方程，由于y=e'(Acosx+Bsinx)

y[=e'[(A+B)cosx+(8-A)sinx]

y；=ex[2Bcosx-2Asinx]

故)，"+)/—2y=e'[23cosx-2Asinx]+c[(A+Bjcosx+(B-A)sinx\

-2e'(Acosx+Bsinx)=e'(cosx-7sinx)

或(33-A)cos/-(3+34)sinx=cos/-7sinx

比较卜.述等式两端的cos.jsinx的系数,可得—A+3B=1L3N—8=—7

因此,A=2,5=1.故y=e'(2cosx+lsinx)

xv

所求通解为y=e'(2cosx+Isinx)+C}e+C2e

19.求方程组四=(35]丫的实基本解组

dx1-53

4

2_35

解：方程组的特征多项式为~，其特征根是42=3±5i,那么

5A-32

属于4的特征向量%=

属于4的特征向量%=

(7(3+5i)x-汕、

则方程的基本解组为①।（6=

「一+5小IM"'小'

其实基本解组为中小尬/（0）。

而"L-lf-z-I

i

因此所求实基本解组为

,

O（x）=01（x>DI-（O）

_\(ie(3+5i)xA5/)xY-fe3zcos5x/'sin5x、

{3=5i)x3/

~2[-e-/5小Jj/J-[-esin5xcos5x?

四、应用题(每小题11分,共11分)。

20.(1)求函数/«)=*的拉普拉斯变换

xn-3/+2x=2/

（2）求初值问题的解

x(O)=(),/(())=()

（2）设dx（f）]=X（s）,x“）是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普

拉斯变换，可分别得到

张〃-3/+2x]=小〃]-3噌1+2回=X（s）p_3S+2]=X^2-35+2）

=X（s）（s-加-2）;

小叫=2£叫=三

2

故有X—Fy

5

1O1

使用部分分式法，可得X(s)=----------+——

\'s-\5-25-3

由(1)可知，de']=，；de2']二—；d/']二—!-

s-1s-25-3

故所求的初值解为乂。=6'-2/，+/，。

五、证明题(每小题10分，共10分)。

对任意与及满足条件OY%Y1的儿.方程包二）。-1）

21证明:的满足条件

CU-1+V+）,2

)*o)=%的解y=y(x)在(YO,+8)上存在。

证：由于/*')')=谭言

(2)，-1)(1+八),2)一),(),一］)2)，

/、・（•"）=

(l+x2+y2)2

在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯•性定理及解的延展定理条件.

又显然y=0,)，=l是方程的两个特解..现任取/£(-oo,+8),y0e(0,1),记

y=y(x)为过So，)'o)的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿

越y=l,下不能穿越y=0,因此它的存在区间必为(-8,+8).

6

《常微分方程》期末考试题（二）

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1、微分方程y'y'sinx-y+2冲sinx=O的阶数是,是否为齐次线性方

程-.

2、当M（x,y）,N（x,y）满足时，方程”（苍），）公+N（x,y）力=0称

为恰当方程，或称全微分方程。

3、若X,Q）（i=l,2,…为齐次线性方程的〃个线性无关解，则这一齐线性方程的

所有解可表为________________________

4、方程曲=7^^的常数解是.

5、方程），"-2）/+），=x"的特解可设为

二、单选题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

xdy-ydx_

«L、1•----Z----

A.J—B.d\—C.d⑹D.6/(ln|xy\)

2、"x"+江-x=()的通解为(G，C?为任意常数)

,,111

A.X=C/4-C2rB.x=c1t+c2eC.x=clt+c2-D.x=c1-+c2—

3、.微分方程的)；=+2x-W=2x+x?+/-＞一)，2公共解为

A.y=x3+1B.y=x2+]C.y-x2D.y=x3

4、)小一(y-x)小，=0的积分因子为

1111

A.U=-B.U=—C.U=—D.U=--------7

y~xyx~x~4-y~

5、函数耳(x,y)=(x+y)2+y4与匕(x,y)=x2+y2

A.均为常正的B.均为定正的C.匕常正，匕定正D.匕定正，匕常正

三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12,满分36分）

7

1、求方程)公+(y+lnx)6fy=0

x

2、求方程y2(y—1)=(2-)，'『的通解

y3

3、求方程(2盯+x2y+^—)dx+(x2+y2)dy=0的通解

4、求解方程孚=62一孙2的通解

cixx

5、求解方程工”+/-2工=85访21的一个特解

四、(本题io分)试求方程组；=>G+助的解而⑴.

