【考点归纳分析与分层精练】第四节 第3讲 统计与统计案例(要点归纳+夯实基础练)（原卷及解析）高考数学复习

第四节统计与统计案例

【要点归纳】

一、简单随机抽样

1.定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样

本(〃RV)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽

样.

2.常用方法：抽签法和随机数法.

二、系统抽样

步骤：

①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量〃，当一是整数时，取分段间隔女=手

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号/(/必)：

④按照一定的规则抽取样本.

(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时.

三、分层抽样

1.定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地

抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.

2.适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.

常用结论

(I)随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制.

(2)系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差?的整数倍.

(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.

四、统计图表

1.频率分布直方图的画法步骤

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

②决定组距与组数；

③将数据分组；

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图.

2.频率分布直方图的特点

(1)频率分布百方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示需,频率=组距x需.

(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1,因为在频率分布直方图中组距

是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比.

(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直

观.

3.频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折

线图.

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率

折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

4.茎叶图的画法步骤

第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.

五、样本的数字特征

1.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.

2.中位数：把〃个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数

据的平均数)叫做这组数据的中位数.

3.平均数：把…+斯称为0,。2,…，如这〃个数的平均数.

4.标准差与方差：设一组数据汨，X2,力，…，&的平均数为；，则这组数据的标准

差和方差分别是

5=yj%(X1-X)24-(X2-x)2+…+(x„-X)2]

s2=%(xi-X)2+(.V2-X)2+...4-(x„—X)2]

六、平均数、方差的公式推广

1.若数据Xl，X2，…，X”的平均数为X，那么7WXi+a,〃区+。，/心+小…，的”+。

的平均数是mx+〃.

2.数据X1，X2，…，X"的方差为$2.

①数据xi+a,也+小…，的方差也为$2；

②数据at1,axz，...»axn的方差为a2s2.

七、变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不

同，相关关系是一种非确定性关系.

八、两个变量的线性相关

1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,

称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.

2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称

为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.

n---

二孙一〃xy

3.回归方程为其中〃=«7—.a=y—bx.

'工整一〃-v

4.相关系数

当—>0时，表明两个变量正相关；

当MO时，表明两个变量负相关.

，•的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.，•的绝对值越接近于0,表明

两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常M大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相

关性.

九、独立性检验

1.2x2列联表：假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为｛即，&｝和｛v，及｝,

其样本频数列联表(称2x2列联表)为：

XV)'2总计

X\aba~\~b

X2cdc+d

总aba+/?+c

ii-+c+d+d

2.心统计量:

二伍+膜鼠鼠+胪中〃=〃+b+c+d为样本容量).

常用结论

(1)求解回归方程的关键是确定回归系数2b,应充分利用回归直线过样本中心点(T,

5).

(2)根据片的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若片越大，则两分类变量有关

的把握越大.

(3)根据回归方程计算的《值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

【夯实基础练】

1.(2022•高考全国甲卷数学(文理同题))某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【解析】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为空土至=7.4,

2

A选项结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+1（）.1

=8.50625>8,B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值9=0.375<0.4,C

16

选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1上3=0.8125>0.6,

16

D选项结论正确.故选：C

【答案】C

3.（2022•四川省成都市石室中学高三一模）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总

不及格.后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看

每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：

一个月内每天做

题数X

数学月考成绩y

27416

根据上表得到回归直线方程$，=1.6x+d,若该同学数学想达到90分，则估计他每天

至少要做的数学题数为（）

A.8B.9C.10D.11

【解析】由题意，可得戈=--------------=6,3=--------------------------------=84,即

55

样本中心点为（6,84）,代入回归直线方程$=1.6x+4,解得a=74.4，即§，=1.6x+74.4,

当9=9（）时，90=1.6x4-74.4.解得XBIO,故选C.

