3.2.1函数的单调性;3.2.2函数的奇偶性 习题课（2课时）解析版

第第页3.2.1函数的单调性;3.2.2函数的奇偶性习题课（2课时）考点一：判断单调性（判断对勾函数单调性、双撇函数单调性、抽象函数单调性）例1利用定义证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上是增函数．证明∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－x2－eq\f(1,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－1,x1x2).∵x2>x1>1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上是增函数．练习1-1利用定义证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是减函数．证明∀x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋eq\f(1,x1))－(x2＋eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)．∵0＜x1＜1，0＜x2＜1，∴0＜x1x2＜1.∴x1x2－1＜0.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是减函数．练习1-2利用单调性的定义，证明函数y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．证明∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1＋2,x1＋1)－eq\f(x2＋2,x2＋1)＝eq\f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）).因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以eq\f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）)＞0，所以f(x1)>f(x2).所以y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．练习1-3讨论函数在的单调性，并求值域.例2．定义在上的函数，满足，且当时，.(1)求的值；(2)判断函数在上单调性并证明；(3)解不等式：.【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）将代入，即可求出的值；（2）判断出函数在上为增函数，任取、且，可得出，作差，结合题中等式判断差值符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）将所求不等式化为，利用函数的定义域与单调性可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集.【详解】（1）将代入，可得，解得.（2）在为增函数，证明如下：任取、且，则，则，，即，则在为增函数.（3）由可得，因为在上是增函数，所以，解得，故原不等式的解集为.练习2．已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且.(1)判断的单调性并证明，(2)求不等式的解集.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）由时，，，可考虑设，构造，变形得，进而得证；（2）由可得，则，即，结合（1）所证单调性去“”即可求解.【详解】（1）在上单调递增.证明如下：设，则.因为当时，，所以.因为，所以，则，即，故在上单调递增；（2）因为，所以，即.因为，所以，则等价于，即，即，由（1）可知在上单调递增，则，解得，即不等式的解集是.考点二：求单调区间例3．函数的单调递增区间是.【答案】【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间.【详解】由作图：

可得函数的单调递增区间是，故答案为：练习3．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.【详解】由，所以函数的定义域为，因为二次函数对称轴为，所以函数单调递减区间为，故选：B考点三：已知单调性求参数例4-1．若函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，由题可得在上单调递减，在上单调递减，，据此可得答案.【详解】令，函数是上的减函数，则在上单调递减，在上单调递减，.则.故选：A例4-2．已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案.【详解】由题意可得函数在上单调递增，则，解得或.由函数在上单调递减，在上单调递增，则.综上所述，的取值范围为.故选：B.例4-3．已知函数，若函数满足：对于任意的实数恒有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可.【详解】由题意得，对于任意的实数恒有成立，不妨设，则，，所以在R上单调递减，所以，解得，故选：A.练习4-1．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件得到是增函数，分析出要使函数在上单调递增，须满足，解不等式组即可得解.【详解】由函数对且，都有，可知函数在定义域上是增函数.已知函数的对称轴为，在上单调递增，且；要使反比例函数在时单调递增，须满足.所以，要使函数在上单调递增，须满足，即，解得，所以实数的取值范围是．故选：D练习4-2．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得函数在上单调递减，进而得，解出即可求解.【详解】由有函数在上单调递减，所以，所以，故选：C.考点四：判断函数奇偶性（有解析式函数、抽象函数）例5-1．下列函数为奇函数且在上单调递减的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用熟悉函数的奇偶性和单调性来作出判断，对于C则举反例分析.【详解】由奇函数，结合绝对值的意义，可排除B，由在上单调递减，结合二次函数性质可排除A，结合一次函数的性质可确定D，对于C，当时，，当时，，由于，所以不在上单调递减，故C错误；故选：D例5-2．已知函数的定义域为．(1)判断函数的奇偶性并说明理由；(2)判断并证明函数在上的单调性；(3)根据（1）（2）的结论，解不等式．【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可．【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，证明如下：，都有，因为，所以函数是定义在上的奇函数．（2）函数在上为增函数，证明如下：设，，由，得，则，即，故函数在上为增函数．（3）因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可化为，即，因为在上为增函数，则，解得：，故不等式的解集为．例5-3．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性排除CD选项，再代入特殊值即可排除A，最后分段讨论其单调性即可判断B正确.【详解】由图知为奇函数，对C，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除C；对D，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除D；由图知，而对A解析式，代入知，矛盾，故A错误.对B，，定义域为，关于原点对称，，则其为奇函数，则只需研究其时的单调性，当时，，因为在上单调递增，且恒成立，则在上单调递减，当时，，因为在上单调递增，且恒成立，则在上单调递减，结合其为奇函数和其在上函数图象的连续性知：在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，与题目所给图象符合，则B正确.故选：B.练习5-1．已知函数，则是（