--11「12]「/

奴0)=,A=,/")=

143I

J1J1I——

五、证明题(本题共2小题，分值:10+9,满分19分)

1、已知方程半=2)，,并且满足y(0)=1,证明方程解存在唯一性.

dx

2、给定方程x+5x+6_r=/⑺，其中/⑺在一8<fV8上连续，设〃]("〃2(，)是上

述方程的两个解。证明极限㈣[%⑺一匕(川存在。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)

1、微分方程(y丁+)，'sinx-(y)$+29sinx=0的阶数是色—,是否为齐次线

性方程上.

2、若。⑺和〃⑺都是％'=〃«)%的基解矩阵,则。⑺和〃⑺具有的关系是

〃⑴=。⑺C其中C为n*n奇异矩阵o

y)

3、初值问题卜'=,"的解满足积分方程)仃)=y0+「/(s,)，($))&*

3%)=y0一.儿.一

8

4、A_||「•一二I是恰当方程,则咨|」十5

虫

-6+勿

力

当

参数

满足

条牛

小

5、二维平面自治系统，办

以

才-+

a+d<O,ad-bc>0N.为稳定的奇点。

二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)

1、一阶线性方程包+p。)y=q(x)的积分因子是—B一.

dx

.-(p(x)di[p(x)dxf-^(.v)dr[(/Mdx

A.p=e3B.p=e}C.p=e1D.p-ei

2、方程包=/通过点(3「i)的解的最大存在区间是_人__.

dx

A.(2,+8)B.(0,-oo)C.(-oo,+oo)D.(-oo,3)

3、曲线盯=1满足方程—C_.

A.yf-x=0B.xy'-y=1C.xy'+^=0D.x2y'=1

4、如果sin/,sin/是二阶线性方程L[x]=Z+a](t)x'+a2(t)x=/«)的解，

则下列是UH=0的解的是—C____.

A.el+e2'+2sin/B.e1+2sin/C.e21D.sinr

5、函数h(x,y)=(x+y)2+/与匕(x,y)=(x+y)2—D—.

A.均为常正的B.均为定正的C.匕常正，匕定正D.匕定正，匕常正

三、解下列微分方程(本题共5小题，分值:6+6+6+6+12,满分36分)

4、求方程包=62-孙2的通解。

dxx

解：这是n=2时的伯努利不等式，令2=尸:算得生二-)，-2包.................2分

dxdx

(h6ct2

代入原方程得到£=-?z+x,这是线性方程，求得它的通解为z==+、..2分

dxxx68

]Cx~_y6尤"

带回原来的变量y,得到一==+—或者一一一二c,这就是原方程的解。

yX68y8

9

此外方程还有解y=0.2分

1、—dx+（y3+lnj）dy=0

x

解因为空='=理，所以原方程是全微分方程

dyxox

取(%,)，。)=(1,0),原方程的通解为

|d,r+J。y'dy=C即

•X

)，山冈+；)J=。......................2分

2、/(/-i)=(2-y)2

解：令2-)/=»则原方程消去V后，有

y2(l-)•/)=y2r由此，得y=；Tdy=-\]dt

/=1+/2dx=^-=-—dt

Vr

所以x=力+c=1+c

1

X=—FC

故原方程的通解为:i分

y=--t

t

3、（2xy+x2y+《）公+（*+y2）dy=0

々刀c223N~

W：因为——=2x+x+y,—=2x

dydx

又因为-------=N

dydx

所以方程有积分因子：U(x)="

方程两边同乘以/得:

10

cx(2A)?+厂y+--)dx+,(厂+y-)dy=0

3

[e\2xy+x1y)dx+exx2dy]+[ex—cbc+exy2dy|=0

3

也即方程的解为"fy+*匕=c

3

5^x"+x'—2x=8sin2f;

解：x”+£-2x=0的通解是x=CE+Ge--设原方程的特解

是x=Asinf+8cos，,

将x=Asinr+3cosr代入原方程得

(-6A-2B)sinr+(2A-6B)=8sin2t,

6

A=-

一6A-28=8

所以有，5

2A-6B=02

B=-

5

2r

所以原方程的通解是x=C/+C2e--|sin/-|cosr;

四、（本题10分）试求方程组；=41+如的解血）

-112

。(。)=,A=JQ)=:

43

A—1—2

解：det(2E—A)==(4+1)(A—5)=0

-42-3

4=—1,4=5

a取m

（4石-4）匕=（）得匕=

-a

P取J]

(AE-A)V=0得岭=

222。

则基解矩阵中”）=

ii

①⑺①"(0切=

312

+--

一e

45

①Q)f①T(s)f(s)ds=23011

--

一e

-25

10

因此方程的通解为：的）=o（r）（i）1（（）切+o（z）£cp-1（s）/⑸A

一312

-rT

e5r+-e-e--

5r45

23011

--T-

十

e-e十

25

一10

..........2分

五、证明题（本题共2小题，分值:10+9,满分19分）

1、已知方程半=2x（1+），）,并且满足y（0）=0,证明方程解存在唯一性.

UA

证明：①构造等价积分式

）仆）=）,（0）+12工（1+））公，两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解;

........................................2分

②进行迭代

K=y(o)=o；

)，］=y(0)+［；2x(1+%)dx=X；

%=>(())+£2x(1+x)心=d+#；

③证明迭代的序列是收敛的

由于构造的迭代序列收敛于一级数，及1,证明），“是收敛的；

“一►X

........................................2分

④证明收敛到的级数极为方程的解

12

给y〃=y(o)+］；2x(1+.%)公；求极限得：

J-1=)，(())+「2x(1+J-1心，所以产-1是方程的解...............2分

③证明解是唯一的

设y=f(x),y=h(x)均为方程的解，并且两者不相等，则/(0)=〃(0)=0,

G(x)=f(x)-h(x)

G(x)=/(x)-〃(x)=2x(1-/(x))-2x(1-h(x))=2xG(x)

”(G(")e')=G(x)e*-2xG(x)"1=0；

dx

G(x)J=C

而当x=0时，G(0)=0,/.C=O,/.G(x)=O,与/(x)w/?(x)相矛盾，所以解是唯

一的.证毕........................................................2分

2、〃个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在几个线性无关解向量。

证明：任取£[〃,可，根据解的存在唯一性定理，......................2分

x=A（t）x分别满足初值条件

0■()■

010

M&)=:,X>(fn)=2分

0I

的解凡。）,工2（，），…一定存在.....................................2分

又因为这n个解西⑺,々。），⑺的朗斯基行列式W（%）=lwO，所以

网（/）,工2（。…匕⑺一定是线性无关的，即证的所求。....................3分

13

《常微分方程》期末考试题(三)

一、填空题(30分)

1.虫=P(x)y+Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子e^P{x}dx,其通解为

dx

2.函数/(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果o

3.若以外为毕卡逼近序列弧⑴}的极限，则有M⑴一1(x)区o

4.方程包=x2+y2定义在矩形域R:-2<x<2-2<)，<2±,则经过点(0,0)

dx

的解的存在区间是O

5.函数组62r的伏朗斯基行列式为。

6.若王(f)(i=l,2，…,〃)为齐线性方程的一个基本解组，X«)为非齐线性方

程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为。

7.若①⑺是刀=A(t)x的基解矩阵，则向量函数(p(t)=是

X=4/次+/(。的满足初始条件#&)=0的解；向量函数0。)=

是工=A(t)x+f(t)的满足初始条件夕(I。)=〃的解。

8.若矩阵A具有〃个线性无关的特征向量匕，打，…,乙，它们对应的特征值分别为

4,…4,那么矩阵①(1)=是常系数线性方程组x=A工的一个基解

矩阵。

9.满足的点(x'，V),称为驻定方程组。

一.计算题(60分)

10.求方程4/、2公+2(/),—1)6=0的通解。

11.求方程9+c东一x=0的通解。

ax

14

dy_22

12.求初值问题｛区二厂一厂R：k+1|W1，NW1的解的存在区间，并求第二次

X-l)=0

近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程x"+9x=zsin31的通解。

14.试求方程组x=Ar+/⑺的解以/).

cix

15.试求线性方程组竺=2x—7y+19,=x—2)，+5的奇点，并判断奇点的类

dt

型及稳定性。

三.证明题(10分〕

16.如果e(f)是x=Ax满足初始条件〃的解，那么。(，)=[expA(f-/())17

常微分方程期终考试试卷答案

一.填空题(30分)

fP(x)dxf_、-fp(x)女,、

1.y=eJ(zIQ(zx)eJdx+c)

2.7*,)，)在R上连续，存在L>(),使|/(范必)一/。,力)|«4%一为|，对于任意

(X,必),*,%)6火

------h

(/?+!)!

6.x(z)=+x(r)

/=1

7.1①(田(s)/(s)ds

①(/)①T(/0)77+①①T(s)f(s)ds

8.卜"匕，6勾照,

15

9.X(x,y)=O,y(x,y)=0

二.计算题(60分)

gdM026N/，

10.解：---=8x~y,——=6x~y

dy'dx

oMdN

生芳=一(积分因子〃(y)=

两边同乘以〃(y)后方程变为恰当方程：4x2yidx+2)*(x3y-\)dy=0

a〃一4、一

—=M=4x2y3两边积分得：u=-x3y2+(p(y)

dx3'

—+(p\y)-N-2x3y7-2y

oy

得：(p(y)=-4y2

因此方程的通解为：y2(x3y-3)=c

11.解:令@=y=p则〃+e〃-x=0

dx

得：x=p+ep

那么y=jP。1=J〃(1+ep)dp

2

=g+pep-ep-\-c

x=p+e'

因此•方程的通解为：

y=^-+(p-\)ep+c

12.解：M=max|/(.r,y)|=4

|x-x0|<l=a]y-y0\<]=b,h=min(6f,-^-)=；

解的存在区间为卜―x0|=k+1|工〃二;

16

53

即—WxW—

44

令。(：(x)=)，o=0

"13]

01(x)=0+\X2dx=—+-

JJ

X7X4X11

<P(.r)=0+£

263~18-9+42

3

又柒卜2^2=L

误差估计为：帆⑴一以小高产1

24

2

13.解：Z4-9=0=>A,=3z,22=—3/

2=3;是方程的特征值，设x(t)=r(4f+B)«3〃

得：x"=(2A-95/+\2Ait+6Bi-9At2)e3it

则2A+12A万+68i=f

得：A=-----i,B=—

1236

1,i

因此方程的通解为：x(r)=Cjcos3r+c2sin3r--r-cos3r+—rsin3r

丸—1-2

14.解：det(AE-^)==(A+1)(/1-5)=0

-42-3

4=-1,2)=5

［闻取用7

（4七-A）巧=u得

(2,E-A)V2=0得匕=£取岭二|

■--\2p\~|_2_

则基解矩阵①（。=

17

①⑺①T(0),二

312

5

e+-e-

一45

①⑴(①T(s)/(s)ds23011

5--

一ee

-25

10

因此方程的通解为：凶）=0（/）01（0切+中（，）（」(s),f(s)ds

一3

-

230

-

10

一

2x-7y+19=0_x=\

15.解：《工-2)，+5=0=

)，=3

(1,3)是奇点

…19»5

令X=%+一,Y=v——

2?2

—=2X-7y,—=x-2K

cltdt

7

3+矛=()

A—2

可得：入=限入?=_扬

因此（1，3）是稳定中心

三.证明题(10分)

16.证明：由定理8可知0(，)=①⑺①"仇切+①⑺，①i(s)/(s)/

-1

又因为①⑺=exp4,中一(%)=(expA/o)=exp(-4())

/(.V)=0

所以0(/)=expA/-exp(-A/0)77

又因为矩阵(At)•(-At0)=(-4。)•⑷)

所以°(。=卜邛A(一｝

18

《常微分方程》期末考试题（四）

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

（请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分）.

1、方程M（x,），）dx+N（x,），）d），=O有积分因子u=u（y）的充要条件为

1（AN々、

T7——L=。（丫）

Mydxdy）

2、y）连续是保证/（x,y）对y满足利普希茨条件的&送生条件•

3、函数组一,6-',/'的朗斯基行列式值为_______k2/'=-6。匕

4、若），=0（x）,y=02（彳）是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们无（有或无）

共同零点.

5、若矩阵4具有〃个线性无关的特征向量匕，匕，…一”，它们对应的特征值分别为

4,4,…4.，那么常系数线性方程组x=Ax的一个基解矩阵①⑺=

/,片①乜,…,”叫.

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

（请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分）

1、形如虫=尸"）），+。。）），〃（〃工0,1）的方程是（D）.

dx

A.欧抖方程B.贝塞尔方程C.黎卡尔方程I）.伯努力方程

2、设〃（X）,9。）连续，＞'］（X）,》2（不）是丁"+〃（幻）/+夕（幻）=0在（7,+8）上的两个线

性无关解，且）:（（））=0,%"（（））=（），则（A）•

（A）p（0）=0,式0）=0（B）p（0）=l,夕（0）=0

（C）p（0）=0,久0）=1（D）0（0）=1,（7（0）=1

19

3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（C）.

（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间

（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间

4、如果/（X,），），都在M），平面上连续,而且/*,），）有界，则方程

3），

电=/（X,y）的任〜解的存在区间（A）.

d.t

（A）必为（-8,+8）（B）必为（（）,+8）

（C）必为（一8,0）（D）将因解而定

5、若①（元）是齐次线性方程组一=A（x）y的一个基解矩阵，7为非奇异〃X〃常数矩

dx

阵，那么①（x）r是否还是此方程组的基解矩阵（B）.

（A）不是⑻是（C）也许是（D）也许不是

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）（求下列微分方程的通解）

1.包

d.rp+x2y

9r

1、解：将方程变为）dy=——-dx...........................................................（2分）

（1+厂）

则有ydy=—+1）.......................（1分）

（1+尸）

从而得；y2=]n（]+f）+c（c为任意的常数）...................（3分）

2、(%3+xy2)ch-+(x2y+yy>ly=0；

解:由于"=2肛=磔，所以原方程是恰当方程.（2分）

dydx

假设存在〃使得它同时满足方程：—=x3+xy2和—=x2y+y3

dxdy'

20

（1分）则有〃=一/+一%2），+8（），）且"二X2），+*（）,）,所以°（y）=y3

42oy

（2分）

^（y）=l/,即原方程的通解为：d+2fy2+y4=c......（1分）

4

3、X-2x+2x=e'cosf；

解：齐次方程的特征方程为之2-24+2=0,42=1土，

齐次方程的通解为x=e\cxcosr+c2sinr）........（2分）

令x-2x+2x=te0+i）,,并求其特解如下：

由于1+i是单根，故设特解为x=t（At+

代入原方程比较系数得A=--,B=-.

44

所以x=[（COST+/sin/）+z（sinr-/cos/）l.

4

则原方程有将解Re{x}=l/^（cosr+/sinr）.............（3分）

4

故原方程的通解为x=efcosr+c^sinr）+—r^（cos/+Zsinr）.......（1分）

4

4、t2x+3tx+x=0；

解：令方程的解为x=J,代入原方程有—1）