2025年近世代数1题库及答案

2025年近世代数1题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设G是一个群，a,b∈G，则(ab)^-1等于（）。A.abB.baC.a^-1b^-1D.b^-1a^-1答案：C2.有限群G的阶数是n，若n是素数，则G一定是（）。A.循环群B.非交换群C.无限群D.以上都不对答案：A3.在群G中，若a^2=e，则a称为（）。A.幺元B.非素元C.幺元的平方D.生成元答案：A4.设G是一个群，a∈G，则a的阶是指（）。A.a的平方B.使得a^k=e的最小正整数kC.a的逆元D.a的全体幂的集合答案：B5.循环群的所有生成元构成的集合是（）。A.群的幺元B.群的所有元素C.群的子群D.群的阶答案：B6.交换群也称为（）。A.阿贝尔群B.非交换群C.循环群D.无限群答案：A7.设G是一个群，H是G的子群，若a∈G，则aH=Ha当且仅当（）。A.a属于HB.a与H交换C.H是G的正规子群D.a是H的生成元答案：C8.有限群G的子群H的指数是指（）。A.H的阶B.G的阶除以H的阶C.H的生成元D.H的逆元答案：B9.两个有限群G和H的直积G×H的阶是（）。A.|G|+|H|B.|G|×|H|C.|G|∩|H|D.|G|∪|H|答案：B10.设G是一个群，a,b∈G，若a和b的阶分别为m和n，则ab的阶是（）。A.m+nB.m×nC.gcd(m,n)D.lcm(m,n)答案：D二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪个是群的性质？（）A.封闭性B.结合律C.存在幺元D.存在逆元答案：A,B,C,D2.循环群可以是（）。A.交换群B.非交换群C.有限群D.无限群答案：A,C,D3.有限群G的子群H一定是（）。A.G的正规子群B.G的生成子群C.G的子群D.G的指数答案：C4.交换群的子群一定是（）。A.交换群B.正规子群C.循环群D.子群答案：A,B,C,D5.两个有限群的直积的子群可以是（）。A.第一个群的子群B.第二个群的子群C.两个群的子群的直积D.以上都不对答案：A,B,C6.有限群G的正规子群H一定是（）。A.G的子群B.G的正规子群C.G的商群D.G的生成子群答案：A,B,C7.交换群的子群的生成元一定是（）。A.交换群的生成元B.子群的生成元C.群的生成元D.子群的逆元答案：A,B8.两个有限群的直积的阶是（）。A.第一个群的阶B.第二个群的阶C.两个群的阶的乘积D.两个群的阶的和答案：B,C9.有限群G的子群H的指数是（）。A.H的阶B.G的阶除以H的阶C.H的生成元D.H的逆元答案：B10.两个有限群的直积的子群一定是（）。A.第一个群的子群B.第二个群的子群C.两个群的子群的直积D.以上都不对答案：A,B,C三、判断题（每题2分，共10题）1.有限群G的每一个子群都是正规子群。（）答案：错误2.循环群的每一个子群都是循环群。（）答案：正确3.交换群的每一个子群都是交换群。（）答案：正确4.两个有限群的直积的子群一定是两个群的子群的直积。（）答案：正确5.有限群G的正规子群一定是G的子群。（）答案：正确6.交换群的子群的生成元一定是交换群的生成元。（）答案：正确7.两个有限群的直积的阶是两个群的阶的乘积。（）答案：正确8.有限群G的子群H的指数是G的阶除以H的阶。（）答案：正确9.两个有限群的直积的子群一定是两个群的子群的直积。（）答案：正确10.有限群G的每一个子群都是G的正规子群。（）答案：错误四、简答题（每题5分，共4题）1.简述群的定义及其性质。答案：群是一个集合G，配备一个二元运算·，满足以下性质：封闭性，结合律，存在幺元e，使得对于任意a∈G，有ae=ea=a，存在逆元，使得对于任意a∈G，有a^-1∈G，使得aa^-1=a^-1a=e。2.简述循环群的定义及其性质。答案：循环群是一个由一个元素生成的群，即存在一个元素g∈G，使得G=⟨g⟩={g^k|k∈Z}。循环群是交换群，有限循环群的阶是生成元的阶，无限循环群的生成元是任意一个非幺元。3.简述正规子群的定义及其性质。答案：正规子群是一个子群H，对于任意g∈G，有gHg^-1=H。正规子群是G的子群，商群G/H是一个群。4.简述直积的定义及其性质。答案：两个群G和H的直积G×H是一个集合，元素为G和H的有序对，运算定义为(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,b1b2)。直积的阶是两个群的阶的乘积，直积的子群是两个群的子群的直积。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论循环群的子群和生成元的性质。答案：循环群的子群也是循环群，有限循环群的子群的阶是群的阶的约数，无限循环群的子群也是无限循环群。循环群的生成元是任意一个非幺元，生成元的阶是群的阶。2.讨论正规子群在群论中的重要性。答案：正规子群在群论中非常重要，因为它们允许我们定义商群，商群是一个群，其元素是正规子群的不同左陪集或右陪集。商群的研究可以简化群的研究，帮助我们理解群的structure。3.讨论直积在群论中的应用。答案：直积在群论中有很多应用，例如，我们可以通过直积构造新的群，研究群的性质。直积还可以帮助我们理解群的分解，例如，有限群可以分解为若干