【答案】C

4.（2022•四川省成都市第七中学高三二模）为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情

况，增强学生口常防控意识，现从该校随机抽取3（）名学生参加防控知识测试，得分（10分

制）如图所示，以下结论正确的是（）

A.这30名学生测试得分的中位数为6

B.这3（）名学生测试得分的众数与中位数相等

C.这30名学生测试得分的平均数比中位数小

D.从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校

加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识

【解析】对■于A,这3（）名学生测试得分的中位数为2=5.5,故A错误；

2

对于B,这30名学生测试得分的众数为5,故B错误：

对于C,这30名学生测试得分的平均数为

---------------------------------------------=——>5.5,故C错误；

3030

对「D,因为抽取的30名学生测试得分普遍偏低，所以预测该校学生对疫情防控的知

识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识，故D正确.故

选：D

【答案】D

5.（2022•陕西省西安中学高三四模）质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利

用系统抽样的方法从编号为1〜120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67

的商品，则下列编号没有被抽到的是（）

A.112B.37C.22D.9

【解析】由系统抽样的特点知抽样间隔为I2（H8=15,故所抽样本编号符合

%+152（%为第一段的抽取样本编号，&wN）,由抽取样本中有编号67,则/=7,选

项中不符合7+15A（Z£N）的是9.故选：D.

【答案】D

6.（2022•西北工'业大学附属中学高三一模）为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持

绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能

源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近

年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（）

我国光伏新增装机情况（GW）我国光伏发电量情况（亿kWh）

A.2013~2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减

B.2013~202（）年，年光伏发电展与年份成负相关

C.2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值

D.2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关

【解析】A,2013-2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减，

前儿年递增，后面递减，故A错误；

B,2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；

C,由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，

因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；

D,根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重，随年份逐

年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.故选：D

【答案】D

7.（2022•辽宁省实验中学高三（下）3月模拟）某种产品的价格x（单位:元/kg）与需求量），（单

位：kg）之间的对应数据如下表所示：

05050

10

根据表中的数据可得回归直线方程为亍二八十14.4,则以下结论错误的是（）

A.变量），与/呈负相关B.回归直线经过点（20,8）

C.^=-0.32D.该产品价格为35元/依时，日需求

量大约为3.4kg

【解析】x=--------------------=20,y=-----------------=8,故

5

8二2x20+14.4即B=-0.32,故ABC都止确.

此时»=-0.32x+14.4,令x=35,则j，=-0.32x35+14.4=-l1.2+14.4=3.2,

故D错误.故选：D

【答案】D

8.（2022•辽宁省名校高三第四次联考）三大产业或三次产业，其划分世界各国不完全一

致，但基本均划分为三大类：第一产业、第二产业和第三产业.第一产业主要指生产食材以及

其他一些生物材料的产业，包括种植业、林业、畜牧业、水产养殖业等直接以自然物为生产对

象的产业（泛指农业）；第二产业主要指加工制造产业（或指手工制作业），利用自然界和第一

产业提供的基本材料进行加工处理；第三产业是指第一、第二产业以外的其他行业（现代服务

业或商业），范围比较广泛，主要包括交通运输业、通讯产业、商业、餐饮业、金融业、教育、公

共服务等非物质生产行业.如图是我国2015年~2019年三次产业增加值占国内生产总值比重

的柱状图，根据柱状图,

A.2015~2019年，第三产业增加值占国内生产总值比构成递增的等差数列

B.2015~2019年，第一产业增加值占国内生产总侑比重逐年降低

C.2015〜2019年，第三产业增加值占国内生产总值比重最大

D.2015~2019年，第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为39.9

【解析】对于A.2015-2019年，第三产业增加值占国内生产总值比依次为:

