2026版高三数学一轮复习第七章 7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系讲义+课时练

第七章立体几何与空间向量7.2空间点、直线、平面之间的位置关系数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1基本事实的应用考点2空间位置关系的判断0102考点3异面直线所成的角03课时作业第三部分1．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实、三个推论和等角定理，并能应用它们解决问题．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．“四个”基本事实基本事实1：过______________的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线____．教材回扣不在一条直线上两个点一条平行2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条____直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条____直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系相交平行任何相交平行4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系a∩α＝Aa∥αa⊂α10无数α∥β0无数α∩β＝l5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.相等或互补关于唯一性的常用结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．教材拓展1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．(

)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(

)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(

)(4)两两相交的三条直线共面．(

)基础检测××××2．（人教A版必修第二册P147例1改编）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为(

)B3．（人教A版必修第二册P128T1改编）下列说法正确的是(

)A．四边形一定是平面图形B．不在同一条直线上的三点确定一个平面C．梯形不一定是平面图形D．平面α和平面β一定有交线解析：四边形不一定是平面图形，也可能是空间四边形，故A错误；不共线的三点确定一个平面，故B正确；梯形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C错误；若平面α和平面β平行，则其没有交线，故D错误．故选B.B4．（人教A版必修第二册P132T9改编）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，D，E分别是AB，AC的中点，则(

)A．B1D与A1E相交，且B1D＝A1EB．B1D与A1E相交，且B1D≠A1EC．B1D与A1E是异面直线，且B1D＝A1ED．B1D与A1E是异面直线，且B1D≠A1ED互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1基本事实的应用【例1】已知在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；【证明】如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；【证明】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，连接A1C，如图所示，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)DE，BF，CC1三线交于一点．【证明】因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．规律总结共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．(1)四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点共面．考点2空间位置关系的判断【例2】（多选）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(

)A．直线AM与CC1是相交直线B．直线BN与MB1是异面直线C．AM与BN平行D．直线A1M与BN共面BD【解析】M，C，C1三点在平面CDD1C1内，点M不在直线CC1上，点A不在平面CDD1C1内，A，M，C，C1四点不共面，根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，点M不在平面BCC1B1内，B，N，M，B1四点不共面，根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；如图，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则有AB∥EN，AB＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，则AM与BN不平行，故C错误；连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确．故选BD.规律总结判断空间直线的位置关系一般有两种方法一是构造几何体（如长方体、空间四边形等）模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“经过平面外一点A和平面内一点B的直线与平面内不经过点B的直线是异面直线．”【对点训练2】（多选）如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是(

)A．MA∥BD B．MA与BD异面C．MA与BD相交 D．MA⊥BDBD解析：因为BD⊂平面ABCD，MA∩平面ABCD＝A，A∉BD，所以可知MA与BD异面，即A错误，B正确，C错误；如图，连接AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥MC，又因为MC∩AC＝C，MC⊂平面AMC，AC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又因为MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD，即D正确．故选BD.考点3异面直线所成的角CC规律总结异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解【对点训练3】

(1)（2024·河北保定二模）如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

)CD课时作业46第分部三1．（5分）下列说法正确的是(

)A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线C．空间三点确定一个平面D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直B解析：若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；与两条异面直线都相交的两直线若交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确；由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误；在空间中，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误．故选B.2．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG相交于一点M，则M(

)A.一定在直线AC上B．一定在直线BD上C．可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析：由于ABCD是空间四边形，故AB，BC确定平面ABC，CD，DA确定平面ACD.∵E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，∴EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，∵EF∩GH＝M，∴M∈平面ABC，M∈平面ACD，∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴M∈AC.故选A.A3．（5分）若直线l不平行于平面β，且直线l⊄β，则下列说法正确的是(

)A．β内存在与l平行的直线B．β内所有直线都与l异面C．l与β有交点D．β内所有直线都与l相交解析：由直线l不平行于平面β，且直线l⊄β，得直线l与平面β相交，则l与β有交点，C正确；平面β内不存在直线与l平行，否则l∥β，与已知矛盾，因此β内所有直线都与l异面或相交，A，B，D错误．故选C.C4．（5分）（2024·山东日照一模）已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是(

)A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B．若l∥α，则l与m可能垂直C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直解析：若l与α不平行，则l与α的位置关系为相交或直线在平面内，又m⊂α，则l与m的位置关系为平行、相交或异面，故A错误；若l∥α，则l与m可能垂直，B如图所示，l∥l′，l′⊂α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；若l∩α＝A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，如图，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合题意，但l⊥m，故D错误．故选B.5．（5分）（2024·陕西西安模拟）如图，在正四棱锥P­-ABCD中，E为PC的中点，且BE⊥PC，则异面直线BE与AC所成角的余弦值为(

)D6．（5分）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，则与直线A1D1，EF，DC都相交的直线(

)A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有且仅有三条D．有无数条D解析：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与DC有且仅有1个交点E，当点M取不同的位置就确定不同的平面，从而与DC有不同的交点E，而直线ME与这3条异面直线都有交点，故在空间中与三条直线A1D1，EF，DC都相交的直线有无数条．故选D.7．（6分）（多选）如图，在长方体ABCD­-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(

)A．B，B1，O，M四点共面B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面D．A，M，O三点共线BCD解析：如图，连接AO，A1C1，AC，在矩形A1B1C1D1中，由O为对角线B1D1的中点，知A1C1∩B1D1＝O，则平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，由M∈平面AB1D1，M∈A1C，A1C⊂平面ACC1A1，则M∈AO.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊂平面ABB1A1，由AO∩平面ABB1A1＝A，所以BB1与MO异面，故A错误；由A可知M∈AO，故A，M，O，A1四点共面，A，O，C，M四点共面，A，M，O三点共线，故B，C，D正确．故选BCD.8．（6分）（多选）在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(

)BD解析：对于A，如图，连接GM，∵G，M为所在棱的中点，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直线GH，MN共面，故A错误；对于B，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，故直线GH，MN是异面直线，故B正确；对于C，如图，连接GM，∵G，M为所在棱的中点，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直线GH，MN共面，故C错误；对于D，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，故直线GH，MN是异面直线，故D正确．故选BD.9．（5分）已知异面直线l1，l2所成角的大小为45°，直线OA∥l1且OB∥l2，则∠AOB＝________________．解析：由题意知OA∥l1，OB∥l2，且异面直线l1，l2所成角为45°，则∠AOB为异面直线l1，l2所成的角或其补角，所以∠AOB＝45°或135°.45°或135°(1)四边形EFGH为梯形；证明：如图，连接EF，HG，因为空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，(2)直线EH，BD，FG相交于一点．证明：由(1)知四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，所以EH，FG相交于一点．设交点为P，如图，因为EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点．12．（17分）如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，AB的中点．(1)求证：E，F，C，D1四点共面；解：证明：如图，连接EF，CD1，A1B.在△A1AB中，E，F分别为棱AA1，AB的中点，则EF∥A1B，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，A1D1∥A