【高考数学 热点题型】专题3-4 超难压轴小题：导数和函数11大热点题型归类及提分秘籍一-（原卷及答案）-高考数学 热点题型归纳与交式演练全国通

专题3・4超难数压轴小题：导数和函数

11大热点题型归类及提分秘籍（1）

目录

【题型一】整数解............................................................।

【题型二】零点..............................................................3

【题型三】同构..............................................................4

【题型四】恒成立求参：移项讨论型...........................................5

【题型五】恒成立求参：代入消参型（虚设根型）..............................6

【题型六】恒成立求参：构造函数.............................................7

【题型七】恒成立求参：分离参数（常规）.....................................8

【题型八】恒成立求参：分离参数（洛必达法则）..............................9

【题型九】恒成立求参：倍函数...............................................10

【题型十】恒成立求参：双函数最值型........................................11

【题型十一】数列与导数：...................................................13

斌离热克墨型后抽

【题型一】整数解

【典例分析】

在关于x的不等式《2犬一（较"+4^卜+讹'+4©2>0（其中e=2.71828L为自然对数的底数）

的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数。的取值范围为（）

<_16_L[91)

A.，B.

<5e"2e_

’164-94]

C.<5e4'3e2D.57‘豆,

【提分秘籍】

基本规律

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【变式演练】

1.已知函数/（6=。（戈+1”-X,若存在唯一的正整数占，使得/（与）＜0,则实数〃的取值

范围是（）

2.已知偶函数满足〃3+X）=〃3T）,且当xe［0,3］时，若关于x的不等

式f（力_外可＞0在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数/的取值范围是（）

（）\「13、/3A（1A

22l

A.|^0,eJB.e2,3e2jc,,2e~^D.,2e~

3.已知对任意实数&＞1,关于x的不等式在（0,*）上恒成立，则〃的最大整数

值为

A.0C.-2D.-3

【题型二】零点

【典例分析】

己知函数-2x)8,若方程/("=〃有3个不同的实根为，占，与(七<占。3)，

则:匕的取值范围是()

A.—奈。B.卜川C.—奈D,(0,&叫

【提分秘籍】

基本规律

求零点或者讨论零点求参

1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.(常规题是函数与直线，较复杂的,

就需要构造需要借助求导来画图的函数了)

【变式演练】

1.已知/(力=/-3/+1,若/(“存在唯一的零点飞,且%>0,则。的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(-oo,-2)C.(h+aoiD.(,1)

2.已知函数=:学(rn<0),g")=生史,设方程/(g⑴)+,=0的3个实根分别为

3x~xm

%，与，&，且玉<9<当，贝iJg(芭)+2g(±)+3g(w)的值可能为()

3.已知函数〃x）=W，对于正实数〃，若关于Z的方程/（/）=/（?）恰有三个不同的正实

数根，则〃的取值范围是（）

A.(1,8)B.(〃,8)C.(8,-KC)D.(/,+8)

【题型三】同构

【典例分析】

定义：设函数y=/"）在心勿上的导函数为/'（X）,若/"）在（。,〃）上也存在导函数，则称

函数y=/（x）在（。向上存在二阶导函数，简记为y=rv）.若在区间（。向上rv）＞u,则

称函数y=/（X）在区间（。,〃）上为“凹函数”.已知

/*）=〃/+史三。1+2E〃?-213+1）］+/在区间（-1,内）上为“凹函数”，则实数〃7的取值

范围为（

A.(l,+oo)B.(G+8)C.(e,g)D.(&,e)

【提分秘籍】

基本规律

1.注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用，如:

2.注意同构技巧在试题中的转化意识，适当淡化那种“同构就结束解题”的题型。区别就是

如练习1和3。

【变式演练】

1.已知函数f(x)=x-ln(1+1),g(x)=ex-x-\,若g(x)i0(x)对Vxe[0,+8)恒成立,

求实数〃的取值范围.

2.已知不等式年旬-工21旧+2〃?+3对安«（），田）恒成立，则机取值范围为（）

A.m<--B.，"之—C.m<-2D.m>-2

22

3,设40,若存在正实数工，使得不等式1幅7“-A3«，0成立,则k的最大值为（）

In3

，B.—C工D.

