2026版高三数学一轮复习第五章 5.5　复数讲义+课时练

第五章平面向量、复数5.5复数数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1复数的概念考点2复数的四则运算0102考点3复数的几何意义03课时作业第三部分05高考创新方向创新考法04考点4复数与方程1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数代数表示法的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．复数的概念教材回扣概念定义复数把形如________(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做________．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的____与____复数集全体复数所构成的集合，即C＝____________________复数相等a＋bi＝c＋di⇔______，______，其中a，b，c，d∈Ra＋bi虚数单位实部虚部{a＋bi|a，b∈R}a＝cb＝d共轭复数a－bi实轴虚轴原点模绝对值|z||a＋bi|原点2.复数的几何意义相等3．复数的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①z1±z2＝________________________；②z1z2＝________________________________；(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数加、减法的几何意义(3)复数加法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1＋z2＝____________________________________________结合律(z1＋z2)＋z3＝_______________________________________________________交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝________________分配律z1(z2＋z3)＝_________________________________z2＋z1z1＋(z2＋z3)z1(z2z3)z1z2＋z1z34．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环．(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．教材拓展1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(

)(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(

)(3)原点是实轴与虚轴的交点．(

)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(

)基础检测××√√2．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝m2－m－2－(m＋1)i(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则m的值为__．24．(人教A版必修第二册P95T1(3)改编)已知复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为__________．互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1复数的概念CB(3)(多选)(2024·湖北荆州三模)已知复数z＝m2－1＋(m＋1)i(m∈R)，则下列命题正确的是(

)A．若z为纯虚数，则m＝±1B．若z为实数，则z＝0C．若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m＝－1D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限BD规律总结解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．D(2)(2024·四川乐山三模)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－2i和1＋bi互为共轭复数，则复数z＝a＋(b－1)i的模为(

)B(3)(多选)(2024·河南驻马店二模)已知z1＝3＋2i，z2＝4－i，则(

)A．z1＋z2的虚部为－1B．4z1－3z2是纯虚数C．z1z2在复平面内所对应的点位于第一象限BC考点2复数的四则运算C(2)(2024·贵州毕节三模)若复数z满足(1＋i2＋i5)·z＝3i2024－4i，则|z|＝(

)A．1 B．5C．7 D．25BA规律总结1．复数的乘法类似于多项式的乘法运算．2．复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．AB(3)(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(

)A考点3复数的几何意义C(2)(2024·浙江丽水二模)复数z满足|iz|＝1(i为虚数单位)，则|z－4＋3i|的最小值是(

)A．3

B．4C．5

D．6B规律总结2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．A(2)(2024·湖南长沙三模)已知复数z满足|z|＝1，则|z－2i|的取值范围为(

)A．[0，2]

B．[1，3]C．[2，4]

D．[1，9]解析：如图，|z|＝1表示z对应的点是单位圆上的点，|z－2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0，2)之间的距离，|z－2i|的取值范围转化为点(0，2)到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为2＋1＝3，最小距离为2－1＝1，所以|z－2i|的取值范围为[1，3].故选B.B考点4复数与方程【例4】

(多选)(2024·浙江温州三模)已知z1，z2是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的两个根，其中z1＝1＋i，则(

)ACD规律总结1．对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用．2．对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用．【对点训练4】

(多选)(2024·辽宁沈阳二模)设方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两根分别为z1，z2，则下列关于z1，z2的说法正确的有(

)ABD高考创新方向创新考法【例】

(多选)(2024·浙江温州期末)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(

)A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3BC创新解读本题考查复数的运算性质，不再是单纯考查复数的基础运算或基本概念，体现新高考“反套路”的新趋势，复习过程中不能只关注一类题型，需要各类题型均有涉猎．课时作业37第分部三A．1－i B．－iC．－1－i D．1解析：由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选C.C2．（5分）（2024·北京大兴区三模）已知(m－i)2为纯虚数，则实数m＝(

)A．0 B．1C．－1 D．±1D3．（5分）（2024·湖南邵阳三模）已知复数z满足z(1＋i)＝i2024－i，其中i是虚数单位，则|z|的值为(

)BC5．（5分）（2024·黑龙江大庆三模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2，3)，则i·z＝(

)A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．－3＋2i解析：因为复数z对应的点的坐标是(2，3)，所以z＝2＋3i，所以i·z＝i·(2＋3i)＝－3＋2i.故选D.DDA8．（5分）若复数z＝cosθ＋isinθ，则|z－2＋2i|的最大值是(

)BABD10．（8分）（多选）（2024·广东佛山二模）已知复数z1，z2满足z2－2z＋2＝0，则(

)ABD11．（8分）（多选）（2024·浙江绍兴二模）已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，其中i为虚数单位，若z满足|z＋1|＋|z－1|＝4，则下列说法中正确的是(

)A．|z|的最大值为2B．y的最大值为1AD－i13．（5分）（2024·湖南长沙二模）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1·z2＝__________．解析：由题意可知，z1＝－2－i，z2＝1＋i，则z1·z2＝(－2－i)(1＋i)＝－2－i－2i－i2＝－2＋1－3i＝－1－3i.－1－3i14．（5分）已知i为虚数单位，则集合A＝{x|x＝i＋i2＋i3＋…＋in，n∈N*}中元素的个数为__．解析：当n＝4k，k∈N*时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝0；当n＝4k＋1，k∈N时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝i；当n＝4k＋2，k∈N时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝i＋i2＝i－1；当n＝4k＋3，k∈N时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝i＋i2＋i3＝－1，所以集合A中元