第5章 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型）（教师版）

专题06一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型）题型一根据等式的性质解方程题型二一元一次方程的含参问题题型三一元一次方程的规律问题题型四一元一次方程的新定义问题题型五一元一次方程解的计算压轴题题型六一元一次方程解的拓展问题题型七一元一次方程的综合应用题型八一元一次方程与数轴有关问题【经典例题一根据等式的性质解方程】1．（24-25七年级·江西南昌·单元测试）利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）x=；（2）y=4；（3）；（4）y=-3．【分析】（1）利用等式的性质1变形为：3x=7，然后利用等式的性质2得到x=；（2）利用等式的性质1得到：2y＝8，然后利用等式的性质2可得到y=4；（3）利用等式的性质1得到，然后利用等式的性质2可得到；（4）利用等式的性质1得到-3y=9，然后利用等式的性质2可得到y=-3．【详解】（1）等式两边同时减4得：3x=7，等式两边同时除以3得x=；（2）等式两边同时减3y再加6得：2y＝8，等式两边同时除以2得y=4；（3）等式两边同时加得：，等式两边同时乘以得；（4）等式两边同时加上5y得：-3y=9，等式两边同时除以-3得y=-3．【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．2．（2025七年级上·浙江·模拟预测）利用等式的性质求下列一元一次方程的解，并写出检验过程．(1)；(2)．【答案】(1)，见解析(2)，见解析【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，掌握解一元一次方程的方法，掌握等式的性质是解题关键．（1）先根据等式的性质解方程，然后检验即可；（2）先根据等式的性质解方程，然后检验即可．【详解】（1）解：，，，．检验：当时，方程左边，方程右边，方程左右两边相等，∴是原方程的解．（2）解：x，，，，，．检验：当时，方程左边，方程右边，方程左右两边相等，∴是原方程的解．3．（2025七年级上·山东·模拟预测）利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查等式的基本性质，（1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论；（2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论；（3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论；（4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论；解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．【详解】（1）解：两边同时加，得：，两边同时除以，得：；（2）两边同时加，得：，两边同时乘，得：；（3）两边同时减去，得：，即：，两边同时除以，得：；（4）两边同时加，得：，即：，两边同时除以，得：．4．（24-25七年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？【答案】见解析【分析】根据等式的性质解答即可．【详解】解；不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义；能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）．【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式．5．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）小丽学完分式方程之后解一道分式方程过程如下：第一步：整理第二步：去分母……．(1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．【答案】(1)分式的基本性质，等式的性质(2)无解【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，尤其不要丢了检验．（1）根据分式的基本性质、等式的性质判断即可；（2）将分式方程化为整式方程求解即可．【详解】（1）解：第一步变化过程的依据是分式的基本性质，第二步变化过程的依据是等式的性质，故答案为：分式的基本性质，等式的性质；（2），整理得，去分母，得，解得，检验：当时，，所以不是分式方程的解，所以原分式方程无解．6．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤．在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为去分母，得（

）去括号，得（

）（

），得（

）合并同类项，得．（

），得，（

）【答案】答案见详解【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，熟练掌握一元一次方程的步骤是解题的关键；【详解】解：原方程可变形为去分母，得（等式的性质）去括号，得（乘法分配律）（移项），得（等式的性质）合并同类项，得．（系数化为），得，（等式的性质）7．（24-25七年级·江西南昌·单元测试）小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程，等式的两边同时加上2，得，然后等式的两边再同时除以x，得.”（1）请你想一想，小明的说法对吗？为什么？（2）你能用等式的性质求出方程的解吗？【答案】（1）不对，理由见解析；（2）x=0【分析】（1）等式两边除以的未知数也有可能是0，所以不能把等式两边都除以未知数；（2）根据等式的性质1即可求解.【详解】（1）不对．理由：∵4x-2=3x-2的解为x=0，当4x=3x两边除以x时，即两边除以0，∴不对．（2），等式的两边同时加上2，得，等式的两边同时减3x，得，故的解为x=0.【点睛】用到的知识点为：等式两边除以的数，应保证不为0的情况下结果才依然是等式．【经典例题二一元一次方程的含参问题】8．（24-25七年级上·重庆忠县·期中）设为有理数，已知关于的一元一次方程．(1)若方程与已知方程的解相同，求的值；(2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．（1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得；（2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得．【详解】（1）解：，，，，，，∵方程与方程的解相同，∴将代入方程得：，解得．（2）解：，，解得，，，，解得，∵关于的方程的解比方程的解大，∴，解得，∴，所以已知方程的解为．9．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；(2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键．（1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可．（2）先解出的解，再根据“美好方程”的定义可得，即可列式求解a和b的值，代入即可求解．【详解】（1）解：∵，解得：，∵，∴，∵方程与方程是“美好方程”，∴，∴．（2）解：，解得：，∴方程的解为，，，，∵无论k取任何有理数，两个方程是“美好方程”，，，，解得：，，∴．10．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如果，我们把数和称为等式的“共和数对”，记作．(1)，可以称为等式的“共和数对”的是________；(2)若是等式的“共和数对”，求的值；(3)已知为常数，无论取何值，总是等式的“共和数对”，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查新定义计算，一元一次方程，一元一次方程的解，能正确的理解新定义是解题的关键．