2026版高三数学一轮复习第七章 7.3　空间直线、平面的平行讲义+课时练

简洁高效第七章立体几何与空间向量7.3空间直线、平面的平行数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1直线与平面平行的判定与性质考点2平面与平面平行的判定与性质0102课时作业第三部分1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．直线与平面平行教材回扣项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与交线平行⇒a∥b此平面内a⊄αb⊂αa∥b相交a∥αa⊂βα∩β＝b2.平面与平面平行项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行相交直线a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α项目文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行相交交线α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.教材拓展1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(

)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)(3)如果两个平面平行，且一条直线平行于其中一个平面，则该直线平行于另一平面．(

)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行．(

)基础检测××××2．（人教A版必修第二册P139T3改编）α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(

)A．若m∥n，n∥α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β解析：若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．故选C.C3．（人教A版必修第二册P134例1改编）如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AC与平面α交于点M，AB＝4，CD＝6，则MN＝(

)A．4.5 B．5C．5.4 D．5.5B4．（人教A版必修第二册P142T2改编）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(

)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．以上答案都不对解析：若α内的无数条直线均平行，此时无法推出α∥β，A错误；由面面平行的判定定理知B正确；如图，α，β平行于同一条直线m，但α，β不平行，C错误；D错误．故选B.B互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1直线与平面平行的判定与性质命题角度1直线与平面平行的判定【例1】如图，在四棱锥P­-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD.【证明】证法一如图，取PD的中点F，连接EF，FA.由题意知EF为△PDC的中位线，又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.证法二如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.证法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.命题角度2直线与平面平行的性质【例2】如图，在三棱柱ABC-­A1B1C1中，D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证：BB1∥DE.【证明】在三棱柱ABC­-A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1⊄平面AA1C1C，CC1⊂平面AA1C1C，∴BB1∥平面AA1C1C，又∵BB1⊂平面B1BD，平面B1BD∩平面AA1C1C＝DE，∴BB1∥DE.规律总结1．判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义（无公共点）.(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).2．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．【对点训练1】如图，在四棱锥P-­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，F，G分别是PB，CD的中点．(1)求证：GF∥平面PAD；(2)设E为AB的中点，过E，F，G三点的截面与棱PC交于点Q，指出点Q的位置并证明．解：如图，Q为PC的中点．证明如下：因为CG∥BE且CG＝BE，所以四边形BCGE为平行四边形，故EG∥BC，因为EG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EG∥平面PBC，又EG⊂平面EFQG，平面EFQG∩平面PBC＝FQ，所以EG∥FQ，又EG∥BC，所以FQ∥BC，因为F为PB的中点，所以Q为PC的中点．考点2平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF.(1)求证：平面ADE∥平面BCF；【证明】由四边形ABCD是平行四边形，得BC∥AD，而AD⊂平面AED，BC⊄平面AED，则BC∥平面AED，由DE∥CF，CF⊄平面AED，DE⊂平面AED，得CF∥平面AED，又BC∩CF＝C，BC，CF⊂平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF.(2)若G是棱BC的中点，求证：AE∥FG.【证明】延长EF，AG，与DC的延长线分别交于点O1，O2，由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2＝CD，因此点O1，O2重合，记为O，如图所示，显然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩平面BCF＝FG，由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.规律总结1．证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).2．当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，这两条直线必须是两平行平面与第三个平面的交线．【对点训练2】如图，在棱长为a的正方体ABCD­-A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点．(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．解：如图，取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，又RQ⊂平面PCQ，BE⊄平面PCQ，则BE∥平面PCQ.又BM∥平面PCQ，BM，BE⊂平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，课时作业47第分部三1．（5分）（2024·浙江杭州一模）已知两条不同的直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为b∥α，所以存在c⊂α使得b∥c，若a∥b，则a∥c，又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立．故选A.A2．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥βD．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC解析：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误；若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β可能相交，故B错误；因为m⊂α，m∥β，所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l⊄α，且l∥m，进而可得l∥α，因为m，n是异面直线，n⊂β，所以l与n相交，又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能相交，故D错误．故选C.3．（5分）正四棱柱ABCD­-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为(

)C4．（5分）过四棱锥P­-ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(

)A．4条 B．5条

C．6条 D．7条C解析：如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为所在棱的中点，则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，所以NE∥平面PBD，同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条．故选C.5．（5分）如图所示，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，

F，M，N分别为棱AB，BC，DD1，D1C1的中点，下列判断正确的是(

)A．直线AD∥平面MNEB．直线FC1∥平面MNEC．平面A1BC∥平面MNED．平面AB1D1∥平面MNED解析：过点M，N，E的截面如图所示（H，I，J均为所在棱的中点），所以直线AD与其相交于点H，故A错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1上必定相交，故B错误；直线A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C错误；易得直线AB1∥直线EI，直线AD1∥直线MH，又因为AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正确．故选D.6．（5分）（2024·山东淄博二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．若α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l∥γ，则下列说法正确的是(

)A．a与l相交 B．b与l相交C．a∥b D．a与β相交解析：l∥γ，l⊂平面α，α∩γ＝a，则l∥a，同理可得l∥b，故A，B错误；由l∥a，l∥b可得a∥b，故C正确；由l∥a，a⊄平面β，l⊂平面β，得a∥β，故D错误．故选C.C7．（6分）（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(

)AC解析：对于A，∵AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，∵AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．故选AC.8．（6分）（多选）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD-­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个结论，其中正确的是(

)A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值ACD9．（5分）如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件____________________________时，A1P∥平面BCD.（填一个满足题意的条件即可）P是CC1的中点（答案不唯一）解析：如图，取CC1的中点P，连接A1P，∵在直三棱柱ABC-­A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD.（答案不唯一）1511．（16分）如图，在三棱柱ABC-­A1B1C1中，A1C与AC1交于点O，D为棱BC上一点，D1为B1C1的中点，且A1B∥平面ADC1.求证：(1)A1B∥OD；证明：由题意，因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.(2)平面A1BD1∥平面ADC1.又因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以BD＝D1C1，BD