4.5.3++函数模型的应用+教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 - 副本

4.5.3函数模型的应用一、教材分析本节课是人教A版（2019）必修一“函数的应用”单元的收官内容，是对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本函数模型的综合运用。教材以“实际问题—建立模型—求解模型—检验应用”为主线，通过增长率、拟合预测等典型问题，引导学生体会“数学建模”的核心流程，衔接高中数学核心素养中的“数学建模”与“数学运算”。教材注重实例的真实性和层次性，从直接套用模型到通过数据拟合选择模型，逐步提升学生的应用能力，是连接数学理论与实际生活的关键载体。二、学情分析学生已掌握基本函数的图象与性质，能求解简单的函数解析式，但缺乏将实际问题转化为数学模型的经验。学习中易出现以下问题：一是无法根据实际问题的特征选择合适的函数模型；二是忽略实际问题中自变量的取值范围（定义域）；三是求解模型后未检验结果的实际意义；四是对数据拟合类问题的处理思路不清晰。学生抽象概括能力和实际应用意识有待加强，需要通过阶梯式问题引导其逐步掌握建模流程。三、学习目标能识别实际问题中常见的函数模型（一次、二次、指数、对数函数模型），并根据问题特征选择合适模型。掌握“实际问题—抽象概括—建立模型—求解验证”的数学建模基本步骤，能规范求解实际问题。会结合实际背景确定函数的定义域，能检验模型解的合理性并解释其实际意义。提升数学建模、数学运算和逻辑推理素养，体会数学与实际生活的联系。四、重点与难点重点：数学建模的基本步骤；根据实际问题选择并建立合适的函数模型。难点：实际问题的抽象概括（变量关系提取）；函数模型的选择与参数确定；模型解的实际意义检验。五、设疑自探自探问题1、函数模型应用的核心是“建模”，其基本步骤分为哪几步？每一步的关键任务是什么？2、实际问题中常见的函数模型有哪些？分别适用于描述什么样的变化规律（如增长速度、变化趋势）？3、建立函数模型时，为什么要特别关注自变量的取值范围？如何根据实际问题确定定义域？4、求解模型后，为什么需要检验结果？检验的核心标准是什么？自探答案1、基本步骤：①审题分析：提取实际问题中的变量关系，明确已知条件和待求目标；②建立模型：选择合适的函数类型，确定函数解析式（含参数）；③求解模型：根据条件求参数、解方程或求函数最值等；④检验应用：验证结果是否符合实际意义，若不符合则调整模型。2、常见模型及适用规律：（1）一次函数模型（y=kx+b，k≠0）：均匀变化（增长或减少速度恒定）；（2）二次函数模型（y=ax²+bx+c，a≠0）：先增后减或先减后增（存在极值点），适用于最值问题；（3）指数函数模型（y=abˣ+c，a≠0，b>0且b≠1）：爆炸式增长或衰减（增长速度越来越快或越来越慢），适用于增长率、衰减率问题；（4）对数函数模型（y=alogₐx+b，a>0且a≠1）：缓慢增长或衰减（增长速度逐渐放缓），适用于增长趋于稳定的问题。3、原因：自变量的取值必须符合实际背景（如时间、长度、数量等不能为负），否则模型无实际意义；确定方法：结合问题中的约束条件（如“时间不超过10年” “产量不低于500件”）确定定义域。4、原因：数学解可能满足函数表达式，但未必符合实际情况（如出现负数、超出合理范围等）；检验标准：①结果是否在定义域内；②结果是否与实际背景一致（如人数为整数、产量为正数）；③模型是否能准确反映实际变化规律。六、解疑合探合探问题1、某企业2023年的年产值为1000万元，计划每年的年产值增长率为x（x>0），设2023年后第t年的年产值为y万元。（1）建立y关于t的函数模型，并写出定义域；（2）若2025年的年产值目标为1322.5万元，求增长率x；（3）若增长率控制在8%，哪一年的年产值会超过1500万元？合探答案解：（1）由增长率问题的规律，函数模型为y=1000(1+x)ᵗ，定义域为t∈N⁺（t为正整数，代表2023年后的年份数）。（2）2025年是2023年后第2年，即t=2，y=1322.5，代入模型：1000(1+x)²=1322.5⇒(1+x)²=1.3225⇒1+x=1.15（x>0，舍去负根）⇒x=0.15=15%。故增长率x为15%。增长率x=8%，即y=1000(1.08)ᵗ，令y>1500：(1.08)ᵗ>1.5⇒t>log1.081.5≈5.27，因t为正整数，故t=6，即2023+6=20292、某商场统计了一款商品上市后前5个月的月销量（单位：件），数据如下：月份t（1≤t≤5，t∈N⁺）