AMe*1113~T

【题型四】恒成立求参：移项讨论型

【典例分析】

若xe（05，〃比-何1工4加恒成立，则实数〃，的取值范围为（)

I

A.[1,+℃)—,+coC.[2,+oo)D.-ooj]

2

【提分秘籍】

基本规律

1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。

2.讨论点的寻找是关键。

3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围

【变式演练】

1.若关于X的不等式e-NEx+a对一切正实数工恒成立，则实数”的取值范围是（）

A.[]B.（-co,e]C.（-℃」]D.（y，2]

2.己知函数人力=川-；江-；加+1,%«0,叱），若/（X）有最小值，则实数。的取值范

围是

「2^]（2-}

A.[^,-KO）B.（e,+oo）C.-^2,-HX>D.§/，+8

3.已知函数/（x）=（x—。一1）廿+〃，若存在bwR,对于任意xe[l,2],都有/（力卜],则

实数。的取值范围是.

【题型五】恒成立求参：代入消参型（虚设根型）

【典例分析】

设实数丸>（）,若对任意xe（O,3）,不等式g—ln（"）2。恒成立，则％的取值范围是（）

A

A.0<A<-B.O<A<^-1C.0v/l4eD.0</l<?

e

【提分秘籍】

基本规律

1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。

2.解题框架（主要的）：

（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根X。但不可解。但得到参数和X。的等

量代换关系。备用

（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

（3）利用X。与参数互化得关系式，先消掉参数，得出小不等式，求得X。范围。

(4)再代入参数和X。互化式中求得参数范围。

【变式演练】

1.已知函数/(x)=fTn(l+x)-M,LX)有唯一零点，则〃=()

A.0B.--C.1D.2

2

2x

2.已知函数/(.r)=xe-\,不等式f(x)>tnx+\nx对任意xG(0,-KO)恒成立，则实数w的取

值范围是()

A.(-00,2]B.[0,2]C.(-oo,e2-l]D.

3.若对任意(0,+co),不等式e2x-win(2m)-wlnx>0恒成立，则实数in的最大值()

A.4eB.eC.2eD.e2

【题型六】恒成立求参：构造函数

【典例分析】

已知函数/(X)=匕等的定义域为(0、,若对任意的小乙£(。3,

**)一"*)「〃区，了,恒成立,则实数/〃的取值范围为()

-x,<x；

A.(-oo,3]B.(-oo,4]C.(—,5]D.(e,6]

【提分秘籍】

基本规律

1.一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式，以达到“化繁为简”的目的

2.比较常见的，是绝对值形式，如本专题的【典例分析】

【变式演练】

1.已知函数/（x）=（«er+e.r）（er+e.v）与g（x）=/的图象恰有三个不同的公共点（其中e为自

然对数的底数），则实数。的取值范围是（）

a-H'Ob-c•（判D.（1,扬

2.对于任意X2€[1,+OO）,当天＞内时，恒有。In上■＜2*2-X）成立；则实数。的取

-'i

值范围是（）

A.（-8,0]B.（-oo,l]C.（-8,2]D.（一8,3]

3.已知函数f（x）满足/（/'（工）+2/（.明二«,/6卜志，若对任意正数。力都有

小一一扑焉+苏+?则，的取值范围是

A.B.（YO,0）C.（0,1）D.（1，内）

【题型七】恒成立求参：分离参数（常规）

【典例分析】

设函数/W=W+x-名+需p■，若工＞0时，/（力＞。，则实数〃的取值范围是（）

A.（0,+OP）B.（52）C.（F。）D.（12,-Ko）

【提分秘籍】

基本规律

分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，

1.分离参数思维简单，不需过多思考；

2.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶等等求导。

【变式演练】

1.不等式厂％'一对任意xe（l，"）恒成立，则实数〃的取值范围

A.（一co』-e]B.（-co,2-e2]C.（-8,-2]D.（-<»,-3]

2.已知函数/⑺二产+川门」/-以满足恒成立，则实数”的取值范围是—.

