数字信号处理 第2版 课件 第5章 离散时间系统分析

LSI系统分析和设计第5章离散时间系统分析离散时间系统的频率响应和系统函数全通系统与最小相位系统线性相位系统离散时间系统的结构重点：频率响应与系统函数的概念难点：根据H(z)（零极图）分析系统小测试（系统的时域描述）1、离散线性移不变（LSI）系统的数学模型是（）A、常系数线性差分方程；B、常系数线性微分方程.2、LSI系统的单位抽样响应h

(n)是（）A、输入为

(n)时的零状态响应；B、激励为u(n)时的零状态响应.LSI系统分析和设计系统：方程LSI系统响应？系统是否可实现？系统功能(滤波特性)？系统设计？时域描述

小测试（系统的时域描述）1、已知LSI系统的单位抽样响应为h

(n)，系统的输入为x(n)，则系统的输出y(n)为（）A、x(n)*h(n)；B、x(n)·h(n)；C、x(n)+h(n)2、已知LSI系统的单位抽样响应为h

(n)，则系统稳定的充要条件是()，系统因果的充要条件是()。A、

；B、h(n)≡0n<0§5.1离散时间系统的频率响应和系统函数频率响应系统函数频率响应的几何确定法有理系统函数的单位冲激响应重点：频率响应与系统函数的概念难点：频率响应的几何确定法系统的频域分析引入时域分析对比频域分析特征向量基本响应基本信号一、频率响应1.定义幅频响应(magnituderesponse)相频响应(phaseresponse)偶对称奇对称一、频率响应

复指数函数通过离散LSI系统的响应频率响应物理意义:复加权一、频率响应复加权幅度相乘幅频响应：决定频率成分的去留相位相加相频响应：决定频率成分的位移决定系统的响应时间决定系统的滤波特性频率不变一、频率响应

频率响应的理解对比变换特征向量特征值特征函数特征值变换一、频率响应三角函数通过离散LSI系统的响应幅度相乘相位相加h(n)实序列：[例5-1-1]

已知一离散LSI系统的h(n)=(0.5)nu(n)，输入x(n)=cos(0.5

n)，(-∞<n<∞)，求系统的稳态响应。[解]幅度相乘相位相加[例5-1-1]

已知一离散LSI系统的h(n)=(0.5)nu(n)，输入x(n)=cos(

n/16)，(-∞<n<∞)，求系统的稳态响应。[解]幅度相乘相位相加一、频率响应任意函数通过离散LSI系统的响应由有一、频率响应任意函数通过离散LSI系统的响应由有2.滤波原理

允许某些信号分量通过、同时阻止其它分量信号通过的系统称为滤波器。目的：去除噪声，或不需要的成分；原理：信号通过线性系统输入－输出的关系。理想数字频率选择滤波器理想低通滤波器理想高通滤波器理想带通滤波器理想带阻滤波器周期性理想低通滤波器的频率响应及单位冲激响应hLP(n)。

理想的数字滤波器都是非因果离散系统理想低通滤波器DTFT输入信号是x(n)=cos(0.1*n)+cos(0.4*n)。通过FIR高通滤波器h(n)=[-6.7613.4-6.76],滤除低频分量，保留高频分量。二、系统函数1.H(z)的定义对于离散LSI系统:

y(n)=x(n)*h(n)

Y(z)=H(z)X(z)H(z)称为离散LSI系统的系统函数

H(z)=Y(z)/X(z)=Z{h(n)}

当H(z)的ROC包含单位圆时2.系统的z域描述（1）差分方程和系统函数对上式两端取z变换Z的有理分式！x(n)x(n-1)（2）z域框图x(n)x(n)ax(n)ax(n)aa时域模型x1(n)x2(n)x1(n)±x2(n)∑±X(z)X(z)aX(z)aX(z)aaz域模型X1(z)X2(z)X1(z)±X2(z)∑±X(z)z

