九年级上册数学期末必考《圆》压轴题特训

九年级上册数学期末必考《圆》压轴题特训1、如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．解：∵∠ACB＝∠ABC，∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，又∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠AEB．2、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．解：PC与⊙O相切，理由如下：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠PCB＝∠PAC，∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠CAB+∠CBA＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线PC是⊙O的切线；（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB2＝AC2+BC2，∴AB=A∴⊙O的半径为5；连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∠ACD＝∠ABD，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，在Rt△ABD中，AC＝8，BC＝6，AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴2AD2＝102，∴AD2＝50，∴AD=50=3、如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB=（1）证明：FA＝FG；证明：∵BC是⊙O的直径∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°∵AB∴∠C＝∠ABE∴∠AGB＝∠CAD∴FA＝FG（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．解：如图，连接AO、EO∵BD＝DO＝2，AD⊥BC∴AB＝AO，∵AO＝BO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形∴∠AOB＝60°∵AB=∴∠AOE＝60°∴∠EOC＝60°∴EC的弧长＝2π×（2×2）×604、根据垂直定理解答下列问题：（1）如图①，在弓形ABC中，弓形高CD＝2米，弦AB＝12米，求弓形所在的圆的半径．解：设弓形所在的圆的半径为x，则OD＝x﹣2，∵AB＝12，CD⊥AB，∴AD＝6，∴62+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝10，∴弓形所在的圆的半径为10米（2）如图②中，作直径AC、BD，使得AC⊥BD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD的形状是正方形；解：∵AC、BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，∴四边形ABCD为正方形（3）在途②中，作直径A′C′⊥AB于点E，交CD于点F，作直径B′D′⊥BC于点G，交AD于H，求证：八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形；解：∵直径A′C′⊥AB，直径B′D′⊥BC∴A′C′⊥CD，B′D′⊥AD∴AE＝BE，CF＝DF，AH＝DH，BG＝CG∴AA′＝BA′，CC′＝DC′，AD′＝DD′，BB′＝CB′OD=OD∠D'OD=∠C'OD=45°∴△ODD′≌△ODC′（SAS），∴DD′＝DC′，同理证得：AD′＝AA′，A′B＝B′B，C′C＝B′C，∴AA′＝BA′＝CC′＝DC′＝AD′＝DD′＝BB′＝CB′，∴八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形（4）在图②中，直径A′C′将弓形AA′B分成面积相等的两部分，请你将图③中弓形的面积分成相等的四部分，只说作法，不说理由．解：作垂直于弦的直径交弓于点A，连接BA，CA，再作OM⊥BA交弓于M，ON⊥CA交弓于N，则M，A，N把弓分成面积相等的四部分5、如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP＝RQ；证法一：连接OQ；∵RQ是⊙O的切线，∴∠OQB+∠BQR＝90°．∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B＝90°．又∵OB＝OQ，∴∠OQB＝∠B．∴∠PQR＝∠BPO＝∠RPQ．∴RP＝RQ．证法二：作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，∴∠B+∠C＝90°．∵OA⊥OB，∴∠B+∠BPO＝90°．∴∠C＝∠BPO．又∠BPO＝∠RPQ，∴∠C＝∠RPQ．又∵RQ为⊙O的切线，∴∠PQR＝∠C．∴∠PQR＝∠RPQ．∴RP＝RQ．（Ⅱ）若OP＝PA＝1，试求PQ的长．解法一：作直径AC，∵OP＝PA＝1，∴PC＝3．由勾股定理，得BP=由相交弦定理，得PQ•PB＝PA•PC．即PQ×5∴PQ=3解法二：作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，设RQ＝RP＝x；由切割线定理，得：x2＝（x﹣1），（x+3）解得：x=3又由△BPO∽△RPF得：PFOP∴PF=3由等腰三角形性质得：PQ＝2PF=36、阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．∵M是ABC的中点，∴MA＝MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2中，∵AM=∴AM＝CM，∵MH⊥AH，MD⊥BC，∴∠H＝∠CDM＝90°，∵∠A＝∠C，∴△AHM≌△CDM（AAS），∴MH＝DM，AH＝CD，∵∠H＝∠BDM＝90°，BM＝BM，∴Rt△BMH≌△BMD（HL），∴BH＝BD，∴CD＝AH＝AB+BH＝AB+BD；（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD＝15°，CE⊥BD于点E，CE＝2，连接AD，则△DAB的周长是？解：如图3中，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB