4.5.3++函数模型的应用（教学设计）数学人教A版2019必修第一册 - 副本

4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用教学设计教学内容本节课是人教A版2019必修第一册第四章“函数的应用（二）”中4.5.3节“函数模型的应用”。内容包括常见函数模型（一次函数、二次函数、指数型、对数型、幂函数型）的识别与应用，建立函数模型解决实际问题的基本步骤，以及通过实例（人口增长、投资方案、奖励机制等）体会不同模型的适用场景。本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》的第五章的4.5.3函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。内容解析函数模型的应用是函数知识的综合实践，核心是“用数学解决实际问题”，体现数学建模思想：常见模型及其适用场景：一次函数模型（f(指数型函数模型（f(对数型函数模型（f(二次函数模型（f(建模步骤：审题→抽象变量→选择模型→确定参数→求解验证→解释实际意义，其中“模型选择”是关键，需结合数据特征（散点图、增长趋势）判断。模型验证：通过实际数据检验模型的合理性，若偏差较大需调整模型（如人口模型因政策调整需修正）。教学目标(1)能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。(2)能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。(3)能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。(4)体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。目标解析(1)学生能举例说明：人口增长用指数模型，学习时间与掌握程度用对数模型，利润最大化用二次函数模型。(2)学生能解决“投资方案选择”问题：通过建立三种方案的函数模型（常数函数、一次函数、指数函数），计算累计回报并选择最优方案。(3)学生能根据碳14衰减数据，建立指数模型y=达成上述目标的标志是：学生已掌握基本函数的图象和性质，但对“如何将实际问题转化为函数模型”缺乏经验，易忽略变量的实际意义（如定义域限制）。学生在模型选择时易盲目套用公式，缺乏对数据趋势的分析（如误将指数增长用一次函数建模），需通过散点图辅助判断。对模型结果的验证意识薄弱，需通过实例（如马尔萨斯人口模型与实际人口的偏差）强调验证的必要性。高一（下）学生已学完基本初等函数，具备一定抽象与计算能力；生活经验中对“复利、人口增长、冷却”等现象有直观感受，但缺少用函数语言形式化描述的经验；已具备：学生已掌握基本初等函数的性质，能绘制函数图像。易困惑：混淆“指数增长”与“线性增长”的适用场景；忽略模型的前提条件（如“无政策干预”）。突破策略：用“纸对折超月球”的直观例子强化指数爆炸认知，用“计划生育”案例讨论模型局限性。基于以上分析，确定本节课的教学重点:1.识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型;2.掌握建立函数模型解决实际问题的步骤（审题→建模→求解→验证）。教学难点：1.从实际问题中抽象出变量关系，确定函数模型的类型;2.模型参数的确定及结果的实际意义解释（如增长率、衰减率的合理性）。导入1：奶茶店的“甜蜜陷阱”【情境】某奶茶店推出“第二杯半价”活动，小明发现：买1杯花15元，买2杯花22.5元，买3杯花30元……他惊呼：“买得越多越划算！”【追问】“划算”的规律是线性的吗？若每天销量翻倍，5天后日收入会爆炸式增长吗？【设计意图】用消费场景引出“线性vs指数”的认知冲突，暗示模型选择的重要性。【教学建议】让学生计算前5天的收入，对比线性模型（y=15x）与指数模型（y=15×2ⁿ⁻¹）的差异。导入2：考古学家的“穿越密码”【情境】展示良渚古城碳14检测报告：“草茎遗存碳14剩余量55.2%”。【追问】如何从55.2%推断出“公元前2902年”？这里藏着什么数学秘密？【设计意图】以考古悬念激发兴趣，自然过渡到指数衰减模型。【教学建议】让学生猜测“半衰期”的含义，再揭示数学模型（y=0.5^(t/5730)）。问题串引入：展示三组数据：①某工厂月产量：100,200,300,400...（均匀增长）；②某病毒感染人数：1,2,4,8,16...（快速增长）；③某学生单词记忆量：5,8,10,11,12...（增长趋缓）。提问：“分别适合用什么函数模型刻画？”（一次函数、指数函数、对数函数）。引出主题：“如何选择和应用函数模型解决实际问题？”导入本节课。设计意图：通过直观数据对比，让学生初步感知不同模型的增长特征，为模型选择铺垫。阅读课本148-150页，思考并完成以下问题1.常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？2.解决实际问题的基本过程是什么？我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？问题1应用函数模型解决问题的基本过程是什么？提示(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．(4)还原——将数学结论还原为实际问题．常见的几种函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率．尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料：表4.5-4年份1950195119521953195419551956195719581959人口数/万55196563005748258796602666145662828645636599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率．解：（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为．由，可得1951年的人口增长率．同理可得，，，，，，，，．于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为．令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为．根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数的图象（图4.5-6）．由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合．（2）将代入，由计算工具得．所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿．思考事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数图象的变化可直接判断.【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且.故选：B.下面来解决章引言中的问题．例42010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型．解：设样本中碳14的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为．根据问题的实际意义，可选择如下模型：（，且；，）．由碳14的半衰期为5730年，得．于是，所以．由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，，即．解得．由计算工具得．因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟【答案】B【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.【详解】由题知，，，，，，，.故选：B.在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．问题中涉及哪些数量关系？投资天数、回报金额如何用函数描述这些数量关系？分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表4.5-5）．表4.5-5方案一方案二方案三增加量/元增加量/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4……3040030010214748364.8107374182.4再画出三个函数的图象(图4．5-7）．函数图像是分析问题的好帮手．为了便于观察，用虚线连接离散的点．由表4.5-5和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下（表4.5-6）．表4.5-6方案天数1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？【变式3】某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（）A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元【答案】ABC【分析】根据题意，结合给定的函数关系的图象，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，所以A正确；对于B中，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，所以B正确；对于C中，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，所以C正确；对于D中，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），所以D错误.故选：ABC.例6某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助信息技术画出函数，，，的图象（图4.5-8）．观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求；对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求；对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有，即成立．令，，利用信息技术画出它的图象（图4.5-9）．由图象可知函数在区间上单调递减，因此，即．所以，当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%．综上所述，模型确实能符合公司要求．【变式4】有一组实验数据如表所示：则下列所给函数模型较不适合的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】坐标系中画出试验数据的对应点，根据点的变化趋势及各选项函数的变化趋势判断不合适的模型即可.【详解】由实验数据可得如下图，

∴根据点的变化趋势：随着x的增大y的增速变快，结合各选项的函数性质知：A、B、D不合适，只有C合适.故选：ABD.归纳用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．1.（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（

）(参考数据：)A．2026年； B．2027年； C．2028年； D．2029年．【答案】B【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式.【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为，则，即，所以，所以.所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年.故选：B2.（24-25高一上·江苏南京·期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可；【详解】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，则，解得或（舍去），所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，故选：D.3.（23-24高二下·江西·阶段练习）银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为（

）A．48027元 B．48351元 C．48574元 D．48744元【答案】B【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】计算出利息和，得到今年12月底的本利和.【详解】所有利息的和为元，故到12月底的本利和为元．故选：B4.（25-26高一上·全国·课后作业）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．【详解】由题意可知，，则当时，，当时，，即，解得，故，当时，的最大值为；当时，，此时的最大值为．因为，所以，．故选：A.5.（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（

）A．12年 B．13年 C．14年 D．15年【答案】C【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题【分析】由题意可得，即可利用对数的运算性质即可求解.【详解】由题意可知，代入公式可得，所以所以，所以至少需要14年，故选：C6.（24-25高一下·云南昭通·期末）抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为（

）（参考值：）A．0.54 B．0.34 C．0.24 D．0.14【答案】D【知识点】利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据公式代值计算即可.【详解】由题可知：，将，代入上式，所以.故选：D7.（2025高三·全国·专题练习）目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（

）A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】分别设里氏8.0级地震和里氏6.0级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案.【详解】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为，里氏6.0级地震所释放出来的能量为，则，；，．故选：C8.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型，为增分转化系数，为“百日冲刺”后的一模总分，.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（

）（参考数据：，结果保留整数）A．658 B．668 C．678 D．688【答案】B【知识点】利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据所给函数模型，代入得的值，即可代入求解.【详解】因为，所以，解得，，所以估计此学生在高考中可能取得的总分为分.故选：B.9.（25-26高三上·北京·开学考试）在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【知识点】利用给定函数模型解决实际问题【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解.【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得：，解得：，由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到所以，则，解得，故选：C10.（2025高三·全国·专题练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（

）A．442 B．452 C．462 D．472【答案】C【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】将代入，求出，再将代入求解即可.【详解】由题意得，，，该学生在高考中可能取得的总分约为.故选：C.1.（24-25高三上·贵州贵阳·期末）随着环保法的深入实施，生态环境持续改善，据统计，第年某公园鸟类数量（只）近似满足，观测发现第2年有鸟类共500只，估计第5年有鸟类（