-1X(z)数乘器加法器延迟单元[例5-1-2]某离散因果LSI系统框图如下，写出系统的差分方程。

y(n)–3y(n

–1)+2y(n–2)=x(n)–3x(n

–1)消去中间变量F(z)，得对加法器2：[解]对加法器1：得（3）系统的级联和并联系统级联系统并联[练习]差分器的定义为：[解]累加器和差分器互为逆系统累加器的定义为：求累加器和差分器的级联系统的系统函数。3.系统的z域分析（1）差分方程的z域解注意ROC[例5-1-3]若描述因果LSI系统的差分方程为

y(n)

y(n

1)

2y(n

2)=x(n)+2x(n

2)已知x(n)=u

(n)，求系统的(零状态)响应。[解]因果系统（2）因果稳定系统的z域充要条件LSI系统因果稳定的充要条件：H(z)的ROC包含单位圆因果系统H(z)的极点位于z平面单位圆内时,系统稳定。对于因果LSI系统，系统稳定的充要条件可以通过系统函数的极点位置来判断，即H(z)的ROC为圆外收敛因果稳定[例5-1-4]某离散因果系统的差分方程为(1)求系统函数H(z)及单位序列响应h(n)(2)写出系统函数H(z)的收敛域，并判断系统的稳定性(1)(2)收敛域为收敛域包含单位圆|z|=1，为稳定的因果系统。[解][例5-1-5]

描述LSI系统的差分方程为已知系统是稳定的，试求其单位冲激响应，并判断系统的因果性。[解]系统稳定，则ROC包括单位圆系统的ROC不是圆外收敛，故系统不是因果系统。[练习]已知线性移不变（LSI）系统的单位抽样响应为：则该系统是（

）A因果稳定系统B因果不稳定系统C非因果稳定系统D非因果不稳定系统[练习]已知线性移不变（LSI）系统的系统该函数为：则该系统是（

）A因果稳定系统B因果不稳定系统C非因果稳定系统D非因果不稳定系统DD三、频率响应的几何确定法三、频率响应的几何确定法幅频：如何影响幅频？三、频率响应的几何确定法[例]

一阶IIR低通数字滤波器=0.5单位圆附近极点对应波峰单位圆附近零点对应波谷三、频率响应的几何确定法[例]

一阶IIR高通数字滤波器=0.5单位圆附近极点对应波峰单位圆附近零点对应波谷若在某一个

处,在单位圆上有一零点，则若在某一个

处,在接近单位圆有一极点，则零--极点对系统幅频的影响：低通滤波器在z=1处一定没有零点，在其附近应有一个极点；高通滤波器在z=-1处一定没有零点，在其附近应有一个极点；在z=0处的极、零点不影响幅频，只影响相频。极－零图zplane(b,a)频率响应freqz(b,a)例三、频率响应的几何确定法数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。——华罗庚数形结合四、有理系统函数的单位冲激响应

——IIR系统和FIR系统2.从系统函数看：若为无限长，称为IIR系统；若为有限长，则称为FIR系统存在极点（IIR)无极点（FIR)1.从离散时域看：四、有理系统函数的单位冲激响应

——IIR系统和FIR系统3.从差分方程结构看：递归非递归§5.2全通系统与最小相位系统重点：两类系统零极点位置

全通系统最小相位系统一、全通系统

如果系统的幅频特性在所有频率处均等于1或某一常数，即|H(ej

)|=1则该系统称为全通系统，记为Hap(z)1.全通系统的定义最简单的全通系统，纯延迟全通的几何证明已知圆的半径为1，O、A、B在一条直线上，OA=r，OB=1/r，C是圆周上任意一点。请证明：BC与AC之比为定值。2.一阶复系数全通系统(1)一阶全通系统的极点和零点

极点为：

零点为：极点和零点关于单位圆镜像对称2.一阶复系数全通系统(2)一阶全通系统的幅度响应2.一阶复系数全通系统(3)一阶全通数字滤波器的相位响应一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。