）A．偶函数 B．奇函数C．非奇非偶函数 D．无法判断【答案】A【分析】首先根据表达式可得，定义域为，定义域关于原点对称，这是奇偶性的前提条件，再利用奇偶性的定义和表达式可得：，最终判断为偶函数.【详解】由题意得的定义域为，定义域关于原点对称，所以可能具有奇偶性；由表达式得：时，；时，；当时，，此时；当时，，此时；当时，，，此时；综上所述：在时，均有，所以为偶函数.故选：A.练习5-2．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合函数定义域、奇偶性与函数正负，借助排除法即可得.【详解】的定义域为，故B错误；又，则为奇函数，故A错误；当时，，所以，故C错误.故选：D.例6-1．已知函数满足，，且当时，，则（

）A． B．是奇函数C． D．在R上单调递减【答案】ABD【分析】利用赋值法判断A；利用奇函数的定义判断B；根据奇函数的性质判断C；根据单调性定义判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，，即，则是奇函数，故B正确；对于C，，所以，故C错误.对于D，，则，所以，，所以单调递减，故D正确.故选：ABD.例6-2．已知函数的定义域为，，则（）A．B．为偶函数C．若，则D．若时，是连续单调递减函数，则当时，不等式的解集是【答案】ACD【分析】利用赋值法，分别代数检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的单调性，化简整理，即可判断D的正误.【详解】选项A：令，可得，解得，故A正确；选项B：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，可得，解得，再令，可得，所以为奇函数，故B错误；选项C：令，可得，解得，故C正确；选项D：因为，所以，所以，则不等式即为，即求的解集，因为时，单调递减，所以，解得，即解集是，故D正确；故选：ACD练习6-1．已知函数对任意实数恒有，当时，，且.(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间上的最大值；(3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明；（2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解；（3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解.【详解】（1）取，则，所以，取，则，所以对任意恒成立，所以为奇函数．（2）任取且，则，所以，所以，又为奇函数，所以，所以．故为上的减函数．所以在上的最大值为，因为，所以，故在上的最大值为6．（3）因为在上是减函数，所以，因为，对所有，恒成立．所以，对所有恒成立，即，对所有恒成立，令，则，即，解得：或．所以实数的取值范围为．练习6-2．（多选题）已知满足，且时，，．则（

）A．是奇函数 B．是上的增函数C． D．的解集为【答案】ABC【分析】根据赋值法，从而判断抽象函数的奇偶性，单调性，从而判断各选项.【详解】对于A，令可得，所以，令，得，，即，所以是奇函数，故A正确；对于B，设，则，，又，即，，所以是定义在上的增函数，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，，即，又是定义在上的增函数，，解得，不等式的解集为，故D错误；故选：ABC．练习6-3．已知是定义在上的函数，且满足，又当时，．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)求证：在区间上单调递减；(3)若，解不等式．【答案】(1)为奇函数，理由见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）先求得，再令，得到