3.已知函数/（x）=LeTnx-at,若对于任意工£（。,内），不等式/（幻N0恒成立，则实数

e

a的最大值为.

【题型八】恒成立求参：分离参数（洛必达法则）

【典例分析】

若;+对女>0恒成立，则实数a的取值范围是

A.（-00.21B.（-a）⑵C.（田.1]D.（存.3]

【提分秘籍】

基本规律

若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”

变式演练】

1.已知函数/(x)=/hr-4，-l)g£田,若/。)“在小(0,1]时恒成立,则实数a的

取值范围是

A.[—,+oo)B.[^,+oo)C.[2,+8)D.[l,+oo)

4*-

2.若对任意xw(Oz),不等式"-"jasinx恒成立，则实数。的取值范围是

A.[-2,2]B.S，e]C.~,2]D.(5]

【题型九】恒成立求参：倍函数

【典例分析】

设函数“X)的定义域为。，若满足条件：存在[〃]，〃]工使/(%)在I"?，网上的值域为

Ikm,hi](丘R且k>0),则称/(x)为“k倍函数”，若函数/3)=，(。>1)为“3倍函数”,

则实数”的取值范围是()

A.B.(1,/)D.(6/)

【提分秘籍】

基本规律

1.倍函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义

2.应用函数思想和方程思想。

【变式演练】

1.若存在与,9句且为工工2，使馆(凡)一(X2)|>4/(%)7伍)|成立，则在区间［。㈤上，

称g(x)为.f(x)的“倍函数”.设/("=lnx,g(x)=",若在区间「&,e］上，g(x)为

21nx+1」」

/("的”倍函数%则实数/,的取值范围为()

一4卜呜)

C.(F，e］D.(f,e)

..对于函数)可若存在区间当句时的值域为的则称月㈤

2(x),［a,h］fx£［di,kb］(k>())t

为k倍值函数.若｛x)=K+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是()

1„2

A.(e+-,+8)B.(e+—,+co)

ee

C.(e+2,+oo)D.(e+3,+co)

3.如果存在七，与«4，〃］且王。修，使|g(%)—g(x2)|>L/a)-，(七)|成立，则在区间［。问

上，称g(r)为/(”)的“倍函数”.设/(，)=lnx,若在区间［心刁上，g(x)

为/W的“倍函数”，则实数L的取值范围为.

【题型十】恒成立求参：双函数最值型

【典例分析】

已知函数/(x)=(，-2)e'+e+l,g*)=@+xlnx,对任意的mc-,3，总存在-,3使

A-l_e」Le

得g(⑼../(〃)成立，则。的范围为.

【提分秘籍】

基本规律

L形如/«)"&(£),最终是归结为求最值

2.一般地，已知函数y=/(x),x«a,〃],y=g(x),X£[c,d]

(1)若依式"可，气中"/],总有/(与)〈"(电)成立，故/(Ma<月(七).；

(2)若％««句，+24c,d],有/&)vg(w)成立，故/0咏<8(毛)网；

(3)若现水封，叫4G4,有“Xjvg㈤成立,故/(力小江士濡；

(4)若即w[c,d],有/(%)=8(毛)，则/(X)的值域是g(x)值域的子集.

3.对于一般同学，如果难以区分，可以简单的总结为一句口诀：对于任意的，不等号大的“小”

(min),小的“大”(max),任意改存在，则“大"(max)“小”(min)互换。

4.注意本节练习题3,不等号改成等号，则变成值域之间的包含关系。

【变式演练】

1.已知f(x)=xe'+，+/,^(x)=-(x4-l)2+t7ln(x+l),若存在'cR,x,G(-1,+OO),使得

成立，则实数〃的取值范围是.

2.已知人x)=lnx—：+机，g(x)=—X2—2rzx+4,若对任意的xi『0,2],存在4£[1,2],使

得〃口)之。2)成立，则。的取值范围是()

A「511n「一、「「।5'('

A.-t+<»JB.-j,+«>JC.-0.-Dn.I—<».