一阶全通系统极－零图幅频相频抽样响应3.N阶实系数全通系统D(z)实系数：(1)幅度响应3.N阶实系数全通系统(3)极点和零点

如果zk为系统函数的一个极点，则有

zk*

也是系统函数的一个极点,

1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。(2)相位响应由于一阶全通系统相位是递减的，所以

N阶实系数全通系统的相位非正递减的。极点和零点关于单位圆共轭镜像对称一、全通系统

二阶全通系统的零、极点示意图一、全通系统4.全通系统的应用(1)如果某一滤波器是非稳定的，可用级联一个全通滤波器的办法将它变成一个稳定的滤波器。(2)可以作为相位均衡器使用。IIR系统非线性相位，可以用一个全通系统和IIR系统相级联，在不改变幅频响应的情况下对相频响应做矫正，使其接近线性相位。(3)一些特殊滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组）小测试（系统函数）1、已知滤波器的系统函数为。则该滤波器的类型为（）A低通滤波器B高通滤波器C全通滤波器D带通滤波器E带阻滤波器2、已知滤波器的系统函数为。则该滤波器的类型为（）A低通滤波器B高通滤波器C全通滤波器D带通滤波器E带阻滤波器CB回顾：系统的频率响应的作用？幅度相乘幅频响应：决定频率成分的去留相位相加相频响应：决定频率成分的位移决定系统的响应时间决定系统的滤波特性二、最小相位系统零极点都在z平面单位圆内的因果系统称为最小相位系统。记为Hmin(z)。零点全在z平面单位圆外的稳定的因果系统称为最大相位系统。记为Hmax(z)。单位圆内、外都有零点：混合相位系统。一个离散系统，其极点必须在单位圆内，如果1.定义二、最小相位系统相频：从0变化到2：圆内零/极点对应矢量相位变化2圆外零/极点对应矢量相位变化0因果稳定系统：最小相位延时最大相位延时零点全部在圆内零点全部在圆外[例]一个数字滤波器的系统函数如下式：通过移动其零点，保证：(1)新滤波器和H(z)具有相同的幅频响应；(2)新滤波器的单位冲激响应仍为实值且和原系统同样长。试讨论可以得到几个不同的滤波器？并求出新滤波器的系统函数。（1）所有零点都在单位圆内，最小相位系统。[解][解]所有零点都在单位圆外，最大相位系统。（2）混合相位系统（3）给定系统的幅频响应，系统不唯一；最小相位系统具有最小的相位滞后。2.性质（优点）小测试（最小相位系统）1.任何给定的系统总有另一个系统的幅频响应与之相同（）A.对B.错AB2.一个离散时间系统的系统函数是该系统为（）系统A.最小相位B.最大相位C.混合相位§5.3线性相位系统线性相位定义和条件相频响应特点幅度函数约束零点分布特点重点：掌握线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性，以及其零点分布规律。线性相位是什么？为什么要线性相位？怎么实现线性相位？线性相位的特点一、线性相位定义和条件1.线性相位定义定义：为系统的群延迟(GroupDelay,GD)系统的群延迟为常数，则称系统具有线性相位。若：若：严格线性相位广义线性相位系统为什么要线性相位？无失真传输系统输出信号和输入信号的波形一致，只是幅度的大小和出现的时间不同。

只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。群延迟就是波形的延迟时间。系统为什么要线性相位？不是线性相位会怎么样？波形有失真不是线性相位会怎么样？图像的相位信息很重要一、线性相位定义和条件

如果FIR滤波器单位冲激响应h(n)为实数，0≤n≤N-1，且满足以下条件之一：偶对称

h(n)=h(N-1-n)奇对称

h(n)=

h(N-1-n)则这个FIR滤波器具有线性相位特性。可以证明上式是线性相位系统的充分条件。2.充分条件二、相频响应的特点

相位函数

(

)解卷绕，不再局限在(-

,

)，而是(-∞,∞)。当

h

(n)是实序列时幅度函数周期为2

or4

二、相频响应的特点由h(n)=±h(N-1-n)令N-1-n

=

m二、相频响应的特点二、相频响应的特点1.h(n)偶对称二、相频响应的特点2.h(n)奇对称正交变换网络N为奇数N为偶数奇对称中心奇对称中心偶对称中心偶对称中心I型线性相位系统II型线性相位系统III型线性相位系统IV型线性相位系统三、幅度函数约束1.第Ⅰ种类型——h(n)偶对称，N为奇数三、幅度函数约束1.第Ⅰ种类型——h(n)偶对称，N为奇数周期为2

