河南省商丘市商师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联数学题(解析版)

河南省商丘市商师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】直线与轴平行，所以倾斜角为.故选：D.2.双曲线的渐近线方程是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是．故选：B．3.已知向量，，若，则（）A. B. C.2 D.6【答案】B【解析】由题意，∵，，且，∴，解得，，∴．故选：B．4.若直线与圆相切，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】圆即圆，所以，且圆的圆心为，半径为，若直线与圆相切，则，解得.故选：A.5.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】对于A，因为，所以，，共面；对于B，因为，所以，，共面；对于C，因为，所以，，共面；对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立，则方程组无解，所以，，不共面；故选：D.6.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由椭圆的方程，得，，因为，所以，又在椭圆上，所以，解得，即，，所以．故选：A．7.如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作平面，垂足为，连接，则为的中心，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设，所成的角为，所以.故选：A.8.已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，设，，则，即，，又，在圆上，所以，，即.所以圆与圆有公共点，因此，解得.又由且，不同，知点在圆外，故，故.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.方程表示的曲线中，可以是（）A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.直线【答案】AB【解析】当，且，即时，方程表示椭圆，当即时，方程表示双曲线，故AB正确；要想表示圆，则无解，故C错误；直线为一次曲线，故D错误.故选：AB.10.圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线距离等于，则，解得.显然.故选：ABC.11.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（）．A.C的离心率为2 B.C.的面积为4 D.的周长为18【答案】ABD【解析】如图所示，不妨设A在第一象限，则，由于，得，，由于，所以∽，故，可得，故，而，故，由，得，对于A，C的离心率，故A正确；对于B，由以上分析可知，故B正确；对于C，在中，，，，故，故C错误；对于D，的周长为，故D正确.故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线和直线垂直，则实数的值为_______．【答案】或【解析】因为直线和直线垂直，所以，解得.故答案为：.13.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】依题意，，而，则，又，因此，解得，即，所以的离心率的取值范围是.故答案为：.14.已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是________.【答案】【解析】设的中点，易得，所以，所以，即在以为球心，为半径的球面上，过点作直线的垂线，垂足为，所以，所以，，即的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线的方程为（1）若与直线平行，求的值；（2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程.解：（1）因为与直线平行，所以且，解得：.（2）当时，：，不满足题意.当时，与轴，轴的交点分别为，因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得.故的方程为或.16.已知离心率为的双曲线经过点.（1）求的方程；（2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.（1）解：由题意可得，解得，所以的方程为.（2）证明：设，，因为点在双曲线上，所以，即，所以，所以为定值.17.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点．（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程．解：（1）设点、，因为点是线段的中点，则，所以，因为点在圆上，则，即，化简得，故点的轨迹方程为.（2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.18.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.（1）证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，.设平面的一个法向量为，又，，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，又，所以，又平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，.设平面的一个法向量为，所以令，解得，，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离，即点到平面的距离为.（3）解：由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，又，所以，即二面角的正弦值为.19.已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，.（1）求的方程；（2）求证：的值为定值；（3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点.（1）解：设椭圆的焦距为，则由题意得，解得.所以，所以的方程为.（2）证明：由（1）得，若直线与直线斜率一个为0，另一个不存在时，，（或，），此时.若直线与直线的斜率都存在时，如图：设直线的方程为，，，