）A．765只 B．818只 C．915只 D．965只【答案】B【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据已知条件可知当代入解析式求出的值，然后把代入解析式通过对数运算的性质化简即可.【详解】由题意当，得：，解得：，所以时，，故选B．2.（24-25高一上·云南曲靖·期末）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据题意，解得，进而得出结果．【详解】根据题意，则，故，当要使沙漏上方细沙是开始时的，则，解得.故选：B.3.（24-25高一上·江西·期末）大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍【答案】D【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】利用速度差为结合对数的运算性质可得结果.【详解】设鲑鱼的游速为时的耗氧量的单位数为，游速为时的耗氧量的单位数为.由，得，整理得.故选：D.4.（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】由题意可知当时，，代入函数中可求出的值，当时，，代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，然后将代入函数求出即可.【详解】由题意可知当时，，所以，得，所以，当时，，则，所以，得，所以，，得，所以，当时，，得，所以，，得，所以所求时间的最小整数值为8.故选：C1．知识清单：(1)应用已知函数模型解决实际问题．(2)指数型函数模型．(3)对数型函数模型．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论．【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。课本P154的1−−2题，P156习题4.5的11、12、14题.【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。4.5.3函数模型的应用4.5.3函数模型的应用1.常见模型例1例2例32.实际问题解题步骤【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。练习（第150页）1．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？1．解析：（1）根据马尔萨斯人口增长模型，对于1650年，亿，，．要使世界人口是1650年的2倍，则亿，，解得年，∴1881年的世界人口是1650年的2倍．同理，对于1970年，亿，，．令亿，则，解得年，约2003年的世界人口是1970年的2倍．（2）根据实际情况,对1650年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而对于1970年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度．可见近几十年，各国为控制人口增长而采取了一定的措施，已经有了一定成效，或者此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况．2．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野免总只数的倍增期为21个月，那么1万只野免增长到1亿只野兔大约需要多少年？2．解析：设野兔基数为，增长率为，则，，，设1万只野兔增长到1亿只野兔需要个月，依题意，有，解得，（年）．所以1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年．3．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？3．解析：能．设样本中碳14的初始量为，衰减量为，经过年后，残余量为，根据问题的实际意义，可选择如下模型：，且，，，由碳14的半衰期为5730年，得，于是，所以，由样本中碳14的残余量约为初始量的，可知，即，解得，由计算工具得．因为1959年之前的3851年是公元前1892年，所以推理二里头遗址大概是公元前1892年建成的．练习（第154页）1．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？1．解析：乙选择的模型更符合实际．对于甲选择的模型，代入数据，得，解得，．检验：当时，，当时，，当时，．当时，偏差较大．对于乙选择的模型，代入数据有，，，检验:当时，，当时，，当时，，与实际数据相差都不算太大，所以乙选择的模型更符合实际．2．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加．2008~2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：时间/年20082009201020112012201320142015201620172018肉鸡数量/吨76907850800081508310846086208770892090809230同期该地的人口数如下：时间/年20082009201020112012201320142015201620172018人口数/万100.0101.2102.4103.6104.9106.1107.4108.7110.0111.3112.7（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？2．解析：（1）记2008年为第一年，设第年的肉鸡数量为吨，由题中第一个表中的数据可知，每一年的肉鸡数量比上一年平均增长155吨，则，设第年的人口数为万人，由同期该地人口数表中的数据可知．（2）设人均消费肉鸡，由题意，得，2018年的肉鸡需求量为吨，小于2018年的产量9230吨，故2018年能滿足市场要水．（3）由题中两表的变化超势，可知2018年后可先减少增加量，而后再增大增加量．教参答案：2.(1)用年份代码1～11分别代表年份2005～2015根据已知表格中的数据，分别作出2005年至2015年肉鸡数量和人口数量随年份代码变化的散点图：由于上述两个图象基本上都是呈直线增长，所以可以选择两个一次函数和分别刻画肉鸡数量和人口数量的变化．根据已知表格中的数据，可近似地得到．（2）因为，，即2014年和2015年每万人平均可有肉鸡数量分别为81.45吨和81.90吨，而2014年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，2015年每万人平均可有肉鸡数量又大于2014年的，所以2015年能满足市场的需求．（3）因为每万人平均拥有肉鸡数量的函数是增函数，且当时，，所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求．考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2015年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可．习题4.5(第155-156页）复习巩固1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是．（填写上所有符合条件的图号）1．答案：①③解析：题图①③中不存在区间，使．2．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：123456136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？2．解析：函数在区间内有零点．理由如下：由的对应值表可得，结合函数零点存在定理可知函数分别在区间内有零点．3．