三、幅度函数约束1.第Ⅰ种类型——h(n)偶对称，N为奇数

由于cos(n)关于=0，，2为偶对称，因此H()也关于=0，，2呈偶对称。

适用所有类型FIRDF例：h(n)={1,2,1},N=3p2

-p40H(

)-2

H(

)三、幅度函数约束2.第Ⅱ种类型——h(n)偶对称，N为偶数周期为4

三、幅度函数约束2.第Ⅱ种类型——h(n)偶对称，N为偶数该FIRDF只能实现低通和带通H()关于=0，2偶对称。H(

)关于

=

奇对称；ω=π时，H(ω)=0。例：h(n)={0.5,0.5},N=2012ppH

(

)H

(

)三、幅度函数约束3.第Ⅲ种类型——h(n)奇对称，N为奇数中间项为零三、幅度函数约束周期为2

可以推出该FIRDF只能实现带通H(

)关于

=0，，2奇对称；

ω=0，，2时，H(ω)=0。4.第Ⅳ种类型——h(n)奇对称，N为偶数周期为4

三、幅度函数约束可以推出该FIRDF只能实现高通、带通H()关于=偶对称。H(

)关于

=0，2奇对称；ω=0，2时，H(ω)=0。3.第Ⅲ种类型——h(n)奇对称，N为奇数例：h(n)={0.5,0,-0.5},N=30H

(

)12ppH

(

)例：h(n)={0.5,-0.5},N=20H

(

)12ppH

(

)4.第Ⅳ种类型——h(n)奇对称，N为偶数类型IIIIIIIV点数N奇偶奇偶h[n]的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称H(

)关于

=0的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称H(

)关于

=p的对称性偶对称奇对称奇对称偶对称H(

)的周期2p4p2p4pb000.5p0.5pH(0)任意任意00H(p)任意00任意可适用的滤波器类型LP,HP,BP,BSLP,BP差分器,Hilbert变换器差分器,Hilbert变换器，HP三、幅度函数约束四、零点分布特点和全通系统的区别？？FIR滤波器的单位冲激响应

h

(n)是有限长实序列系统函数FIR系统只有零点和零极点对于线性相位FIR滤波器，有线性相位FIR系统零点是互为倒数的共轭对四、零点分布特点线性相位FIRDF是否为最小相位系统？？四、零点分布特点

四种不同类型的线性相位系统在zi=

1的零点(1)I型FIR滤波器(N为奇)

zi=1和zi=-1无零点或者有偶数个零点。(2)II型FIR滤波器(N为偶)

zi=-1有奇数个零点，zi=1无零点或有偶数个零点。(3)III型FIR滤波器(N为奇)

zi=1和zi=-1有奇数个零点。(4)IV型FIR滤波器(N为偶)

zi=1有奇数个零点，zi=-1无零点或有偶数个零点。解：[例]已知8阶III型线性相位FIR滤波器部分零点为：

z1=-0.2，z2=j0.8(1)试确定该滤波器的其他零点。

(2)设h(0)=1,求出该滤波器的系统函数H(z)。(1)z3=1/z1=-5;

z4=1/z2=-j1.25，z5=z2*=-j0.8，z6=z4*=j1.25；

z7=-1;z8=1;(2)H(z)=1-z-8+5.2(z-1-z-7)+2.2025(z-2-z-6)-6.253(z-3-z-5)小结：线性相位系统定义群延迟为正常数零点关于单位圆镜像对称特点幅度约束那些滤波器不能实现？h(n)=

h(N-1-n)§5.4离散时间系统的结构离散时间系统结构的表示方法无限长单位冲激响应(IIR)滤波器的基本结构有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构要求：掌握数字滤波器的基本结构重点：IIR数字滤波器的直接Ⅱ型结构