（1）分别利用定义进行计算，再判断即可；（2）根据新定义进行列方程求解即可；（3）先根据新定义列方程，并利用“关于的一元一次方程对于任意的都满足，则”进行解答即可．【详解】（1）解：对于，，，因为，所以不是等式的“共和数对”；对于，，，因为，所以是等式的“共和数对”；故答案为：；（2）解：因为是等式的“共和数对”，所以，解得：；（3）解：因为是等式的“共和数对”，所以，整理得：，由题意：与的取值无关，所以，所以．11．（24-25七年级上·重庆·期中）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值；(2)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了新定义——“至诚方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键．（1）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，代回原方程求解即得；（2）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，再整体代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵一元一次方程是“至诚方程”，∴，∴，解得：；（2）解：∵一元一次方程是“至诚方程”，∴，∴，整理得∴．12．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）已知关于的方程．(1)若，求该方程的解；(2)若是方程的解，求的值；(3)若该方程的解与方程的解相同，求的值；(4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值；(5)若该方程有正整数解，求整数的最小值．【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可；（2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可；（3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可；（4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可；（5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解；解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键．【详解】（1）解：当时，方程为，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵是方程的解，∴，∴，∴，解得：，∴，∴的值为；（3）解：∵，解得：，∵方程的解与方程的解相同，∴，∴，解得：，∴的值为；（4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为，∴是方程的解，∴，解得：，∴的值为；（5）解：∵，∴，∴，∴，∵取正整数，∴为的正整数倍数．又∵取最小值，∴，∴，∴的值为．13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”．(1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______；(2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解；(3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解．【答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键．（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；（2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可；（3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可．【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，与方程互为“反对方程”，；（2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为，∴∴；∴，∴∴关于的方程的“反对方程”为∴；（3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，∵方程∴∴∵方程∴∴方程和方程互为“反对方程”∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为，∴的解为．14．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”．(1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______；(2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值：(3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）；(4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______．【答案】(1)(2)或(3)①；②(4)【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键．（1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可；（2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解；（3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解；（4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解．【详解】（1）解：解方程得，关于的一元一次方程与是“星光方程”，关于的一元一次方程的解是，，，故答案为：；（2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，解得：或；（3）关于的一元一次方程的解是，的解是，关于的一元－次方程：的解是，，则，故答案为：①；②；（4）的解是，关于的一元一次方程和互为“星光方程”，关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程整理可得：，，．故答案为：2026【经典例题三一元一次方程的规律问题】15．（24-25七年级上·河南焦作·期中）有一列数，按一定的规律排列：，其中某三个相邻的数的和是，这三个数分别是多少？【答案】，，【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这三个数中的第一个数是，则其后面的两个数分别是，，根据题意列出方程即可求解，找出数列的排列规律是解题的关键．【详解】解：设这三个数中的第一个数是，则其后面的两个数分别是，，由题意得，，解得，∴，，答：这三个数分别是，，．16．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．(1)根据规律，第4个图中白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个；(2)第个图形中，白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个（用含的式子表示，为正整数）；(3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多64个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由．【答案】(1)28；8(2)；(3)可能；【分析】此题考查了图形变化类规律问题；（1）根据题意归纳出本题第n个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形个，白色小正方形共有个，再将代入计算即可；（2）由（1）可知，第n个图形中共有灰色小正方形个，白小正方形个数为个；（3）根据题意可得到，从而可求解．【详解】（1）解：∵第1个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有2个，白色小正方形共有个，第2个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个，第3个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个，…，∴第n个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个，∴第4个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个，故答案为：28，；（2）由（1）可知，第n个图形中灰色小正方形共有个，白小正方形个数共有个，故答案为：，；（3）设第个图形白色小正方形比灰色小正方形正好多个，得，

