成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案(2025年)

成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案(2025年)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母填在题后括号内）1.设函数f(x)=x³−3x²+2x+1，则f′(x)在x=1处的值为（）A.−1  B.0  C.1  D.2【答案】C2.设向量a=(2,−1,3)，b=(1,2,−2)，则a·b的值为（）A.−6  B.−2  C.0  D.4【答案】B3.设矩阵A=⎡12⎤，B=⎡30⎤，则AB的迹为（）    ⎣03⎦  ⎣12⎦A.5  B.7  C.9  D.11【答案】C4.设随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，则P(X=1)等于（）A.2e⁻²  B.e⁻²  C.2e⁻¹  D.e⁻¹【答案】A5.设函数z=ln(x²+y²)，则∂²z/∂x∂y在点(1,1)处的值为（）A.0  B.1/2  C.−1/2  D.1【答案】A6.设曲线C为y=√x从x=0到x=4的弧段，则∫Cyds的值为（）A.8  B.16/3  C.32/3  D.64/3【答案】C7.设幂级数∑_{n=1}^{∞}(n+1)xⁿ的收敛半径为R，则R等于（）A.1  B.2  C.0  D.+∞【答案】A8.设函数f(x)=|x−2|，则f在x=2处的导数（）A.不存在  B.等于0  C.等于1  D.等于−1【答案】A9.设A为3阶方阵，|A|=2，则|2A⁻¹|的值为（）A.1  B.2  C.4  D.8【答案】C10.设函数f(x)=e^{−x²}，则∫_{−∞}^{+∞}f(x)dx的值为（）A.√π  B.2√π  C.π  D.2π【答案】A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案直接写在题中横线上）11.设函数f(x)=x²e^{−x}，则f′(0)=________。【答案】012.设矩阵A=⎡123⎤，则A的秩为________。    ⎣246⎦【答案】113.设随机变量X的密度函数为f(x)=k(1−x²)，−1≤x≤1，则k=________。【答案】3/414.设函数z=xy²+x²y，则dz在点(1,2)处的全微分为________。【答案】10dx+5dy15.设曲线y=lnx与直线y=0，x=e围成的区域面积为S，则S=________。【答案】116.设幂级数∑_{n=0}^{∞}aₙ(x−1)ⁿ在x=3处条件收敛，则其收敛区间为________。【答案】(−1,3]三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）设函数f(x)=x³−6x²+9x+1，求：（1）函数的单调区间与极值；（2）曲线y=f(x)的拐点坐标；（3）曲线在拐点处的切线方程。【解答】（1）f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)。令f′(x)=0得x=1,3。当x<1或x>3时f′(x)>0，函数单调增；当1<x<3时f′(x)<0，函数单调减。极大值f(1)=5，极小值f(3)=1。（2）f″(x)=6x−12，令f″(x)=0得x=2。x<2时f″(x)<0，x>2时f″(x)>0，故(2,3)为拐点。（3）f′(2)=−3，切线方程y−3=−3(x−2)，即y=−3x+9。18.（本题满分12分）计算二重积分∬D(x+y)dσ，其中D为由直线y=x，y=2x，x=1围成的区域。【解答】交点：(0,0)，(1,1)，(1,2)。积分区域可表示为0≤x≤1，x≤y≤2x。∬D(x+y)dσ=∫₀¹∫_{x}^{2x}(x+y)dydx=∫₀¹[x(2x−x)+½(4x²−x²)]dx=∫₀¹(x²+3x²/2)dx=∫₀¹5x²/2dx=5/6。19.（本题满分14分）设线性方程组⎧x₁+2x₂+3x₃=1⎨2x₁+5x₂+7x₃=2⎩3x₁+7x₂+ax₃=3（1）问a取何值时方程组有唯一解、无解、无穷多解？（2）当a=8时，求其通解。【解答】增广矩阵⎡123|1⎤⎢257|2⎥⎣37a|3⎦行变换得⎡123|1⎤⎢011|0⎥⎣00a−8|0⎦（1）当a≠8时r(A)=r([A|b])=3，唯一解；当a=8时r(A)=2=r([A|b])，无穷多解；不存在无解情形。（2）a=8时，同解方程组x₂+x₃=0，x₁+2x₂+3x₃=1令x₃=t，则x₂=−t，x₁=1+t通解X=(1+t,−t,t)ᵀ，t∈ℝ。20.（本题满分14分）设随机变量X的密度函数为f(x)=⎧kx²,0≤x≤1  ⎩0,其他（1）求常数k；（2）求X的分布函数F(x)；（3）求P(1/2≤X≤3/4)。【解答】（1）∫₀¹kx²dx=1⇒k/3=1⇒k=3。（2）F(x)=∫₀ˣ3t²dt=x³，0≤x≤1；x<0时F(x)=0，x>1时F(x)=1。（3）P(1/2≤X≤3/4)=F(3/4)−F(1/2)=(3/4)³−(1/2)³=27/64−1/8=19/64。21.（本题满分14分）设函数f(x)=x−ln(1+x)，x>−1。（1）证明：f(x)≥0；（2）求极限lim_{x→0}(x−ln(1+x))/x²；（3）利用（2）的结果，求级数∑_{n=1}^{∞}(1/n−ln(1+1/n))的和。【解答】（1）f′(x)=1−1/(1+x)=x/(1+x)。当x>0时f′(x)>0，−1<x<0时f′(x)<0，x=0为极小值点，f(0)=0，故f(x)≥0。（2）泰勒展开ln(1+x)=x−x²/2+o(x²)，(x−ln(1+x))/x²→1/2(x→0)。（3）令aₙ=1/n−ln(1+1/n)，则aₙ~1/(2n²)，级数收敛。部分和S_N=∑_{n=1}^{N}(1/n−ln(1+1/n))=H_N−ln(N+1)+ln1=H_N−ln(N+1)。由欧拉常数γ=lim(H_N−lnN)得limS_N=γ−ln1=γ。故级数和为γ。22.（本题满分14分）设曲面Σ为抛物面z=4−x²−y²的上侧，z≥0。（1）求曲面Σ的面积；（2）计算曲面积分∬ΣzdS。【解答】（1）投影区域D：x²+y²≤4。面积元素dS=√(1+4x²+4y²)dσ。极坐标下S=∬D√(1+4r²)rdrdθ=∫₀^{2π}∫₀²r√(1+4r²)drdθ=2π·[1/12(1+4r²)^{3/2}]₀²=2π/12(17^{3/2}−1)=π/6(17√17−1)。（2）∬ΣzdS=∬D(4−r²)√(1+4r²)rdrdθ=2π∫₀²(4−r²)√(1+4r²)rdr令u=1+4r²，du=8rdr，=2π∫₁^{17}(4−(u−1)/4)√u·du/8=π/16∫₁^{17}(17−u)√udu=π/1