3.己知函数/(x)=2混-3W+l,g*)=-(x+|,若任意给定的厮£©2],总存在两个不同

的.rg=l,2)e[0,2],使得/(3=屋与)成立，则实数。的取值范围是()

A.B.。收）c.y,-i）（i收）D.[-1,1]

【题型十一】数列与导数：

【典例分析】

已知数列｛4｝中，%=g，4+1=〃；—q+1，记S4=q+4++4,1=4；+•；++a；，/?€N”,

则下列结正确的是（）

A.«„<j|B.2。向一%—120C.Szl<|/?D.2Sn-Tn<n

166

【提分秘籍】

基本规律

数列与不等式结合，常常要进行适当放缩，或利用函数单调性研究数列的单调性，进而求出

数列的范围或求和的范围，在求单调性或者最值范围时，可能需要用到函数导数。

如【典例分析】这道题需要构造函数〃％）=ln〒-亡，通过研究其单调性，得到

—+—+—++—-<In2+In—+In—+In------=+是解题问题的关键.

【变式演练】

1.己知数列也｝也｝｛%｝｛4｝满足：〃“=〃”也=〃!《=〃n“=L则对于任意正整数心io。，

n

有（）

A.aln-an<b2n-bnB.b2n-bt<c2n-cn

c.c2n-cn<d2n-dnD.a2n-an<d2n-dn

2a

2.己知数列｛/｝满足。t二急，满足4«0,1）,4+q+…+々*=2020,则下列成立的

n

是（）

A.Ina,•In>―!—B.Ina.In07fpi-------

120212020120212020

C.In«,<^^7D.以上均有可能

3.设。力wR,数列｛《J满足4=。，a“=111。N+M〃£2.），则（）

A.若〃=29则々2020，"若'=2,则"2020<"

C.若b=2,则“2020>aD.若b=2,则a2020<”

屋〔徽新模考驳俎秣

1.已知函数/。）=上也\若关于工的不等式/2*）+。口）＞（）恰有两个整数解，则实数。的

X

取值范围是

l+ln2l+ln31l+ln3l+ln2

A.B.

八,1+In2l+ln3、i+ln3

C.（-------，-------）D.（-1,-亍

/（x）=,

5-2x-x2,x<1,

2.（四川省遂宁2022届高三第一次诊断性考试数学试题）已知函数

若函数丁="（*『+（2-4。）/（幻+1恰有§个零点，则实数。的取值范围是（）

3.（山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考数学试题C）已知-3a.-a,

若存在使得成立，则实数〃的取值范围为.

4.（广东省2022届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知函数/（］）=依'-2〃（llU+X）

有两个零点，则。的最小整数值为（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2019届湖北省八校高三第二次联考理科数学）若对任意xc（O,3）,不等式

Ze，'-ahia-ahi.rNO恒成立，则实数。的最大值为（）

A.y/eB.。C.2eD.?

6.不等式ax+l+//u<x/对于定义域内的任意i.恒成立，则〃的取值范围为.

7.设函数万（工）的定义域为若满足条件:存在［"句G。，使〃（x）在力］上的值域为［2亿2〃］,

则称为“倍胀函数”•若函数/（x）=h］x+/为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是

8.对任意的〃eN,不等式（1+，）”m&-17）"（其中6是自然对数的底）恒成立，贝伊的最

n〃+1

大值为（）

A.In2-1B.11C.In3-1D.,\1

In2In3

9.数列｛七｝,也｝满足4+34+32+…+3"-4号（，蚱M）,"=》“，若也｝的前〃项

和为S“，则下列选项正确的是（）

A.M2018>52017B.S20l8>M2018+l

C.M?018<5IOO.,-ID.S2OI8-l<ln?0IS

10.(黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第四次验收考试数学(理科)试题)

x

已知函数一部送⑶一工，若存在实数卜J使得/(xj=g(w)=〃?，则的取值范围

/\2

A2虱X?)

是___________:若声＜°,则口力的最大值是.

专题3・4超难数压轴小题：导数和函数

一一11大热点题型归类及提分秘籍（1）

目录

这苫凑克敢型归的

【题型一】整数解...........................................................18

【题型二】零点.............................................................23

【题型三】同构.............................................................28

【题型四】恒成立求参：移项讨论型..........................................31

【题型五】恒成立求参：代入消参型（虚设根型）.............................37

【题型六】恒成立求参：构造函数............................................43

【题型七】恒成立求参：分离参数（常规）...................................48

【题型八】恒成立求参：分离参数（洛必达法则）.............................52

【题型九】恒成立求参：倍函数..............................................55

【题型十】恒成立求参：双函数最值型........................................61

【题型十一】数列与导数：...................................................67

【题型一】整数解

【典例分析】

在关于尤的不等式e与、(沈、公2卜+加、+4。2>0(其中e=2.71828L为自然对数的底数)

的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数〃的取值范围为()

(161］「91)

'・B.［彳，刻

f1641「941

c・1青旅］D-

【答案】D

【分析】将不等式转化为e2(x-2)2>a(x-l)ex,分别研究两个函数的性质，确定。的取值

范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小。的取值范围，列出不等式组，求出结果.

【详解】由，/一标\今2卜+比,+4€2>。，化简得：e2(x-2)2>«(x-l)e\

设〃x)=e2(A2)2,g(x)=a(x7)e、，则原不等式即为/•(x)＞g(x).若a40,则当工＞2时,

/(力＞0，g(x)＜。，

・•.原不等式的解集中有无数个大于2的整数，・・・。>0:〃2)=0,42)=府>0,・•・

“2)(屋2).

当/(3)Wg⑶，即IN：时，设Mx)=/(x)-g(x)(x"),则

2e

"(x)=2e2(x-2)-(7xeA＜2e2(x-2)-^-.

g^(x)=2c2(x-2)-—(x>4),则”(力=2/-("［》在［3,—)单调递减,所以

2e2c

"(x)=2c2—也上］“(3)=0,所以Q(x)=2e2(x-2)-史在［4,y)单调递减，・•・

2e2e

0(x)<9(4)=2e2(2-e)<0,

・••当xN4时，〃'(x)<0,「."(x)在［4,+co］上为减困数，lip

/?(x)</?(4)=4e2-3ae4<e2

・••当x"时，不等式恒成立，，原不等式的解集中没有大于2的整数.

(7⑶〉。⑶2>2a3

2

-要使原不等式的解集中有且仅有两个人于2的整数，则(/"(4)>g(4),即4C>3acS解

2s

(/⑸<0(5)%<4ae

94、

则实数〃的取值范围为广，?.故选：D

■cDCy

【提分秘籍】

基本规律

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【变式演练】

1.己知函数/a)=«x+iH-x,若存在唯一的正整数天，使得/(/)<0,则实数。的取值

范围是()

21

【答案】C

【分析】

题意等价于存在唯一的正整数一%使得不等式成立，求出函数g*)=£■的单调区

间，直线y=〃(x+l)过定点(TO),作出函数g*)/和直线y=a(x+l)图像，结合图形

列出不等式组化简即可.

解：函数/'(x)=a(x+l)e<-x,若存在唯一的正整数.使得/(与)<0。等价于存在唯一

的正整数与，使得不等式a(x+l)</■成立，令g(x)=；，则8(幻=宗，由《⑴〉。得:<1，

由g'(x)vO得八1

所以函数g(X)=2在区间(F/)上递增，在区间(I，*)上递减。所以g(X)M=g(l)=L

ee

直线y="x+l)过定点(TO),作出函数双加=三和直线)，=〃(x+l)图像如下:

C-

由图可得要使存在唯•的正整数使得不等式

a(x+l)vg•成立

C1

2a<--

?所以实数〃的取值范围是

必有，e=>^<a<

(2+1)«>4%品)

故选：C.