解得，∴可能白色小正方形比灰色小正方形正好多64个．17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？（2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）；（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来．【答案】（1）圈出的4个数的个位数字相同，每相邻两个之间相差10；（2）（3）这四个数是38，48，58，68【分析】本题考查的是数字类的规律探究，一元一次方程的应用；（1）根据四个数存在的联系可得答案；（2）由长方形圈出的四个数字中上下相邻的两个数相差10，从而可得答案；（3）设圈的四个数中最小的数是x，由题意得：，再解方程可得答案.【详解】解：（1）由题意可知，圈出的4个数的个位数字相同，每相邻两个之间相差10；（2）∵长方形圈出的四个数字中上下相邻的两个数相差10，所以如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以表示为；（3）设圈的四个数中最小的数是x，由题意得：，解得：，即这四个数是38，48，58，68.18．（24-25七年级上·广东广州·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得，∴．请仿照这一方法解决以下问题：(1)无限循环小数写成分数为．(2)大小比较：1．（选填“＞”“＝”或“＜”）(3)请把无限循环小数写成分数．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键．（1）设，两边同乘以10，得到，求出的值；（2）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案；（3）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案．【详解】（1）解：设，两边同乘以10得：，即，解得：，即无限循环小数写成分数为，故答案为；（2）解：设，两边同乘以10得：，即，解得：，即无限循环小数写成，即，故答案为：；（3）解：设，两边同乘以100得，，即，解得：，即无限循环小数写成分数为，则．19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和．(1)则_______，________；，两点之间的距离为_______；(2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点；(3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数．【答案】(1)，，；(2)当运动到第次时，点到达点；(3)第次运动点对应的数为．【分析】（）根据是关于的二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离；（）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可；（）根据（）得到的规律求解即可；本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为，∴，，∴，∴，两点之间的距离为，故答案为：，，；（2）解：第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；，∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增，∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为，∴，∴，∴；∴当运动到第次时，点到达点；（3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增，∴第次运动点对应的数为．20．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）探究规律，完成相关题目．定义“△”运算：；；；；；；．(1)归纳△运算的法则：两数进行△运算时，______；（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，______．(2)计算：_______．(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)若，则；若，则；都等于这个数的平方(2)(3)存在，理由见解析【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，新定义下的实数运算，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．（1）根据题意给出的算式，归纳总结即可；（2）根据法则，列出算式进行计算即可；（3）根据法则，进行计算即可．【详解】（1）解：两数a，b进行△运算时，若，则；若，则；特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，都等于这个数的平方；故答案为：若，则；若，则；都等于这个数的平方；（2），，故答案为：；（3）存在，理由：∵，∴当，，即，时，．21．（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1，的正方形的正方形的长方形边长为1的正方形数量：4边长为2的正方形数量：1正方形总数：5边长为1的正方形数量：①边长为2的正方形数量：4边长为3的正方形数量：1正方形总数：②边长为1的正方形数量：12边长为2的正方形数量：③边长为3的正方形数量：2正方形总数：④(1)数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________；(2)已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）．【答案】(1)①9；②14；③6；④20(2)3；8（或2；15答案不唯一）【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．（1）根据题意数出对应图形中对应边长的正方形个数即可得到答案；（2）在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……，则不妨设，然后讨论m的值，再建立关于n的方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，在的正方形中，边长为1的正方形有9个，∴在的正方形中正方形总数为个；在的长方形中，边长为2的正方形有6个，∴在的长方形中正方形总数为个；（2）解：在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……，不妨设，当时，正方形总数为，则，解得；当时，正方形总数为，则，解得；当时，正方形总数为，则，解得，不符合题意；当时，正方形总数为，不符合题意；随着m的最大，正方形的总数增大，∴当时，正方形总数一定比44多，综上所述，，或，．