2026版高三数学一轮复习第十章 10.5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式讲义+课时练

第十章计数原理、概率10.5事件的相互独立性与条件概率、全概率公式数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1相互独立事件的概率考点2条件概率0102考点3全概率公式及应用03课时作业第三部分高考创新方向知识交汇05考点4贝叶斯公式041．了解两个事件相互独立的含义，会利用独立性计算概率．2．理解条件概率与独立性的关系，会利用全概率公式计算概率．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．事件的相互独立性(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果__________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为____．必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立．教材回扣P(AB)＝P(A)P(B)2．条件概率与全概率公式(1)条件概率①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝___为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则_____________________．(2)条件概率的性质：设P(A)>0，则①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝___________________；P(AB)＝P(A)·P(B|A)P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB).教材拓展1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)对于任意两个事件A，B，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(

)(3)抛2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立．(

)(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).(

)基础检测×√√√CCA互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1相互独立事件的概率命题角度1相互独立事件的判断【例1】

（2024·山东泰安三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回．设事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个球中有红球”，事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则(

)A．A与B相互独立 B．A与C相互独立C．B与C相互独立 D．C与D相互独立D规律总结两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，那么事件A，B为相互独立事件．命题角度2相互独立事件概率的计算【例2】（多选）（2024·湖北武汉二模）甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是(

)ABC规律总结求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．C(2)（2024·广东佛山一模）若古典概型的样本空间Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，甲：事件B＝Ω，乙：事件A，B相互独立，则甲是乙的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A考点2条件概率C(2)（2024·天津卷）A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为__；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为__．规律总结求条件概率的常用方法CD考点3全概率公式及应用【例4】

（2025·安徽合肥一模）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为(

)A．0.054 B．0.0535C．0.0515 D．0.0525D【解析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工分别为事件A，B，C，该零件为次品为事件D，则P(A)＝0.25，P(B)＝0.3，P(C)＝0.45，P(D|A)＝0.06，P(D|B)＝P(D|C)＝0.05，任取一个零件是次品的概率P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故选D.规律总结利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式计算．B考点4贝叶斯公式【例5】某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为(

)D规律总结C高考创新方向知识交汇【例】

（2024·福建福州质量检测）甲、乙、丙三个地区分别有x%，y%，z%的人患了流感，且x，y，z构成以1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为5∶3∶2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为(

)A．1.21 B．1.34C．1.49 D．1.51D创新解读本题将条件概率与等差数列结合，在创设情境时，加强了数学知识的内在联系与综合，考查了学科知识的综合应用能力，强调思维过程和思维方式，体现了新高考命题改革的变化和趋势．课时作业72第分部三1．（5分）（2024·山东烟台三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回地每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为(

)D2．（5分）（2024·辽宁丹东二模）一个口袋中装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，从中不放回地抽取3个球，已知口袋中剩下的2个球颜色相同的条件下，抽取的3个球颜色不同的概率为(

)ACB5．（5分）（2024·山东滨州二模）已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是(

)A．若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立B．若A，B相互独立，则P(A|B)＝0.6C．若P(A|B)＝0.5，则P(AB)＝0.25D．若B⊆A，则P(B|A)＝0.8D6．（5分）（2024·湖南邵阳三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的次品率为8%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%，60%，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为(

)D7．（6分）（多选）（2024·江苏镇江三模）同时抛甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A，“乙正面向上”为事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是(

)A．A与B相互对立 B．A与B相互独立BDABD9．（5分）（2024·山东济宁三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为_______．(1)求甲考生通过强基招生面试的概率；(2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；(3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．12．（16分）某校学生会文艺部有男生4人，女生2人．(1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？(2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．①求男生甲被选中的概率；②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．13．（6分）（多选）（2024·山西吕梁二模）甲、乙两名同学分别从a，b，c，d四门不同的选修课中随机选修两门．设事件X＝“a，b两门选修课中，甲同学至少选修一门”，事件Y＝“乙同学一定不选修c”，事件Z＝“甲、乙两人所选选修课至多有一门相同”，事件