50.8,52.4,52.7,53.3,53.9,易知不满足递增的等差数列,故A错误；

对于B,2015~2019年，第一产业增加值占国内生产总值比重依次为:8.4,8.1,7.5,7.0,7.1,

最后一年2019年有所增加，故B错误；

对于C,2015~2019年中，每一年的第三产业增加值占国内生产总值比都超过50,即比

重最大，故C正确；

对于D,2015〜2019年，第二产业增加值占国内生产总值比重依次为：

40.8,39.6,39.9,39739.0,则中位数为39.7,故D错误；改选:C

【答案】C

9.（2022•东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三联合模拟考试）我国冰雪健儿自

1992年实现冬奥奖牌数。的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来

我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：

年份199219941998200220062010201420182022

奖牌数3388II119915

则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（）

A.8B.9C.10D.11

【解析】将自1992年以来我国冬奥会获得奖牌数从小到大排列为：3,3,8,8,9,

9,II,11,15,

所以1992年以来我国获得奖牌数的中位数为9.故选：B

【答案】B

10.（2022•湖南师范大学附属中学高三第四次月考）（多选）下列说法正确的是（）

A.必然事件与任意事件相互独立

B.若事件A、B、C两两互斥，则尸（AUBUC）=P（4）+P（B）+尸（C）

C.若事件4、B、。两两独立，则夕（A3C）=P（A）P（3）P（C）

D.线性回归方程对应的直线），=次+。至少经过其样本数据点中的一个点

【解析】对于A选项，设必然事件为S,任取•个事件E,则P（S）=1,

P（5E）=P（E）=P（E）P（5）,故必然事件与任意事件相互独立，A对；

对于B选项，若事件A、B、。两两互斥，则AUB'C互斥，所以，

P（AUBUC）=P（A\JB）+P（C）=P（A）+P（B）+P（C）,B对；

对于C选项，若事件A、B、。两两独立，则A3与。独立，则

P（ABC）=P（AB）P（C）=P（A）P（B）P（C）,C对;

对于D选项，线性回归方程对应的直线），="Y+4必过样本的中心点G，I）,并不一定

过样本数据点中的一个点，D错.故选：ABC.

【答案】ABC

11.（多选）（2022•湖南省雅礼中学高三第七次月考）如图为某省高考数学卷近三年难易程

度的对比图（图中数据为分值）.根据对比图，其中正确的为（）

□201812019匚］2020

A.近三年容易题分值逐年增加

B.近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年

C.2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上

D.近三年难题分值逐年减少

【解析】对于A选项，由图可知，近三年容易题分值逐年增加，A选项正确：

对于B选项，由图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2018年，B选项错

误；

对TC选项，由图可知，2020年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138,所

Iax

占比例为上一＞90%,C选项正确；

150

对于D选项，由图可知，近三年难题分值先增后减，D选项错误.故选：AC.

【答案】AC

12.（2022•湖南省雅礼中学高三第七次月考）现行普通高中学生在高一时面临着选科的问

题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）

A.样本中的女生数量多于男生数量

B.样本中有两理一义意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱两理一文

D.样本中的女生偏爱两文一理

【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确；

有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；

男生偏爱两理一文，故C正确；

女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误.故选：

D.

【答案】D

13.（多选）（2022•河北省名校联盟高三（卜）联考）某班班主任为了了解该班学生寒假期间

做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的

天数分别是8,18,15,20,16,20,19,18,19,10,6,20,20,23,25,则下列结论

正确的是（）

A.这组数据的中位数是18

B.这组数据的众数是20

C.若在记录数据时，漏掉了•个数据，则新数据的众数是20

D.若在记录数据时，漏掠了一个数据，则新数据的中位数是19

【解析】由题意，将这组数据按从小到大的顺序排列：6,8,10,15,16,18,18,

19,19,20,20,20,20,23,25,

根据中位数和众数的定义，可得数据的中位数和众数分别是19和2（）,则A错误，B正

确；

若漏掉了一个数据后，新数据中出现最多的数仍然是20,则C正确；

若漏掉的数据大于或等于19,则新数据的中位数是18.5,故D错误.故选：BC.

【答案】BC

14.（2022•北京市首都师范大学附属中学高三（下）开学检测）某电力公司在工程招标中是

根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，

综合排序高者中标.

分值权重表如下;

总分技术商务报价

100%50%10%40%

技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵

活•，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%,则在基准

分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加

0.8分，最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%,在80分在基

础上扣0.8分.

在某次招标中，若基准价为1000（万元）.甲、乙两公司综合得分如下表:

公司技术商务报价

甲80分90分A甲分

乙70分100分A乙分

甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别

是（）

A.73,75.4B.73,80C.74.6,76D.74.6,

75.4

【解析】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%,所

以得分为68-0.8x10=60.因此综合得分为80x50%+90xl0%+60x40%=73；乙公司报

价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元），低20%,所以得分为

80-（20-15）'0.8=76,因此综合得分为70*50%+100、10%+76、40%=75.4,故选人.