【经典例题四一元一次方程的新定义问题】22．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义一种新运算，规定(、是有理数)．例如：(1)计算；(2)若，求的值；(3)比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)当大于时，大，当等于时，一样大，当小于时，小【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，整式的加减，正确理解题意是解题的关键．（1）根据给定的新运算，即可求出的值；（2）根据，可列出关于的一元一次方程，求解即可；（3）表示出，分类讨论即可．【详解】（1）解：，；（2），解得，的值为；（3）；，，当时，，即；当时，，即；当时，，即，综上，当时，；当时，；当时，即．23．（24-25七年级上·广东梅州·期中）对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为如：．(1)计算：①，②；(2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值；(3)若，且，求的值．【答案】(1)5，(2)(3)【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程．（1）根据题中定义代入即可得出；（2）根据，代入题中定义，解方程即可求解；（3）先利用整式的加减求得的值，得到，再整体代入即可求解．【详解】（1）解：根据题意：；；故答案为：5，；（2）解：∵，∴，∵∴，解得；（3）解：由题意，∵，∴，即，∴．24．（24-25七年级上·吉林长春·期中）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值．(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．【答案】(1)15(2)±3【分析】（1）解方程，可得，根据“友好方程”的定义可知，方程的解为，将代入到方程中并求解即可；（2）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为-n，根据题意，分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可．【详解】（1）解：解方程，可得，若关于x的方程与方程是“友好方程”，则有方程的解为，将代入到方程中，可得，解得；（2）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为-n，根据题意，该“友好方程”的两个解的差为6，当时，解得，当时，解得，综上所述，可得．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，理解“友好方程”的定义．25．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算题．①②③④对于数定义新运算，，那么．求的值．⑤⑥⑦⑧⑨⑩【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩【分析】本题考查了有理数的混合运算及解方程，解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算及解方程的步骤．①先分别计算分子与分母，再相除即可；②先分别计算分子与分母，再相除即可；③先分别计算分子与分母，再相除即可；④先列出方程，再求解即可；⑤利用拆分法或错位相减法进行计算即可；⑥先计算乘法，再计算加法即可；⑦利用乘法分配律进行计算即可；⑧利用拆分法进行计算即可；⑨先计算小括号内的，再计算中括号内的，再计算大括号内的，最后计算乘法即可；⑩先去括号，再进行组合即可计算【详解】①②③④解：⑤解法1：拆分法原式解法2：错位相减法设①两边同时乘2，得②②−①，得⑥⑦⑧⑨⑩26．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义一种新运算“★”，其运算方式如下：……观察式子的运算方式，请解决下列问题：(1)这种运算方式是：______（用含m，n的式子表示）；(2)解方程；(3)若关于x的方程的解为整数，求整数a的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程．（1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可；（2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可；（3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可．【详解】（1）解：由题意，得：；故答案为：；（2）解：∵∴，即：，解得：；（3）解：，即：，解得：，∵方程的解为整数，∴为整数，又为整数，∴．27．（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）解方程（2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论：当时，原方程可化为．解得．符合．当时，原方程可化为．解得．符合．所以原方程的解为或．请你类比此法解方程：．（3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．【答案】（1）或；（2）或；（3）或【分析】本题主要考查了解一元一次方程：（1）先推出，进而得到或，进而解方程即可；（2）仿照题意进行求解即可；（3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）∵，∴，∴或，解得或；（2）当时，原方程可化为．解得．符合．当时，原方程可化为．解得．符合．所以原方程的解为或；（3）∵，∴，∴或，∴或；∵，∴，∴，解得，∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，∴或，解得或．28．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”．(1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”：①______，②

______；(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值；(3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值．【答案】(1)①否；②是(2)3或9(3)或【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键．（1）根据新定义的要求，解方程验证即可．（2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可．（3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解．【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下：的解为；①方程的解是，，故不是“十全十美方程”；②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”．故答案为：①否；②是；（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，即，若，，则，解得：；若，，则，解得：；∴a的值为3或9．（3）的值为或．理由如下：由，解得：，∵，∴，即的解是：，∴，整理得：，∵分母m不能为0，∴，∴，①当时，，∴，；②当时，，∴，；∴的值为或．【经典例题五一元一次方程解的计算压轴题】29．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了解方程的应用．（1）对于方程，先通过移项、系数化为1将方程变形为等于一个常数的形式，再利用立方根的定义求解x；（2）对于方程，先通过移项、系数化为1将方程变形为等于一个常数的形式，再利用平方根的定义求解x．【详解】（1）解：．（2）解：或或．30．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）计算下面各题．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)（解方程）．(6)（解方程）．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本题考查有理数的混合运算和解方程，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．（1）利用加法交换律和结合律解答即可；（2）利用裂项相加解答即可；（3）利用裂项相加解答即可；（4）利用乘法分配律的逆运算解答即可；（5）利用合并同类项，系数化为解方程即可；（6）利用合并同类项，去括号，移项，系数化为解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：（5）解：；（6）解：．31．（2025七年级上·江苏南通·模拟预测）对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算：(1)若，求的值；(2)若，，且，求的值；(3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值．【答案】(1)(2)20(3)3【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键．（1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得；（2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可；（3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值．【详解】（1）解：当时，，，，解得，与矛盾，舍去；当时，，，，解得，符合题意；综上可知，x的值为．（2）解：，，，即，，，；（3）解：和均为正整数，，，，解得，和均为正整数，是5的因数，且只能是，此时，，，即k的值为3．32．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”．(1)判断：与__________（填“是”或“不是”）互为“优雅方程”；(2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值．【答案】(1)是(2)【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，倒数，其他应用，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义．（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可；（2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于的方程，解方程即可．【详解】（1）解：是互为“优雅方程”，理由如下：的解为；的解为；的倒数为，满足“优雅方程”的定义，故答案为：是；（2）解：的解为；的解为，根据“优雅方程”的定义得，解得．33．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”．(2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值．(3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解．【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”(2)(3)【分析】（1）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义进行判断即可；（2）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义列出关于的方程求解即可；（3）根据“美好方程”的定义求出的值，再求解关于的方程即可．【详解】（1）解：解方程，得．解方程，得．∵，∴方程与方程互为“美好方程”．（2）解：解关于的方程，得．解方程，得．∵关于的方程与方程互为“美好方程”，∴，解得．（3）解：解方程，得．解关于的方程，得．∵方程与关于的方程互为“美好方程”，，解得．将代入，得，解得．【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定义是正确解答的关键．34．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值：(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，求的值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键．（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可；（2）设另一个方程的解为x，列出方程组求出n值即可；（3）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出结论即可．【详解】（1）解：解方程，得，解方程，得，∵关于的方程与方程是“美好方程”，∴解得：．（2）解：设另一个方程的解为x，根据题意可得：，∴或．∴或．（3）解：将方程整理为，由题意得：方程的解与的值无关，∴，解得，此时方程的解为：；解方程得：，又无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，所以，，解得，，所以，．35．（24-25七年级上·江西南昌·期中）对于方程，小华同学的解法如下：解：将原方程化为．…第一步，得．…第二步去括号，得．…第三步移项、合并同类项，得．…第四步系数化为1，得．…第五步(1)第二步进行的是，这一步的依据是；以上求解步骤中，从第步开始出现错误．(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)去分母，等式的性质，一(2)，过程见解析【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键；（1）根据等式的性质得出错误的步骤及原因．（2）先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可．【详解】（1）解：第二步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质；以上求解步骤中，从第一步开始出现错误；答案为：去分母，等式的性质，一；（2）解：整理方程得：1，去分母得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：．【经典例题六一元一次方程解的拓展问题】36．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）一杯盐水，盐占盐水的，又加入盐后，盐占盐水的，原来盐水有多少克？（用方程解答）【答案】100克【分析】本题考查了分数应用题中浓度变化的问题，解题的关键是根据加盐前后盐的质量与盐水总质量的关系列出方程，进而求解原来盐水的质量．设原来盐水的质量为未知数，根据盐占盐水的比例表示出原来盐的质量；加入盐后，盐的质量和盐水的总质量均增加，再根据新的盐占盐水的比例列出方程；通过解方程求出原来盐水的质量．【详解】解：设原来盐水有克．原来盐的质量为克；加入盐后，盐的质量为克，盐水的总质量为克．根据此时盐占盐水的，可列方程：两边同乘消去分母得：展开括号：移项得：，即，解得答：原来盐水有克．37．（2025七年级上·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两个缸里都放有水，第一次把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸的水增加一倍．第二次把乙缸里的水往甲缸里倒，使甲缸所剩的水增加一倍．第三次又把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸所剩的水增加一倍．