第5章 一元一次方程知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）（原卷版）

第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）0101思维导图0202知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若，则、、、．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度×时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．0303题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①，②x=0，③，④中，一元一次方程共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（

）A． B． C． D．题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，则．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为．巩固训练1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：0123048则关于的方程的解是．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程的解为，则方程的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程．3．（2023·吉林长春·模拟预测）算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则巩固训练1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（

）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，则3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（

）A．变形得B．变形得C．变形得D．变形得4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么题型六解一元一次方程例题1：解方程：(1)；(2).例题2：解方程：(1)；(2)．例题3：解下列方程：(1)；(2)．巩固训练1．解方程：(1)；(2)．2．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．3．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．题型七解一元一次方程中的错解复原问题例题：（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）关于方程，嘉嘉的解法如下．解：去分母，得，…①去括号，得，…②合并同类项，得，，…③两边同时除以，得3=0．…④所以方程无解．(1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________；(2)请正确求解该方程．巩固训练1．（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）下面是小董同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答问题．解：，……第一步，……第二步，……第三步．……第四步(1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；(2)求该一元一次方程的解；(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可）．2．（2023上·山东威海·六年级统考期末）计算：(1)下面是解方程的主要过程解：原方程化为______，去分母，得②，去括号，得______，移项，得______，合并同类项，得（合并同类项法则），把未知数x的系数化为1，得______．请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上；(2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据）题型八用一元一次方程解决实际问题例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同．(1)求具体应先安排多少人工作？(2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由．巩固训练1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？(3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？2．（2024上·浙江嘉兴·七年级校联考期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：甲乙进价（元/件）4060售价（元/件）5080(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？3．（2023上·湖南邵阳·七年级校考阶段练习）为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量