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解．3．证明：．令，，，，，由函数零点存在定理知，在内至少存在一个零点，在内至少存在一个零点，综上在内至少有两个实数解．4．利用信息技术，用二分法求函数的零点（精确度为0.1）．4．解析：由题设有，，于是，下面用二分法求函数在区间内的近似解．取区间的中点，用计算器可算得，因为，所以．再取区间的中点，用计算器可算得．因为，所以．同理可得，，由于，所以函数在区间内的零点可取为．5．利用信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）．5．解析：原方程可化为，令，没有意义，用计算器算得，于是，所以这个方程在区间内存在实数解．下面用二分法求方程在区间内的近似解．取区间的中点，用计算器可算得．因为，所以，再取区间的中点，用计算器可算得．因为，所以．同理可得．由于，所以原方程的近似解可取为．6．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（1MB=1024KB）？6．解析：设复制次数为，则，（分）开机后45分，该病毒会占据64MB内存．综合运用7．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点．7．证明：，，即，，，当时，，在内至少存在一个零点．当时，，在内至少存在一个零点．综上所述，函数在内至少有一个零点．8．已知函数，，（1）求函数的解析式；（2）利用信息技术，画出函数的图象；（3）求函数的零点（精确度为0.1）．8．解析：（1）由题设有，（2）函数图象如图所示．(3)由图象可知，函数分别在区间和区间内各有一个零点．取区间的中点，用计算器可算得，因为，所以，再取区间的中点，用计算器可算得，因为，所以，同理可得，由于，所以函数在区间内的零点约为．同样可求得函数在区间内的零点约为．所以函数的零点约为．9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法：①浮萍每月的增长率为1；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍每月增加的面积都相等；④若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则．其中正确的说法是（）（A）①②（B）①②③（C）①②④（D）①②③④9．答案：C解析：设．由，得，，（1）正确；，故②正确；，，（3）错误；浮萍每月增加的面积不断增长，，，成立，（4）正确．故选C．10．一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h）？10．解析：设应在病人注射这种药h后再向病人的血液补充这种药．依题意，可得，整理得，，应在用药后2.3h至7.2h再向病人的血液补充这种药．11．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从TB（1TB＝1024GB）级别跃升到PB（1PB＝1024TB），EB（1EB＝1024PB）乃至ZB（1ZB＝1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表面，2008年全球产生的数据量为0.49ZB，2009年的数据量为0.8ZB，2010年增长到1.2ZB，2011年的数量更是高达1.2ZB，而到了2020年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍．为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式．11．解析：年份2008200920102011…2020y/ZB0.490.81.21.82…1.82×44根据表格中数据可选模型．则，解得，．11．教参答案：从第二年起，计算每一年数据量与前一年数据量的比值，列表如下．时间/年2008200920102011…2020数据量/ZB0.490.81.21.82…1.82×44增长比例1.631.501.52…从数据变化的散点图（图（1））和前4年的增长比例看，可选择指数型函数进行描述．可以前4年增长比例的平均值作为函数的增长比例，则，而初始量，所以每一年全球产生的数据量可以表示为．画出函数的图象（图（2)），与散点图吻合程度较好．12．某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170平均体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的函数关系，并写出这个函数的解析式．（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？12．解析：（1）以身高为横坐标，平均体重为纵坐标，画出散点图如图所示．根据点的分布特征．可考虑以作为刻画这个地区未成年男性平均体重与身高的函数模型．如果取其中的两组数据代人得，用计算器算得．这样，就得到了一个函数模型．（2）将代入，得，由计算器算得．由于，所以这个男生偏胖．12．教参解析：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图（1））．根据散点图的特征，可考虑以作为刻画该地未成年男性的体重与身高关系的函数模型．不妨取其中的三组数据，代入．解得，则所求函数为．将已知数据代人上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图（2）），可以发现，这个函数与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将代入，可得．由于，所以，这名男生偏胖．拓广探索13．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，某同学给出了如下解答：由，解得．所以，实数的取值范围是．上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．13．解析：不正确，理由如下：仅说明变号零点的性质，还应讨论不变号零点的情况．由，得，此时，零点为，符合题意．所以实数的取值范围是．14．从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：．（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？14．解析：（1）由题意可知，符合题意的函数模型必须满足2个条件：定义域为；在上为增函数．而在为减函数，故不符合题意．又的定义域为．也不满足题意，故选代人已知数据，得，解得，．14．教参解析：（1）依题意，所选函数必须满足以下两个条件：定义域为，且在上为增函数．而函数中的，即定义域不可能是，函数在为减函数．所以，应该选择函数．不妨取数据代入，可得．（2）设甲地到乙地该汽车行驶总栏油量为，行驶时间为，依题意有．因为所以．易知，当时，有最小值30．故从甲地到乙地该车以的速度行驶能使总耗油量最少．复习参考题4（第159页）复习巩固1．选择题（1）函数与的图象（）（A）关于轴对称（B）关于轴对称（C）关于原点对称（D）关于直线对称（2）如图（1），①②③④中不属于函数，，的一个是（）（A）①（B）②（C）③（D）④（3）如图（2），①②③④中不属于函数，，的一个是（）（A）①（B）②（C）③（D）④1．答案：（1）C（2）B（3）C解析：（1）中用代替，用代替，则得到，所以函数与的图象关于原点对称．（2）都是指数函数，它们的图象都过定点．而②的图象不过点，故选B．（3）①②③④分别为函数，故选C．2．用“＜”“＞”“＝”填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．答案：（1）＞（2）