2025年第三季度分层理论试卷(含答案)

2025年第三季度分层理论试卷(含答案)一、单项选择题（每题2分，共30分。每题只有一个正确答案，请将正确选项字母填在括号内）1.在分层抽样设计中，若总体被划分为互不重叠的层，且每层内部方差显著小于层间方差，则下列关于估计量方差的表述正确的是（）A.与简单随机抽样相比，分层抽样估计量方差一定更小B.分层抽样估计量方差等于各层内方差按层权加权的平均C.若采用比例分配，则分层抽样估计量方差与简单随机抽样相等D.分层抽样估计量方差与层内相关系数无关答案：B2.某市对居民收入进行分层抽样调查，共划分三层：高收入、中等收入、低收入。若已知三层总体单位数分别为N₁=5万、N₂=15万、N₃=30万，样本量n=1000，采用内曼最优分配，则高收入层分配到的样本量n₁为（）A.125B.167C.200D.250答案：B3.在分层抽样中，若某层样本量n_h=1，则下列关于该层总体均值估计的说法正确的是（）A.无法估计该层均值，但可借用相邻层信息采用合成估计B.可直接用该层唯一观测值作为层均值估计，方差为0C.必须将该层与相邻层合并后重新分配样本D.该层对总体总量估计无贡献，可直接剔除答案：A4.关于分层抽样中的事后分层（poststratification），下列说法错误的是（）A.事后分层不需要事先知道各层总体单位数B.事后分层估计量的方差通常大于事前分层C.事后分层可纠正样本与总体在辅助变量上的分布偏差D.事后分层估计量可表示为层均值按总体层权加权的和答案：A5.在分层抽样中，若采用比例分配且各层样本量均大于50，则总体比例P的95%置信区间宽度与简单随机抽样相比（）A.一定更窄B.一定更宽C.取决于层间比例差异，可能更窄也可能更宽D.两者宽度相等答案：C6.某高校对学生月消费支出进行分层抽样，层变量为年级（本科一至四年级）。若发现四年级学生层内标准差是其他层的3倍，则采用内曼分配时，四年级样本量将（）A.是比例分配的3倍B.是比例分配的9倍C.与比例分配相等D.是比例分配的1.5倍答案：A7.在分层抽样中，若总体总量估计量为Ŷ_st=∑W_hȳ_h，则其方差估计量v(Ŷ_st)的表达式为（）A.∑W_h²(1f_h)s_h²/n_hB.∑W_h(1f_h)s_h²/n_hC.∑W_h²s_h²/n_hD.∑W_h(1f_h)s_h²答案：A8.若分层抽样中某层出现无回答，且该层无回答率高于其他层，则采用加权类调整（weightingclassadjustment）后，总体均值估计量的偏差方向（）A.一定为正B.一定为负C.取决于回答者与未回答者的差异方向D.无偏差答案：C9.在分层抽样中，若采用回归估计量Ŷ_reg=st+β(XẊ_st)，其中X为辅助变量，则β的最优选择为（）A.总体回归系数BB.样本回归系数bC.各层回归系数按层权加权的平均D.各层回归系数按层样本量加权的平均答案：C10.关于分层抽样中的“层内模型”假设，下列说法正确的是（）A.层内模型要求各层均值相等B.层内模型允许层内方差随层变化C.层内模型要求层内服从正态分布D.层内模型要求层内相关系数为0答案：B11.在分层抽样中，若采用刀切法（jackknife）估计方差，则删除第i个群后得到的伪值（pseudovalue）为（）A.nŶ_st(n1)Ŷ_st(i)B.(n1)Ŷ_stnŶ_st(i)C.nŶ_st(i)(n1)Ŷ_stD.Ŷ_stŶ_st(i)答案：A12.某县对农户收入进行分层抽样，层变量为地形（平原、丘陵、山区）。若山区层样本量较小且分布高度偏态，则对该层均值估计宜采用（）A.简单随机抽样均值B.截尾均值C.对数变换后回归估计D.非参数核估计答案：C13.在分层抽样中，若采用双重抽样（doublesampling）估计层权，则第一阶段大样本的作用为（）A.估计各层均值B.估计各层总体单位数C.估计各层方差D.估计各层比例答案：B14.关于分层抽样中的“最优分层边界”问题，若目标变量为右偏分布，则采用DaleniusHodges方法得到的边界将（）A.在低值区域更密集B.在高值区域更密集C.均匀分布D.与分布形状无关答案：A15.在分层抽样中，若采用校准估计（calibrationestimation），则校准权重必须满足的条件为（）A.权重之和等于总体单位数B.权重为正且校准方程成立C.权重等于设计权重的倒数D.