【答案】A

15.（2022•北京师范大学附属实验中学高三（下）摸底考试）下图所示的茎叶图记录了甲、

乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等,

则x和y的值分别为（）

59

25617y

x478

A.5,5C.3,7D.5,7

【解析】由茎叶图得：•・•甲、乙两组各5名工人某H的产量数据（单位：件）若这两组

数据的中位数相等，A65=60+），，解得）=5,•・•平均值也相等，

.56+62+65+70+X+7459+61+67+65+78……

・•------------------------=---------------------,解得文=3.故选B.

【答案】B

16.（2022•西北工业大学附属中学高三一模）某金业加工了一批新零件，其综合质量指标

值X服从正态分布2（80,。2）,且p（x«60）=（）.2,现从中随机抽取该零件500个，估计

综合质量指标值位于（60,100］的零件个数为.

【解析】由题设，正态分布曲线关于〃=80对称，所以

P（X<60）=^-P（60<X<80）=0.2,则P（60<X<80）=P（80<X<100）=0.3,

所以P（60<X<100）=0.6,则综合质最指标值位「（60,100］的零件个数为500x0.6=300

个.故答案为：300.

【答案】300

17.（2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三（上）期末）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班

长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄匕学委大，甲与体委的年龄不同，体

委比乙的年龄小.据此推新班长是.

【解析】根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小”可得丙是体委；根据“丙的

年龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄,丙的年龄,学习委员的年龄，由此可得，

乙不是学习委员，那么乙是班长.

【答案】乙

18.（2022•陕西省西安市高新第一中学高三第八次大练习）2021年6月17FI9时22分，

我国酒泉卫星发射中心用长征2/遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨

道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国

人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应

用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据

市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益)，(亿元)的数据统计如下：

回归模模模

型型①型②

J7920

i=l.13,2

(1)根据表格中的数据，比较当OvxW17时模型①，②的相关指数R2的大小，并选择

拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收

益；

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，

以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与

20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小.

>(y；-y.)2

附：刻画回归效果的相关指数n二1-々---------，且当R2越大时，回归方程的拟

t(y^-y)2

J-1

合效果越好.如之4.1.用最小二乘法求线性回归方程$，二良+2的截距：a=y-bx.

15+22+27+40+48+54+60.

【解析】⑴对「模型①，对应的》--------------------------------------=3o,

7

故对应的X(^-7)2=Zx2-7r=1750，故对应的相美指数

1=1

79.13

R；=ib0.955,

1750

20?

对于模型②，同理对应的相关指数代二1一一—«0.988，

■1750

故模型②拟合精度更高、更可靠.

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为

^=21.3xVr7-14.4«72.93.

(2)当x>17时，后五组的

_21+22+23+24+25_—68.5+68+67.5+66+655

x=--------------------=23,y=-----------------------=67,

55

由最小二乘法可得4=67-(-0.7)x23=83.1,

故当投入20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小为：

-0.7x20+83.1+5=74,1>72.93,

故投入17亿元比投入20亿元时收益小.

【答案】(DR；*，模型②拟合精度更高、更可靠，收益为72.93；(2)投入17

亿元比投入20亿元时收益小.

19.(2022•山东省实验中学高三(上)二诊)某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份

至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组

数据如下表所示：

月份(

销售单

价阮).500.51

销售量

(

(件)104.2

(1)根据I至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；

(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所

得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？

(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(I)中的关系，若该种机器配件的

成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润;销售

收入•成本).

-V"x.y.-rixy

参考公式：回归直线方程y=b.x+a,其中人=白片_-,

一心一

小=392*=502.5,

i=i

【解析】(1)因为元=((9+9.5+10+10.5+11)=10,=g(U+10+8+6+5)=8,

392-5x10x8

所以6==-3.2,则3=8—(—3.2)x10=40,

502.5-5xlO2

于是y关于x的回归直线方程为9=-3.2工+4()；

(2)当x=8时，y=-3.2x8+40=14.4,则.一4=14.4-14=0.4<0.5,

所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；

(3)令销售利润为W,则

VV=(x-2.5)(-3.2x+40)=-3.2x2+48100(2.5<xv125)，

因为W=3.2x(-x+15)-100W3.2x——--100=80,

k2>

当且仅当x=—x+15,即x=7.5时，W取最大值.

所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大.

