2026版高三数学一轮复习第七章 7.5　几何法求空间角和距离讲义+课时练

第七章立体几何与空间向量7.5几何法求空间角和距离数学内容索引关键能力提升第一部分考点1求距离考点2求线面角0102考点3求二面角03课时作业第二部分1．理解空间角和空间距离的概念．2．会利用几何法求线面角、二面角、距离．互动探究·考点精讲关键能力提升第分部一考点1求距离【例1】

(1)如图，在四棱锥P­-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(

)AD规律总结1．求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解．2．求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解；若不易作出点面距，可借助等体积法求解．(1)求证：BM∥平面CDE；解：证明：由题意知MD＝2，BC＝2，MD∥BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故BM∥CD，又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM∥平面CDE.(2)求M到平面FAB的距离．考点2求线面角B规律总结求线面角的三个步骤一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．考教衔接三余弦定理1．链接教材：(人教B版选择性必修第一册P45尝试与发现)如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ.那么cosθ＝cosθ1cosθ2.(证明略)即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值等于斜线与平面所成角θ1的余弦值乘射影与平面内直线夹角θ2的余弦值．(为了便于记忆，可设θ为斜线角，θ1为线面角，θ2为射影角)2．定理说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积．斜线与平面所成角θ1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．

【典例】

(1)正四面体ABCD中，O为△BCD的重心，则cos∠ABO＝__．方法二如图，由三余弦定理，得cos∠ABD＝cos∠ABO·cos∠OBD，显然∠ABD＝60°，∠OBD＝30°，所以45°考点3求二面角【例3】

(2024·河南郑州三模)在四面体ABCP中，平面ABC⊥平面PAC，△PAC是直角三角形，PA＝PC＝4，AB＝BC＝3，则二面角A-­PC-­B的正切值为(

)A规律总结作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．考教衔接射影面积法求二面角1．链接教材：(人教B版选择性必修第一册P50尝试与发现)如图所示，设S为二面角α­-AB-­β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS′，垂足为S′，设O为棱AB上一点．如果二面角α-­AB-­β的大小为θ，则可以看出△S′AB与△SAB在AB边上的高之比为cosθ，因此这两个三角形的面积之比也为cosθ.2．定理说明：这个方法对于无棱二面角的求解很简便.

【典例】已知△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A­-BD-­C的余弦值为____．【解析】如图，过A作AE⊥CB交CB的延长线于E，连接DE.【对点训练3】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体PABC为鳖臑，且PA＝AB，AC＝BC，记二面角A­PB­C的平面角为θ，则sinθ＝(

)C解析：由题意设PA⊥AB，PA⊥AC，BC⊥AC，BC⊥PC，取PB的中点M，过点M作MN⊥PB交PC于点N，连接AM，AN，如图所示．课时作业49第分部二A1．

(5分)如图，已知在长方体ABCD-­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，那么直线A1C与平面AA1D1D所成角的正弦值为(

)2．(5分)正方体ABCD-­A1B1C1D1的棱长为a，则棱BB1到平面AA1C1C的距离为(

)C3．

(5分)如图，已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB的中点，则点A到平面EB1C的距离为(

)C4．(5分)已知在三棱锥S-­ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且△ABC为等边三角形，则二面角S­-AB­-C的正切值为(

)BD6．(5分)(2024·广东梅州模拟)已知二面角α­-l-­β为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，且AC＝3，CD＝1，DB＝2，则线段AB的长为(

)AABC8．(6分)(多选)在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项中正确的是(

)A．A1C1⊥BDB．B1C与BD所成的角为60°C．二面角A1­-BC­-D的平面角为30°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°AB解析：如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，可得A1C1∥AC，在正方形ABCD中，可得AC⊥BD，所以A1C1⊥BD，所以A正确；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可得B1D1∥BD，所以异面直线B1C与BD所成的角，即为B1C与B1D1所成的角，即∠D1B1C或其补角，因为△D1B1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°，所以B正确；在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，可得BC⊥平面ABB1A1，因为AB，A1B⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB，BC⊥A1B，所以∠A1BA为二面角A1­BC­D的平面角，在等腰直角三角形A1AB中，可得∠A1BA＝45°，即二面角A1­BC­D的平面角为45°，所以C错误；在正方体ABCD­-9．(5分)在正三棱柱ABC­-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为_____．10．(5分)在正三棱柱ABC­-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则直线AA1到平面BB1C1C的距离为_____．(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．12．(16分)已知四棱锥P­-ABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．(1)求证：PD⊥平面PAB；解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接PE，DE.∵AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形，BE＝CD.∵EB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE＝CB＝2，DE∥CB.∵BC⊥CD，∴AB⊥ED.∵PE∩ED＝E，PE，ED⊂平面PED，∴AB⊥平面PED.∵PD⊂平面PED，∴AB⊥PD.∵DE2＝PD2＋PE2，∴PD⊥PE.∵AB∩PE＝E，AB，PE⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.(2)求二面角P-­CB­-A的余弦值．解：如图，过点P作PO⊥ED于点O，过点O作OH⊥CB于点H，连接PH.由(1)知AB⊥平面PED，又AB⊂平面ABCD，∴平面PED⊥平面ABCD.∵平面PED⊥平面ABCD，平面PED∩平面ABCD＝ED，PO⊂平面PED，∴PO⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，∵PO∩OH＝O，PO，OH⊂平面POH，∴BC⊥平面POH，又PH⊂平面POH，∴BC⊥PH，则∠PHO为二面角P­-CB-­A的平面角．13．(5分)已知正四棱锥S­-ABCD侧面和底面的棱长都为4，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是(

)D14．(6分)(多选)(2024·河北保定二模)如图1，在等腰梯形A