2.已知偶函数满足〃3H)=〃3T),且当，40,3］时，/3=八二，若关于x的不等

式/(x)-/(x)>0在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数f的取值范围是()

A.0,e《B.C.3—,2/D.一,21

\/L/\/\/

【答案】B

【分析】

根据偶函数“X)满足/(3+X)=/(3T),得到函数/(力是以6为周期的周期函数，由"目0,3］

时，/")=泥弓，用导数法结合偶函数，作出数/(x)在(-3,3］上的图象，将不等式

尸(力-/(工)>0在［-150,150］上有且只有15()个整数解，转化为在一个周期(T3］上

，卜)>，有3个整数解分别为22,3求解.

【详解】因为偶函数/(可满足〃3+X)=〃3T),所以〃67)=/(X)=/(-X),即/(6+x)=/(x),

所以函数是以6为周期的周期函数，当xe［0,3］时，〃”=必3,所以尸(力=>(1一^)，

当0Wxv2时，.f'(x)>0,函数f(x)递增;当2vxW3E寸,尸(6<0,函数递减；

当当x=2时，函数“X)取得极大值/(”=；,作出函数在(-3,3］上的图象，如图所示：

因为不等式/2(6-"。)>0在［-150,150］上有且只有150个整数解,

所以不等式/2(司_/(»>0在(-3,3］上有且只有3个整数解，

当/(x)=0时，不符合题意，故不等式“力〉/在(-3,3］上有且只有3个整数解，

因为"1)=1,/(3)=3涓，所以瑞=》】，即/⑴</⑶，

故不等式/")〉/在(-3,3］上的3个整数解分别为22,3,

所以，/(l)<r</(3),艮］故选：B

3.已知对任意实数A>1,关于x的不等式在(0,+8)上恒成立，则〃的最大整数

e

值为()

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【详解】令/(x)q(x>0),依题意，对任意旧，当x>0时，)，=〃”图象在直线

)=攵(无一。)下方，・・・/%)=型;立列表

e

X(o.i)1(Lxo)

r(x)+0—

2

/(x)TAri

e

y=/(x)得的大致图象

则当。=0时，Tr(O)=2，，当l“v2时不成立;

当。=一1时,设y=%(x+l)与y=f(x)相切于点(如/(%)).

”/二件句7气，解得中与1«0』).

则40

《八u•1Z

,3-石1,

，&。=叵j＜彳＜，故成立，，当aeZ时,amK=T.故选B.

e2

【题型二】零点

【典例分析】

已知函数/(x)=(x2-2x)/,若方程/(x)=〃有3个不同的实根为,.%八(不＜占＜占)，

则一%的取值范围是()

X?一乙

A.1当,0、B.H,。)C._奈缶］D.(0,72^)

【答案】B

【分析】对/(力求导，利用/(力的图像求得士的范围，以及“与Z的关系，将问题转化为

关于9的函数值域的问题进行处理即可.

【详解】因为/(力=(丁-2x)炉，故可得广(力=产(/-2),令/'(x)=O,解得工=±及，

故可得在区间(f-Vi)单调递增，在(-血,a)单调递减，在("+8)单调递增.

又/(-①)=白誓，/网=3-2近)户,且当“趋近于负无穷时，/"(X)趋近于零,故

eifI

/W的图象如下所示：.一■

G~-43_3U_®k1I34

（2+2五、

故若方程〃x）=。有3个不同的实根，则。,一^~，又因为/“2）=（¥-2引升=〃,

re,

%e（->/2,0）故=J"》=勺泮，不妨令h（x）=xex工£（-及,0）,则

/•儿,乙

/f(x)=er(x+l),令"(M=0,解得工=-1,

容易知〃（可在区间（-后,-1）单调递减，在（-1,0）单调递增.故可得加=/?（-1）=」，乂

e

.―忘）=一与〈/?（0）=0故可得/?（x）<0,则力（力W-pOj,即-：，。）.故选：B

【提分秘籍】

基本规律

求零点或者讨论零点求参

1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解.；

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.（常规题是函数与直线，较复杂的,

就需要构造需要借助求导来画图的函数了）

【变式演练】

1.已知/（刈=/-3/+1,若存在唯一的零点.%,且%>0,则”的取值范围是（）

A.（2,+8）B.（田，-2）C.（1,+oojD.（^o,l）

【答案】B

【分析】

分类讨论：当时.，容易判断出不符合题意；当a<0时，求出函数的导数，利用导数和

极值之间的关系转化为求极小值解出即可.