这样一来，两缸里各有水64升，问两个缸里原有的水各是多少升？【答案】甲缸里有水88升，乙缸里有水40升【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设乙缸里原来有水x升，则甲缸里原来有水升，根据题意表示出第三次倒后，乙有升，从而得出方程，解方程即可．【详解】解：设乙缸里原来有水x升，则甲缸里原来有水升，第一次倒后，乙有水升，甲剩升，第二次倒后，甲有升，乙剩升，第三次倒后，乙有升，∵第三次倒后，两缸里各有水64升，∴，解得：，（升），答：甲缸里有水88升，乙缸里有水40升．38．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）只列式不计算(1)一种优质大米的出米率为78%，要碾出117千克大米，需要谷子多少千克？(2)学校刚竣工的学生宿舍楼投资了70万元，比计划节约了10万元，节约了百分之几？(3)小明3天看了这本书的，照这样计算，还要多少天才能看完？(4)小王在今年（2023年）的二月下旬加工一批零件，前3天共加工零件210个，在剩下的几天里平均每天加工55个，这个下旬平均每天加工零件多少个？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题重点考查​百分数的应用（出米率、节约百分比）、分数的应用（工作效率与时间关系）和平均数的计算​，掌握各量之间的关系，正确列出算式是解题的关键​．​根据出米率、节约百分比、工作效率与时间关系和平均数的计算列式即可．【详解】（1）解：设需要谷子重量为千克，有，因此，千克，列式为．（2）计划投资金额实际投资金额节约金额万元，因此，节约百分比为，列式为．（3）3天看了，则每天看，剩余部分为，因此还需要时间为天，列式为．（4）今年的二月下旬为8天，依题意，剩下的天里平均每天加工55个，则加工个，所以这个下旬平均每天加工零件为个，列式为．39．（24-25七年级上·江西抚州·期中）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数．如：，160是20的8倍；，640是20的32倍．(1)请你仿照上面的例子，再举出一个例子：（

）（

）．(2)若一个两位数，它的十位数字为1，个位数字为a，这个两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，求这个两位数．(3)设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数），请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确．【答案】(1)19；9；280（答案不唯一）(2)这个两位数为12(3)“发现”的结论正确，论证见解析【分析】（1）根据材料提示的信息，即可求解；（2）十位数字为，表示为，个位数字为表示为，再根据材料提示即可求解；（3）根据两位数的表示方法，完全平方公式的运算，即可求解．【详解】（1）解：，是的14倍，（答案不唯一）．（2）解：十位数字为，表示为，个位数字为表示为，∴这个两位数表示为，根据材料提示得，，的7倍表示为，∴，解得，∴这个两位数是．（3）解：十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数），∴这个表示为，∴，，∴，且是的倍，且是正整数，∴一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数，正确．【点睛】本题主要考查定义新运算，整式混合运算，理解定义运算的法则，掌握整式混合运算法则是解题的关键．40．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量，秤砣质量，秤纽与秤盘的水平距离为，秤纽与零刻线的水平距离为，零刻线与末刻线水平距离为．当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡．(1)求l，a的值；(2)小明将数学教材放在秤盘上，秤砣位于零刻线右侧处时，杆秤平衡，求数学教材的质量．【答案】(1)，(2)数学教材的质量为【分析】本题考查了杠杆平衡原理的应用及一元一次方程的求解，解题的关键是根据杆秤平衡时“动力动力臂阻力阻力臂”的原理列出方程，进而求解未知量．（1）根据秤盘不放重物、秤砣在零刻线时杆秤平衡的条件，列出关于l和a的第一个方程；再根据秤盘放入重物、秤砣在末刻线时杆秤平衡的条件，结合零刻线与末刻线的距离列出第二个方程，联立求解得到l和a的值．（2）设数学教材的质量为未知数，根据秤盘放教材、秤砣在零刻线右侧处时杆秤平衡的条件，利用杠杆平衡原理列出方程，求解得出教材质量．【详解】（1）∵秤盘不放重物，在零刻线时，杆秤平衡，∴．∴，当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡．，∵，∴，∴，∴，；（2）设数学教材的重量为，∴，∴，答：数学教材的质量为．41．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失）物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：的开水与温水混合至50度，热传递关系为：(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为______；②开水放出的热量为______（结果用含t的代数式表示）(2)小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？【答案】(1)①②(2)小李同学接温水和开水的时间分别为秒和秒【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，由热传递关系进行求解即可．（1）①王老师的水杯容量为，即可求解；②由热传递关系得，即可求解；（2）设小李同学接开水的时间分别为秒，由热传递关系得，即可求解．【详解】（1）解：①王老师的水杯容量为（），故答案为：；②由题意得，故答案为：；（2）解：设小李同学接开水的时间分别为秒，，解得：，（秒），答：小李同学接温水和开水的时间分别为秒和秒．42．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）【观察思考】如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案【发现规律】根据上述图案的摆放规律填空：（1）第5个图案中黄梅花的盆数为________；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…，第个图案中红梅花的盆数可表示为_________；【解决问题】（3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中，红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍少5盆，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】本题考查了图形类规律，解一元一次方程；（1）根据前几个图案的规律，即可求解；（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．（3）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为，第2个图案中黄梅花的盆数可表示为，第3个图案中黄梅花的盆数可表示为，第4个图案中黄梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中黄梅花的盆数可表示为；第5个图案中黄梅花的盆数可表示为，故答案为：；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为；故答案为：；（3）根据题意得，整理得，解得．【经典例题七一元一次方程的综合应用】43．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）王强和李刚从点同时出发，朝不同方向沿着长方形花圃边沿散步，结果在距离点的处第一次相遇，已知李刚的速度是王强的，此时李刚走了多少米？这个长方形花圃的周长是多少米？