2026版高三数学一轮复习第十章 10.7　二项分布、超几何分布与正态分布讲义+课时练

第十章计数原理、概率10.7二项分布、超几何分布与正态分布数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1二项分布考点2超几何分布0102考点3正态分布03课时作业第三部分1．了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．3．了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．二项分布(1)伯努利试验只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为______________．教材回扣两个n重伯努利试验X～B(n，p)(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__，D(X)＝____________．②若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝______________．pp(1－p)npnp(1－p)3．正态分布(1)定义X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝__．μσ21．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．教材拓展1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了20次，是n重伯努利试验．(

)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(

)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(

)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(

)基础检测√√×2．（人教B版选择性必修第二册P83T4改编）已知离散型随机变量X～B(10，0.2)，则E(X)＝(

)A．8 B．2C．1.6 D．0.8解析：因为离散型随机变量X～B(10，0.2)，所以E(X)＝10×0.2＝2.故选B.B3．（人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编）若X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X>0)＝(

)A．0.10 B．0.40C．0.80 D．0.90解析：根据题意X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X<0)＝P(X>2)＝0.10，故P(X>0)＝1－P(X<0)＝0.90.故选D.D4．（人教A版选择性必修第三册P78例5改编）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件数，则P(X＝1)＝(

)D互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1二项分布【例1】

（2024·河北承德二模）某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：成绩区间[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数201802002802208020(1)求上表数据的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；(2)根据样本估计总体的方法，用频率估计概率，从该市随机抽取3人参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望．规律总结二项分布问题的解题关键(1)定性①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．【对点训练1】

（2024·陕西西安二模）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]这6组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；解：因为(0.004＋0.012)×20＝0.32<0.5，0.32＋0.016×20＝0.64>0.5，所以该校学生比赛成绩的中位数在[100，120）内．设该校学生比赛成绩的中位数为m个，则(m－100)×0.016＋0.32＝0.5，解得m＝111.25，即估计该校学生比赛成绩的中位数为111.25个．(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列与期望．解：由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002＋0.008)×20＝0.2，则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2.由题意可知X～B(3，0.2)，考点2超几何分布【例2】某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和数学期望．规律总结1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．【对点训练2】

（2024·陕西西安三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段/岁[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]被调查的人数101520m255赞成的人数612n20122(2)若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行比例分配的分层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．考点3正态分布A．σ1<σ2B．σ1＝σ2C．对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)D．若P(μ－k1σ1≤X≤μ＋k1σ1)>P(μ－k2σ2≤Y≤μ＋k2σ2)，k1，k2∈N*，则k1<k2AC【解析】因为σ越小图象越瘦高，所以σ1<σ2，故A正确，B错误；由题图可知，当m>μ时，P(X>m)<P(Y>m)，所以P(X≤m)＝1－P(X>m)>P(Y≤m)＝1－P(Y>m)，故C正确；当k1＝2时，P(μ－2σ1≤X≤μ＋2σ1)≈0.9545，当k2＝1时，P(μ－σ2≤Y≤μ＋σ2)≈0.6827，故D错误．故选AC.BC【解析】依题意，X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12).对于X～N(1.8，0.12)，由于2＝1.8＋2×0.1＝μ＋2σ，则P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)<P(X>μ＋σ)≈1－0.8413＝0.1587，A错误；P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，B正确；对于Y～N(2.1，0.12)，由于2＝2.1－0.1＝μ－σ，则P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正确；P(Y>2)＝P(Y>μ－σ)＝P(Y<μ＋σ)≈0.8413>0.8，D错误．故选BC.规律总结解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为直线x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间．由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0.ACDA．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C．甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近D．若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587(2)（多选）（2025·山东聊城一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则(

)A.μ＝80，σ＝400BCD解析：由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A错误；由μ＝80，σ2＝400，得X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)课时作业74第分部三1．（5分）（2024·湖南益阳三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，则实数a的值为(

)A．1 B．3C．4 D．9解析：因为X～N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以a＋(1＋2a)＝2×5，解得a＝3.故选B.BCBD5．（5分）（2024·湖北荆州三模）上周联考的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在[70，110]的人数为Y，则随机变量Y的方差为(

)A．2 B．2.1C．2.4 D．3解析：由正态分布知，学生得分在[70，110]的概率为1－0.2×2＝0.6，抽取的10个学生中得分在[70，110]的人数Y服从二项分布B(10，0.6)，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.C6．（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差（分别用X甲、X乙、X丙表示）分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是(

)A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B．P（－1≤X乙≤0）<P（0≤X丙≤2）C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好B解析：根据正态密度曲线的性质可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态密度曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，故A正确；乙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[－1，0]之间与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[0，2]之间与x轴围成的面积相等，故B不正确；由正态密度曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，故C正确；由三种品牌手表日走时的误差的均值都是0，σ甲<σ乙<σ丙，可得甲种品牌的手表走时准且最稳定，质量最好，故D正确．故选B.BCD8．（6分）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是(

)BCD9．（5分）（2024·广东梅州二模）某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150，σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为______．45010．（5分）（2024·安徽六安模拟）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是_____．(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望．12．（15分）（2024·湖南常德一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．(1)现从该样本中随机抽