1

2

3

4

5月销量y

12

20

30

42

56（1）判断y与t的关系更接近一次函数模型还是二次函数模型，说明理由；

（2）根据判断结果建立函数模型，预测第6个月的月销量。

解：（1）判断模型类型：假设为一次函数模型y=kt+b，取前两组数据(1,12)、(2,20)：⇒{k+b=12,2k+b=20}⇒k=8，b=4，模型为y=8t+4。检验其他数据：t=3时，y=28（实际30，误差2）；t=4时，y=36（实际42，误差6）；t=5时，y=44（实际56，误差12），误差逐渐增大。假设为二次函数模型y=at²+bt+c，取三组数据(1,12)、(2,20)、(3,30)：⇒{a+b+c=12,4a+2b+c=20,9a+3b+c=30}⇒解得a=1，b=7，c=4，模型为y=t²+7t+4。检验其他数据：t=4时，y=16+28+4=48（实际42，误差6）；t=5时，y=25+35+4=64（实际56，误差8）；用(1,12)、(3,30)、(5,56)⇒{a+b+c=12,9a+3b+c=30,25a+5b+c=56}8a+2b=18⇒4a+b=9；16a+2b=26⇒8a+b=13；解得a=1，b=5，c=6，模型为y=t²+5t+6。检验：t=2时，y=4+10+6=20（符合）；t=4时，y=16+20+6=42（符合）；t=5时，y=25+25+6=56（符合）。故y与t的关系更接近二次函数模型（误差为0，完全拟合数据）。（2）预测第6个月销量：t=6时，y=6²+5×6+6=36+30+6=72（件）。故第6个月的月销量预测为72件。七、质疑再探质疑问题1、某问题中，变量y随x的变化规律为“先快速增长，后增长速度逐渐放缓”，应选择指数函数模型还是对数函数模型？为什么？2、建立函数模型时，若数学解超出了实际问题的定义域，该如何处理？3、二次函数模型y=ax²+bx+c（a≠0）用于解决实际最值问题时，为什么有时不能取顶点横坐标作为最值点？质疑答案1、应选择对数函数模型。理由：指数函数模型的增长速度是“越来越快”（爆炸式增长），而对数函数模型的增长速度是“越来越慢”（趋于稳定），符合“先快速增长，后增长放缓”的规律（注意：若“先慢后快”则选指数函数）。2、处理方法：①检查定义域确定是否正确（是否遗漏实际约束条件）；②若定义域正确，说明模型选择可能不当，需重新分析变量关系，更换函数模型；③若模型正确，需明确告知结果无实际意义，或根据定义域取最接近的合理值（如人数取整数、时间取整数年）。3、原因：二次函数的顶点横坐标x=-b/(2a)是函数在全体实数域上的最值点，但实际问题中自变量x有明确的定义域（如x≥0、x为整数等）。若顶点横坐标在定义域内，则该点为实际最值点；若顶点横坐标超出定义域，则实际最值点为定义域的端点（如x≥5时，若顶点横坐标为3，则最值在x=5处取得）。八、拓展应用1、（多选题）关于函数模型的选择，下列说法正确的是（）描述“匀速行驶的汽车路程与时间的关系”，选择一次函数模型描述“人口自然增长（增长率恒定）”，选择指数函数模型描述“某种商品的销量随价格的变化，先增后减”，选择对数函数模型D.描述“水库蓄水后，水位随蓄水量的增加逐渐上升，但上升速度越来越慢”答案：ABD解析：A正确，路程=速度×时间，是一次函数关系；B正确，人口自然增长（增长率恒定）符合指数增长模型；C错误，“先增后减”的变化规律应选择二次函数模型（对数函数单调递增）；D正确，水位上升速度越来越慢，符合对数函数的增长特征。2、（多选题）某地区2020年的森林面积为100km²，计划每年按相同的增长率x扩大森林面积，2025年的森林面积为ykm²。下列说法错误的是（）y与x的函数模型为y=100(1+x)⁵若x=10%，则2025年森林面积为161.05km²若2025年森林面积目标为150km²，则增长率x=50%D.定义域为x>0，且x为整数答案：CD解析：A正确，2020到2025年共5年，复利增长模型为y=100(1+x)⁵；B正确，x=10%时，y=100×1.1⁵≈161.05km²；C错误，100(1+x)⁵=150⇒(1+x)⁵=1.5⇒x=1.5^(1/5)-1≈8.45%≠50%；D错误，增长率x>0，可为任意正数（如3.5%），不一定是整数。3、（多选题）某工厂生产一种产品，每件成本为20元，售价为x元（25≤x≤45，x∈N⁺），销售量为y件，且y与x的函数关系为y=-10x+900。关于该产品的利润L（元），下列说法正确的是（）A.利润L与售价x的函数模型为L=(x-20)(-10x+900)，定义域为[25,45]B.利润L的最大值在x=55时取得C.当售价为40元时，利润为8000元D.当售价为30元时，销售量为600件答案：AD解析：A正确，利润=（售价-成本）×销售量，即L=(x-20)(-10x+900)，定义域为[25,45]（售价高于成本且有合