【答案】李刚走了64米，长方形花圃的周长是144米【分析】本题考查一元一次方程的应用，设长方形花圃的长，宽的和为，则李刚走了米，长方形花圃的周长是米，根据李刚的速度是王强的知两人路程的关系，从而得：，即可解得答案．【详解】解：设长方形花圃的长，宽的和为，则李刚走了米，长方形花圃的周长是米，根据题意得：，解得，∴，，答：李刚走了64米，长方形花圃的周长是144米．44．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务：信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元；信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元；信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元．(1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价；(2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？【答案】(1)A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元(2)见解析【分析】本题考查了一元一次方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系是解题的关键．（1）分3种情况：选①②，选①③，选②③，分别讨论即可；（2）设A品牌饮料买瓶，购买品牌饮料瓶，得方程，解得，a应该是整数，不能是分数，可判断错误．【详解】（1）解：选①②，设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元，由题意可得：，解得，∴，答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元．选①③，设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元，由题意可得：，解得，∴．答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元．选②③，设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元，由题意可得：，解得，∴，答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元．（2）解：设A品牌饮料买瓶，则购买品牌饮料瓶，由题意可得：，解得．因为饮料的数量不可能是分数，所以小文弄错了．45．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）列方程解应用题某建筑公司有甲.乙两个施工队，甲队的技术人员人数是乙队技术人员人数的2倍.今年公司进行人员调整，从甲施工队调出10名技术人员到乙施工队，结果两队技术人员相等了.（1）原来甲.乙两施工队各有多少技术人员（2）若这个建筑公司的人员人数比例是：领导:技术人员:工人=0.2:1:10，那么这个公司有多少人员？【答案】(1)甲队有40名技术人员，乙队有20名技术人员；（2）总人数是672；【分析】（1）根据题意设原来乙队技术员有x人，从而可以用x的代数式表示出甲队的技术人员，然后列出方程即可求解；（2）根据（1）中的结果和人员人数比例，进行分析即可求得这个公司有多少人员．【详解】解：（1）设乙队技术员有x人，则甲队技术人员为2x人，列方程得2x-10=x+10,解得x=20，∴2x=40，所以甲队有40名技术人员，乙队有20名技术人员；（2）由（1）可知，这个公司的技术人员有：40+20=60（人），∵这个建筑公司的人员人数比例是：领导：技术人员：工人=0.2：1：10，∴这个公司的领导有：60×0.2=12（人），工人有：60×10=600（人），∴这个公司一共有：12+60+600=672（人），答：这个公司有672人．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识进行分析解答．46．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产6个支架或15套脚踏板．(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？配成多少套？(2)若每套太空漫步器的成本为200元，每套按成本加价销售，售出一部分后，出现滞销，工厂决定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共获利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？【答案】(1)人生产支架，人生产脚踏板恰好配套，配成套；(2)有套太空漫步器打八折出售．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键．（1）设安排人生产支架，则人生产脚踏板，由题意得，求解即可得出答案；（2）根据题意求出每套太空漫步器的售价和打八折后每套太空漫步器的售价，设有套太空漫步器打八折出售，依题意可得，求解即可．【详解】（1）解：设安排人生产支架，则人生产脚踏板，由题意得：，整理得：，解得：，∴（人），（套），∴人生产支架，人生产脚踏板恰好配套，配成套；（2）解：每套太空漫步器的售价为：（元），打八折后每套太空漫步器的售价为：（元），设有套太空漫步器打八折出售，依题意可得：，整理得：，解得：，答：有套太空漫步器打八折出售．47．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程；③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元．(1)求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？(2)从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由；(3)若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？【答案】(1)甲工程队单独施工完成全部工程各需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程各需要60天；(2)选甲工程队单独施工完成(3)28天【分析】（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，依据等量关系列方程求解；（2）先根据“若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000”求出甲乙队每天工程的费用，进而求出甲乙队完成全部工程的费用，比较即可得到结论；（3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工天才能完成全部工程，根据两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000列出不等式，解不等式即可得到结论．【详解】（1）解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需天．根据题意得．解这个方程得．经检验是所列方程的解．∴当时，．答：甲工程队单独施工完成全部工程需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程需要60天；（2）解：方案为：选甲工程队单独施工完成．理由如下：由题意可得两队同时进场施工完成全部工程所需要的天数为（天），设乙队每天工程费用为a元，则甲乙队每天工程费用为元，由题意得，解得，∴甲队完成全部工程费用为（元），乙完成全部工程费用为（元），又两队同时进场施工完成全部工程共需要工程费用元，∵，∴选甲工程队单独施工完成；（3）解：设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工天才能完成全部工程，由题意得，解得，答：甲工程队至少要施工28天．【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．48．