权重等于层权答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分。每题有两个或两个以上正确答案，请将所有正确选项字母填在括号内，漏选、错选均不得分）16.下列关于分层抽样优点的描述，正确的有（）A.可确保各子总体样本量充足B.可提高估计精度C.可简化抽样实施D.可自然支持域估计E.可完全消除抽样误差答案：ABD17.在分层抽样中，若某层样本量n_h→∞，则下列结论成立的有（）A.该层均值估计量ȳ_h依概率收敛于层总体均值Ȳ_hB.该层方差估计量s_h²依概率收敛于层总体方差S_h²C.该层对总体总量估计方差的贡献趋于0D.该层权估计量W_h的方差趋于0E.该层内模型参数估计量渐近正态答案：ABE18.关于分层抽样中的“层权误差”问题，下列说法正确的有（）A.层权误差会导致总体均值估计量有偏B.层权误差可通过事后分层部分纠正C.层权误差对比例估计的影响大于对均值估计的影响D.层权误差方差可用泰勒线性化方法估计E.层权误差与样本量无关答案：ABD19.在分层抽样中，若采用非线性估计量如总体分位数，则下列关于方差估计方法适用的有（）A.线性化法B.刀切法C.自助法（bootstrap）D.平衡半样本法E.直接套用均值估计方差公式答案：ABCD20.下列关于分层抽样与整群抽样比较的描述，正确的有（）A.分层抽样通常需要更完整的抽样框B.整群抽样设计效应通常大于1C.分层抽样估计量方差可小于1D.两者可结合使用形成分层整群抽样E.整群抽样对总体分位数估计更稳健答案：ABD三、判断题（每题1分，共10分。正确请填“√”，错误填“×”）21.分层抽样中，若层内相关系数为负，则比例分配一定优于简单随机抽样。（√）22.内曼最优分配在层标准差未知时完全失去意义。（×）23.事后分层估计量的方差可表示为设计方差加上层权估计误差带来的附加方差。（√）24.在分层抽样中，若采用回归估计，则辅助变量必须与目标变量在各层内均线性相关。（×）25.分层抽样总体总量估计量Ŷ_st的偏差总是0。（√）26.若分层变量与目标变量无关，则分层抽样不会提高精度。（√）27.分层抽样中，层样本量n_h=0的层对总体估计无影响。（×）28.采用校准估计后，总体辅助变量总量与样本加权总量一定相等。（√）29.分层抽样刀切方差估计量对层内相关结构敏感。（√）30.分层抽样可天然解决覆盖不足（undercoverage）问题。（×）四、填空题（每空2分，共20分）31.在分层抽样中，总体均值估计量ȳ_st的表达式为________，其无偏性要求________。答案：∑W_hȳ_h；各层样本均值ȳ_h无偏且层权W_h已知32.若采用内曼分配，则第h层样本量n_h=________×n。答案：(N_hS_h)/(∑N_kS_k)33.分层抽样总体比例估计量p_st的方差近似表达式为________。答案：∑W_h²(1f_h)p_h(1p_h)/(n_h1)34.事后分层估计量ȳ_post可表示为________。答案：∑(N_h/N)ȳ_h35.校准估计的目标函数通常取________，约束条件为________。答案：∑w_ilog(w_i/d_i)；∑w_ix_i=X36.若层内采用比率估计，则层总量估计量为________。答案：Ŷ_h=X_h(ȳ_h/x̄_h)37.分层抽样设计效应deff的计算公式为________。答案：Var(ȳ_st)/Var_SRS(ȳ_SRS)38.在双重抽样中，第一阶段大样本量为n′，第二阶段子样本量为n，则层权估计量方差增加项为________。答案：∑(W_h(1W_h))/n′(Ȳ_hȲ)²39.若采用对数变换校正偏态，则层均值估计量可表示为________。答案：exp(ȳ_{log,h}+s_{log,h}²/2)40.最优分层边界满足________条件。答案：f(c_h)∝|Ȳ_{h+1}Ȳ_h|^{1}五、简答题（每题8分，共24分）41.简述内曼分配与比例分配在精度与实施成本上的权衡，并给出一种混合分配策略。答案：内曼分配按层标准差比例分配样本，可最小化总体估计方差，但需预知S_h且可能导致小层样本量不足，增加管理成本；比例分配仅按层规模分配，实施简单但可能忽略层异质性。混合策略：对重要层（S_h大或域估计需求）采用内曼分配，其余层采用比例分配，并设置最小样本量阈值n_h≥30，既保证精度又控制成本。42.说明事后分层估计量方差大于事前分层的根本原因，并给出一种可降低事后分层方差的辅助信息利用方法。答案：事后分层需从样本估计层权，引入额外变异；其方差含设计方差与层权估计误差两项。利用辅助信息方法：在第一阶段抽取大样本获取高精度层权估计，第二阶段再抽取目标变量子样本，采用双重抽样回归估计，将辅助变量与目标变量关系建模，降低层权估计误差带来的附加方差。43.阐述校准估计在分层抽样中的实施步骤，并证明当辅助变量为层指示变量时，校准估计退化为事后分层估计。答案：步骤：1.计算设计权重d_i=1/π_i；2.构建校准权重w_i使距离函数∑G(w_i,d_i)最小；3.满足约束∑w_ix_i=X；4.用w_i加权得到估计量。证明：令x_i=(δ_{i1},…,δ_{iH})，X=(N₁,…,N_H)，则约束变为∑_{i∈s}w_iδ_{ih}=N_h，解得w_i=N_h/(∑_{i∈s}δ_{ih})=N_h/n_h，故Ŷ_cal=∑_h(N_h/n_h)∑_{i∈s_h}y_i=∑_hN_hȳ_h，与事后分层一致。六、计算与综合题（共51分）44.（10分）某省欲估计2025年第三季度城镇居民人均网购支出Y。总体划分为三层：核心城区（N₁=200万）、郊区（N₂=300万）、县域（N₃=500万）。预调查得层标准差分别为S₁=1200元、S₂=800元、S₃=500元。总预算支持样本量n=2000。(1)按内曼分配计算各层样本量；（4分）(2)若实际调查后得样本均值ȳ₁=2800元、ȳ₂=2200元、ȳ₃=1500元，试估计全省人均网购支出并给出其标准误；（4分）(3)若要求估计绝对误差不超过50元，求在95%置信水平下所需样本量。（2分）答案：(1)分配因子=200×1200+300×800+500×500=240000+240000+250000=730000n₁=2000×(240000/730000)=658n₂=2000×(240000/730000)=658n₃=2000×(250000/730000)=684(2)层权W₁=0.2,W₂=0.3,W₃=0.5ȳ_st=0.2×2800+0.3×2200+0.5×1500=560+660+750=1970元标准误：se=√[∑W_h²(1f_h)s_h²/n_h]f₁=658/2000000≈0.000329,1f₁≈1se=√[0.04×1200²/658+0.09×800²/658+0.25×500²/684]=√[87.0+87.0+91.1]=√265.1≈16.3元(3)允许误差d=50元，z₀.975=1.96n≥(z²×S²)/d²，先求deff近似：S²≈∑W_hS_h²=0.2×1200²+0.3×800²+0.5×500²=288000+192000+125000=605000n≥(1.96²×605000)/50²≈3.84×605000/2500≈929考虑有限总体校正，取n=1000即可。45.（12分）某电商平台对活跃卖家月销售额进行分层抽样，层变量为店铺等级（A、B、C、D四层）。总样本量n=800，采用比例分配。调查后发现A层无回答率高达40%，其余层无回答率10%。回答数据如下：层|N_h|n_h|回答数r_h|ȳ_{h,r}|s_{h,r}²A|20000|160|96|50万元|400B|30000|240|216|30万元|225C|30000|240|216|20万元|100D|20000|160|144|10万元|64(1)计算未调整的回答加权估计及其偏差方向（定性）；（3分）(2)采用加权类调整，重新估计总体平均销售额并给出标准误；（5分）(3)若已知A层未回答者平均销售额为45万元，计算偏差大小并验证调整效果。（4分）答案：(1)回答加权估计ȳ_r=∑(r_h/∑r_h)ȳ_{h,r}=(96×50+216×30+216×20+144×10)/(96+216+216+144)=(4800+6480+4320+1440)/672=17040/672≈25.36万元因A层回答者均值高于未回答者，且A层回答率低，导致高估，偏差方向为正。