解：当4=0时，/(司=-3/+1=0,解得X=士"，函数/(X)有两个零点，不符合题意,

应舍去；

当a>0时，令/(x)=3af_6x=3ox[x-：)=0,解得了=0或x=：>0,列表如下：

2

(—,0)

0*72-8]

X

0-0+

f4

单调递极大单调递极小单调递

f(

值减值增

.•X--8,/⑴——,而/(0)=1>0,

「•存在x<0,使得/(x)=0,

不符合条件：/(x)存在唯一的零点小，且%>0,应舍去,

当"<0时，/(x)=3ax2-6x=3av(x--|=0,

2

解得x=0或尸一<0,

a

列表如下:

2

0(0,+8)

7

X1--aI)

0+0—

f

单调递极小单调递极大单调递

联

/(值增值减

而/(0)=l>0,时，/(X)f-oo,.•.存在玉>0,使得/(.q)=0,

,2、29

；"(x)存在唯一的零点七,且%>。，.•・极小值/匕卜5)3-3(々)2+1>0,化为/>4,

*/«<0,a<-2,综上可知：”的取值范围是(Y)，-2).故选:B.

2.已知函数=三?(加<0),g。)=网口,设方程/(以外)+工=0的3个实根分别为

3xxm

%,修，当，且玉<吃<当,贝!lg(x)+2g(w)+3g(w)的值可能为()

223

B.C.D.3

eeee

【答案】B

【分析】

利用导数研究g(x)的单调性、极值及区间值域，由题设可知3丁+〃a-2〃/=0在

y,o)U(。,我o)上必有两个不等的实根6出(假设…2)且普，结合g(©的性质

99n;

有1丁°且—叱gQ…心)’进而求目标式的值，即可确定答案.

【详解】

由题设，8(幻=也卫的定义域为(-^，0),且g'(x)=迎芈必

xX

.,•当xe(-8,-e)时，gXx)<0,即g(x)递减；当xe(-e,O)时，g'(x)>0,即g(x)递增.

2

••・ga)2g(-e)=——，又尤在(F,-e)上逐渐变小时g(x)逐渐趋近于0,当-lc<0时

g(x)>g(T)=0且随X趋向于0,飘冷趋向无穷大.

，g(x)的图象如下:

,//(X)的定义域为｛X|XHO),由/(x)+_L=O可得：3x2+nix-2m2=0在(—,。)J。”)上

m

必有两个不等的实根乙由(假设4>G)且乙=-皿，2用。〃<°)，

・••令f=g(x),要使/")+工=0的3个实根，贝也e[0,3)、k(-2,0),即二<M<0,

inee3

3

可得——</7Z<0.

e

；・由再知:t2=g(xi)=g(x2),]=g(引,:.

g(xj+2g(x2)+3g(xj=3a]+，2)=T"€(°，3)•故选：B.

e

3.已知函数〃x)=W，对于正实数a,若关于f的方程"/)=/(?)恰有三个不同的正实

数根，则a的取值范围是()

A.(1,8)B.(乙8)C.(8,+00)D.(/,”)

【答案】D

【分析】

研究〃x)=理的图像可知，若"/)=/(?，令%=八七=｝则/(%)=/&)，月.与占>1，

可以推出，凡=七或工/2=%通过对数不等式写出关于王勺的不等式，即可求出〃的范围

【详解】

因为/(力=华，/(r)=-p-»令/(x)=l：；x>0得:o<x<e；令/(M=1[尸>0

得：x>e,所以/（x）在区间（0，e）单调递增，在（e,E）理调递减，且x-8时，/（x）>0恒

成立，〃力的图像如下:

令X=/,&=?，则/（5）=/（毛），且大，专>1

①当寸*时，，吟，=&,成立,所以&是方程的一个实数根

②当内工当时，由/（%）=/（七）得：—=—，令屿=见a=〃?

X]x2-fjx2

mx.=Inx.