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，并且a，b满足．(1)求点A，B之间的距离；(2)点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，为15个单位长度，为8个单位长度，求点C，D之间的距离；(3)动点P以3个单位长度秒的速度从点A出发沿数轴正方向运动，同时点Q以2个单位长度秒的速度从点B出发沿数轴负方向运动，求当（表示线段的长度）时点P表示的数是多少？【答案】(1)点A，B之间的距离为18(2)点C，D之间的距离为5(3)点P表示的数是或【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．（1）先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据两点间的距离求解即可；（2）先根据两点间的距离求出点C和点D表示的数，进而可求出点C和点D之间的距离；（3）根据题意设点P表示的数为，点Q表示的数为，再根据分类讨论设方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴点A表示数，点B表示数5，∴点A，B之间的距离为，（2）解：∵点C在点A的右侧，为15个单位长度，∴点C表示的数是：，∵点D在点B的左侧，为8个单位长度，∴点D表示的数是：，∴点C，D之间的距离为：．（3）解：根据题意设点P表示的数为，点Q表示的数为，∵，∴当点Q在点P右边时，∴，∴，∴点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P在点Q右边时，∴，∴，∴点P表示的数为，点Q表示的数为．49．（24-25七年级上·江西南昌·期中）某校组织学生参加2024年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况：参赛学生答对题数答错题数得分A200100B18286C15565请结合表中所给数据，回答下列问题：(1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分；(2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分；(3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）；A．75；B．63；C．56；D．44并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）【答案】(1)5，2(2)(3)D，答对了12道题【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．（1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分；（2）按照（1）中的答题得分计算即可；（3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可；【详解】（1）解：答对一题加：分，答错一题减：分，故答案为：5，2；（2）小明的得分：分，（3）D，答对了12道题．设他答对道题，则答错道题．A．若，解得，故不符合题意；B．若，解得，故不符合题意；C．若，解得，故不符合题意；D．若，解得，符合题意；答：小刚同学答对了12道题．【经典例题八一元一次方程与数轴有关问题】50．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点A、B分别位于原点的两侧，，且，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动．(1)求数轴上点A，B对应的数；(2)当相遇时，求运动的时间．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由可知，将12平均分成三份，占两份为8，占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；（2）设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度可分别表示出点P、Q运动t秒后所对应的点所表示的数，再根据当相遇时，两个点表示的数相同，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵点A、B分别位于原点O的两侧，，且，∴，，又∵点A在原点的左侧，点B在原点的右侧，∴点A对应的数为，点B对应的数为4；（2）解：设运动时间为t秒，根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为，当相遇时，∴，解得：，∴当相遇时，运动的时间为3秒．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，解决本题的关键是理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．51．（24-25七年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，A，B为数轴上的两个点，A点表示的数为，B点表示的数为90.(1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；(2)电子蚂蚁P从B点出发，以3个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从A点出发以2个单位长度/s的速度向右运动，经过多长时间，这两只电子蚂蚁在数轴上到原点的距离相等?【答案】(1)：40(2)20或80【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离以及一元一次方程与数轴动点问题，解题的关键是掌握两点中点公式，的中点为．（1）根据A，B两个点表示的数，然后借助数轴即可求出点；（2）由题意这两只电子蚂蚁在数轴上到原点的距离相等，可得或，以及列方程即可求解．【详解】（1）解：A点表示的数为，B点表示的数为90，M点与A，B两点距离相等，；（2）解：设经过秒，这两只电子蚂蚁在数轴上到原点的距离相等，当时，有，解得：，当时，有，解得：，综上，经过20或80秒，这两只电子蚂蚁在数轴上到原点的距离相等．52．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）请利用数轴研究下列问题：(1)特例研究：数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______；(2)合理猜想：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为______；(3)结论应用：①数轴上表示和的两点和之间的距离是______（用含的式子表示）．如果，那么为______；②当代数式，则的值是______．【答案】(1)3，7，5；(2)(3)①，1或；②或3【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及绝对值的意义，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．（1）根据数轴上两点之间的距离A、B两点之间的距离解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离即可求解（3）①根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．②把原题看成点x到点和点2的距离之和，分情况求解即可得到答案．【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，数轴上表示和5的两点之间的距离为，数轴上表示2和的两点之间的距离为；故答案为：3，7，5；（2）解：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为，故答案为：；（3）①数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，根据题意得，即，所以或，故答案为，1或；②数轴上表示x的点到和2的距离和为5