(2)加权类调整权重w_{h,i}=N_h/r_hȳ_w=∑(N_h/N)ȳ_{h,r}=(0.2×50+0.3×30+0.3×20+0.2×10)=10+9+6+2=27万元标准误：se=√∑(N_h/N)²(1r_h/n_h)s_{h,r}²/r_h=√[0.04×(10.6)×400/96+0.09×0.1×225/216+0.09×0.1×100/216+0.04×0.1×64/144]=√[0.04×0.4×4.1667+0.09×0.1×1.0417+0.09×0.1×0.463+0.04×0.1×0.444]=√[0.0667+0.0094+0.0042+0.0018]=√0.0821≈0.286万元(3)真均值Ȳ_A=0.6×50+0.4×45=48万元原回答加权层均值误用50替代48，导致层贡献偏差0.2×(5048)=0.4万元调整后已用真层均值50（实际应得48），但加权类调整仍用回答均值，故残留偏差0.2×(5048)=0.4万元；若进一步用外部信息校正A层均值为48，则总体估计变为0.2×48+0.3×30+0.3×20+0.2×10=9.6+9+6+2=26.6万元，与27万元差异0.4万元，验证调整有效但需外部信息。46.（14分）某连锁便利店欲估计2025年第三季度全省门店日均营业额。总体门店N=10000，按城市等级分层：核心（N₁=2000）、地级（N₂=3000）、县级（N₃=5000）。采用双重抽样：第一阶段大样本n′=1000，记录上月营业额x_i；第二阶段子样本n=300，记录目标季度日均营业额y_i。已知：层|N_h|n′_h|n_h|ȳ_h|s_{y,h}²|x̄_h|s_{x,h}²|s_{xy,h}1|2000|200|60|12000元|4×10⁶|10000|3×10⁶|1.8×10⁶2|3000|300|90|9000元|2.5×10⁶|8000|2×10⁶|1.4×10⁶3|5000|500|150|6000元|1.44×10⁶|5000|1×10⁶|0.8×10⁶(1)计算分层回归估计量ȳ_{reg,st}；（4分）(2)估计其方差并给出标准误；（4分）(3)若仅用第二阶段样本做简单估计，计算设计效应；（3分）(4)比较双重抽样与单阶段抽样在相同总样本量300下的精度增益。（3分）答案：(1)层回归系数b_h=s_{xy,h}/s_{x,h}²b₁=1.8/3=0.6,b₂=1.4/2=0.7,b₃=0.8/1=0.8层回归估计ȳ_{reg,h}=ȳ_h+b_h(X̄_hx̄_h)，其中X̄_h为总体层均值，此处用n′_h估计x̄′_h≈X̄_h故ȳ_{reg,h}≈ȳ_h则ȳ_{reg,st}=∑(N_h/N)ȳ_{reg,h}=0.2×12000+0.3×9000+0.5×6000=2400+2700+3000=8100元(2)方差公式：Var≈∑(N_h/N)²[(1n_h/N_h)s_{y,h}²/n_h+(1n′_h/N_h)(X̄_hx̄_h)²b_h²/n′_h]因x̄_h≈X̄_h，第二项≈0，故Var≈∑(N_h/N)²(1f_{y,h})s_{y,h}²/n_h=0.04×(160/2000)×4×10⁶/60+0.09×(190/3000)×2.5×10⁶/90+0.25×(1150/5000)×1.44×10⁶/150=0.04×0.97×66666.7+0.09×0.97×27777.8+0.25×0.97×9600≈2586.7+2425+2328=7339.7se=√7339.7≈85.7元(3)简单估计Var_SRS≈∑(N_h/N)²(1n_h/N_h)s_{y,h}²/n_h相同，但无回归增益，故设计效应≈1(4)若单阶段抽取n=300简单随机，Var_SRS≈(1300/10000)×S_y²/300，S_y²≈∑(N_h/N)[s_{y,h}²+(ȳ_hȲ)²]，Ȳ≈8100，计算得S_y²≈2.5×10⁶，Var_SRS≈0.97×2.5×10⁶/300≈8083，se≈89.9元双重抽样se=85.7元，精度增益=(89.985.7)/89.9≈4.7%47.（15分）某市交通委欲估计2025年第三季度早高峰公交平均满载率θ。总体公交路线N=500，按线路类型分层：快线（N₁=50）、干线（N₂=200）、支线（N₃=250）。采用分层整群抽样：以公交车次为群，每层随机抽n_h条线路，对抽中线路记录全部车次满载率。已知：层|N_h|计划抽线路n_h|实际抽线路|平均群大小M̄_h|群间方差S_{b,h}²|群内相关系数ρ_h