【答案】(1)夕=一3.2%+40.(2)可以认为所得到的回归直线方程是理想的.(3)该产品

的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大.

20.(2022•宁夏银川市第二中学高三一模)随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生

活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券.为了解政府消费券使用

人群的年龄结构情况，在发行完第•批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在仝市

市民中随机抽取了200人,对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示,

3

其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的二，没使用过政府消费券的人数占样本总数的

5

3

万

使用过政府消没使用过政府消£

费券费券U

45岁及

90

以下

45岁以

上

总计2

00

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费

券与年龄有关？

(2)为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈.用随机抽

样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立.

记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为X,以样本频率作为概率，求随机变量X

的分布列和数学期望E(X).

n(ad-bey

其中〃=a+〃+c+4.

(a+〃)(c+d)(a+c)(〃+d)

P(K2>t)0000

.15.10.05.025

2235

k0

.072.706.841.024

3

【解析】(1)由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为2()()x《=12()

人,

没使用过政府消费券的人数为200XA=60人,

10

完成表格如下:

使用过政府消没使用过政府消

费券费券计

45岁及1

9030

以下20

45岁以8

5030

上0

2

总计14060

00

—…湍黑器明3.571,

因为3.571>2.706,所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与什心有

关.

（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人,

1（1A

没使用政府消费券的频率为一，所以X~83,一，

4

X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=网灯嘿,尸(X=l)=C；x/图=g

尸—2)=双外江3P(X=3)=C*J*

所以X的分布列为：

(

272791

64M6464

13

所以E(X)=3x-=—.

44

【答案】（I）表格答案见解析，有.go%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与

年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：

4

21.（2022•江苏省南京师范大学附属中学高三（下）开学考试）某沙漠地区经过治理，生态

系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成

面积相近的2（）0个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得

到样本数据（为，》）（口1,2,…，20）,其中为和v分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位:

202020

公顷）和这种野生动物的数量，并计算得\>,=60,Vy.=1200,工（七一无了二80,

J=1i=l/=1

2020

£（x-»=9000,£（七-X）（yi-y）=800.

I=Ij=i

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本（如y/）（z=l,2,…，20）的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该

地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数片’“，J2al.414.

Jta-元>力⑶-方

Vt=iJ=I

1201

【解析】⑴样区野生动物平均数为一£%=—x1200=60,

20&20

地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为200x60=12000

(2)样本(％,y)gl,2,20)的相关系数为

20

」(若7)3；一刃8002&

~~^7780x90003,

、I£K(七~7)~

V1=11=1

(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持r样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表

性，

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见解析

22.(2022•长春外国语学校高三(下)期初考试)2016年1月1日，我国实行全面二孩政策,

同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理，该市妇联在格1与格2两

个区域内随机抽取12个刚满X个月的婴儿的休重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示(中

位：斤，2斤I千克).体重不超过9.8依的为合格.

网格1网格2

789878

11020

13

(])从格|与格2分别随机抽取2个婴儿,求格1至少一个婴儿体重合格且格2至少一

个婴儿体重合格的概率；

(2)妇联从格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通

过，若至少3个合格，则抽检为良好.求格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率;

⑶若从格1与格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X表示格2内婴儿的个数，求X的

分布列与数学期望.

【解析】(1)由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4,网格2内体重合格的婴儿

数为2,则所求概率P=1-工55

84

(2)设事件A表示“2个合格，2个不合格”；事件8表示“3个合格，I个不合格”；事件

C表示“4个全合格”；事件。表示“抽检通过”；事件E表示“抽检良好”.

•♦.尸①卜尸⑷+尸⑻+尸⑹二普+警+号嗤，

888

P(D)17

P（E）=尸⑻+P（C）二咎+3得，则所求概率—.

XXP(E)53

⑶由题意知，X的所有可能取值为0,12

・••P(X=0)=&嗤设=1)=等=果P(X=2)咯=(

・•・X的分布列为

X

1416

p

3333

./\141612

..Er（Xv）=Ox-----Flx------1-2x——=—

v73333113

5517

【答案】(1)P=—；(2)P=一;(3)见解析.

8453

23.(2022•湖南省长郡中学高三第四次月考)中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自

主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17

日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，