FIR数字滤波器的线性相位型结构滤波器的应用——语音信号处理含噪声信号及其频谱滤波后信号及其频谱滤波系统结构如何实现？数字滤波器设计确定设计指标逼近设计指标有限精度运算实际技术实现H(z)参数H(z)结构LOREMIPSUMFIRDFIIRDF小测试（系统的结构）D1.LSI离散时间系统的差分方程如下则实现该系统的基本运算单元包括（）A.加法器B.数乘器C.延时器D.以上全都是一、离散时间系统结构的表示方法用加法器、数乘器、延时器来模拟给定系统的数学模型，它们的连接图就是系统的模拟框图。用流图来简化框图。延时器数乘器加法器同一个系统的多种算法对应多种运算结构。系统的结构直接影响系统运算的速度、精度和成本.二、IIR滤波器的基本结构差分方程系统函数结构上存在输出到输入的反馈，是递归型的。1.直接Ⅰ型从差分方程看：

第一部分：对输入

x

(n)

的

M

阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。第二部分：对输出

y

(n)

的

N

阶延时链结构，是由输出到输入的反馈网络。1.直接Ⅰ型2.直接Ⅱ型（典范型）2.直接Ⅱ型（典范型）将H2(z)系统的延时器与H1(z)系统的延时器共用由Mason公式也可以画出直接Ⅱ型流图2.直接Ⅱ型（典范型）IIR数字滤波器的直接型结构优缺点

优点：简单直观缺点：

1.改变某一个{ak}或{bm}将影响所有的极点或零点，调整困难；

2.对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象。

对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其他形式的结构。3.级联型

将H(z)的分子和分母分解为一阶或二阶实系数因子之积的形式画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们级联。二阶基本节分组不唯一！3.级联型级联型结构3.级联型IIR数字滤波器的级联型结构优点每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极点，调整方便。对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型小。硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用。4.并联型

将H(z)展开成部分分式之和，仍采用二阶基本节表示画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联。4.并联型并联型结构4.并联型IIR数字滤波器的并联型结构优缺点

优点：

1.各基本节的误差互不影响。

2.可以单独调整极点的位置。3.运算速度快。缺点:

不能向级联型那样直接调整零点。例1：已知某三阶数字滤波器的系统函数为试画出其直接型、级联型和并联型结构。将系统函数H(z)表达为解：

直接型例1：已知某三阶数字滤波器的系统函数为试画出其直接型、级联型和并联型结构。解：

级联型将系统函数H(z)表达为一阶、二阶实系数分式之积例1：已知某三阶数字滤波器的系统函数为试画出其直接型、级联型和并联型结构。解：

并联型将系统函数H(z)表达为部分分式之和的形式三、FIR滤波器的基本结构差分方程系统函数

结构大部分是非递归型

(部分是递归型)

1.直接型FIR滤波器的直接型(卷积型、横截型)结构x

(n

-1)x

(n

-2)x

(n-N

+1)x

(n)h

(0)x(n)·h(0)+x(n-1)·h(1)设N点FIRDF的差分方程为:2.频率抽样型式中：

k=0,1,2,…,N-1

H(z)可以用频域抽样序列H(k)内插得到，内插公式如下：FIR子系统—梳状滤波器一阶IIR子系统FIR子系统的零点与IIR子系统极点相消，使系统具有FIR特性。2.频率抽样型2.频率抽样型2.频率抽样型

FIR滤波器的频率抽样型结构优缺点

优点：

1.直接控制滤波器的频率响应。

2.便于标准化、模块化。缺点:1.复数相乘运算实现起来较麻烦。2.量化后极点不能和零点抵消，使FIR系统不稳定。[例2]

设一个FIR数字滤波器的单位取样响应为画出该滤波器的频率抽样结构的信号流图。结论：H(k)零点较多时，实现较为简单。3.线性相位FIR滤波器的结构线性相位条件：如果FIR滤波器单位冲激响应

h

(n)

为实序列，其中0≤n≤N-1，且满足

h

(n)=

±h

(N-1-n)，则该FIR滤波器具有线性相位。

利用h(n)的对称特性，在实现FIRDF直接型结构时共用乘法器即得线性相位FIRDF结构。3