《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计1

一、教学内容分析

本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中三弦定理的第一课时，它既是初中"解

直角三角形"内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际

问题的重要工具，正弦定理遏示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定

理都是解三角形的重要工具。

本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于"定理

教学课"。因此，做好"正弦定理"的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的

知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创

造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学情分析

对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等

知识，具有一定观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往

往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生

学习主动性，注意前后知识'司的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。

三、设计思想：

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新误程改革

的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：”知识不是被动吸收的，而

是由认知主体主动建构的J这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得

到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和

学习伙伴的帮助下才办作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生

为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节"正弦定理”的教学，将遵

循这个原则而进行设计。

四、教学目标：

1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，

探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨

性.

2、理解三角形面积公式，能运用正弦定理解决三角形的.两类基本问题，并初步认识

用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。

3、通过对实际问题的探索，培养学生的数学应用意识，激发学生学习的兴趣，让学生

感受到数学知识既来源于生活，又服务与生活。

五、教学重点与难点

教学重点：正弦定理的探索与证明;正弦定理的基本应用。

教学难点：正弦定理的探索与证明。

突破难点的手段：抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入

手，教师在学生

主体下给于适当的提示和指导。

一、复习引入：

1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系?是否可以把边、角关系准

确量化?

2.任ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c,你能发现它们之间有什么关系吗?

结论：

证明：晌量法）过A作单位向量j垂直于AC,由AC+CB=AB边同乘以单位向量。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

本节是“正弦定理"定理的第一节，在备课中有两个问题需要精心设计.一个是问题的

引入，一个是定理的证明.通过两个实际问题引入，让学生体会为什么要学习这节课，从学生

的“最近发展区”入手进行设计，寻求解决问题的方法.具体的思路就是从解决课本的实:际问

题入手展开，将问题一般化导出三角形中的边角关系——正弦定理.因此，做好"正弦定理"

的教学既能复习巩固旧知识，也能让学生掌握新的有用的知识，有效提高学生解决问题的能力。

1.在教学过程中，我注重引导学生的思维发生,发展，让学生体会数学问题是如何解

决的，给学生解决问题的T殳思路。从学生熟悉的直角三角形边角关系，把锐角三角形和钝角

三角形的问题也转化为直角三角形的性，从而得到解决，并渗透了分类讨论思想和数形结合思

想等思想。

2.在教学中我恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段.利用《几何画

板》探究比值的值，由动到静，取得了很好的效果，加深了学生的印象.

3.由于设计的内容比较的多，教学时间的超时，这说明我自己对学生情况的把握不够

准确到位，致使教学过程中时间的分配不够适当，教学语言不够精简，今后我一定避免此类问

题，争取更大的进步。

《正弦定理》教学设计2

一、教材分析

"解三角形"既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被

保留下来，并独立成为一章，这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方

法上看，也可以归属于向量业用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何

问题的典型内容之一。而本课"正弦定理"，作为单元的超始课，是在学生已有的三角函数及

向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角

形工具），通过这一部分内容的学习，让学生从"实际问题"抽象成"数学问题”的建模过程

中，体验"观察——猜想一证明一应用"这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品

质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的

学习兴趣和“用数学"的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对"一些重要的数

学思想和数学方法"的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高J匕较喜

欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比

较不错的表现。

三、教学目标

1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理

及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察一猜想一证明——应用〃

等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考C

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几

何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证

统一。同时，通过实际问题的探讨、解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动

性，锻炼探究精神。树立"数学与我有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学"的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节课我准备采用"问题教

学法"，即由教师以问题为主线组织教学，利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、

突出重点，突破难点，提高课堂效率，并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的学习方式

参与到问题解决的过程中去，从中体脸成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺利地解决重点，突破难点，同时本着贴近生

活、贴近学生、贴近时代的原则，我设计了这样的教学过程：

（一）创设情景，揭示课题

问题1:宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想

要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢？

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为385400km，你知道他

们当时是怎样测出这个距离的吗？

问题2:在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平

飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗?还有，交通警察是怎样测出正在公路

上行驶的汽车的速度呢?要想解决这些问题，其实并不难，只要你学好本章内容即可掌握其原

理。（板书课题《解三角形》）

［设计说明］引用教材本章引言，制造知识与问题的冲突，激发学生学习本章知识的兴

趣。

（二）特殊入手，发现规律

问题3:仕初中，我们已经学习了《锐角三角国数和解直角三角形》这一章，老师想

试试你的实力，请你根据初中知识，解决这样一个问题。在rt/abc中sina=,sinb=,sinc=,

由此，你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗？

引导启发学生发现特殊情形下的正弦定理

（三）类比归纳，严格证明

问题4:本题属于初中问题，而且比较简单，不够刺激，现在如果我为难为难你，让

你也当一回老师，如果有个学生把条件中的rt/abc不小心写成了锐角/abc,其它没有变，你

说这个结论还成立吗？

［设计说明］此时放手让学生自己完成，如果感觉自己解决有困难，学生也可以前后桌

或同桌结组研究，鼓励学生用不同的方法证明这个结论，在巡视的过程中让不同方法的学生上

黑板展示，如果没有用向量的学生，教师引导提示学生能否用向量完成证明。

问题5:好根据刚才我们的研究，说明这一结论在直角三角形和锐角三角形中都成立，

于是，我们是否有了更为大担的猜想，把条件中的锐角/abc改为角钝角/abc,其它不变，这

个结论仍然成立?我们光说成立不行，必须有能力进行严格的理论证明，你有这个能力吗?下面

我希望你能用实力告诉我，开始。（启发引导学生用多种方法加以研究证明，尤其是向量法，

在下节余弦定理的证明中还要用，因此务必启发学生用向量法完成证明。）

［设计说明］放手给学生实践的机会和时间,使学生真正的参与到问题解决的过程中去,

让学生在学数学的实践中去感悟和提高数学的思维方法和思维习惯。同时，考虑到有部分同学

基础较差，考个人或小组可能无法完成探究任务，教师在学生动手的同时，通过巡查，让提前

证明出结论的同学上黑板完成，这样做一方面肯定了先完成的同学的先进性，锻炼了上黑板同

学的解题过程的书写规范性，同时，也让从无从下手的同学有个参考，不至于闲呆着浪费时间。

问题6:由此，你能否得到一个更一般的结论?你能用比较精炼的语言把它概括一下吗？

好，这就是我们这节课研究的主要内容，大名鼎鼎的正弦定理（此时板书课题并用红色粉笔标

示出正弦定理内容）

教师讲解：告诉大家，其实这个大名鼎鼎的正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔

一威发（940-998】首先发现与证明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼c973-1048】给三角形的正

弦定理作出了一个证明。也有说正弦定理的证明是13世纪的阿塞拜疆人纳速拉丁在系统整理

前人成就的基础上得出的。不管怎样，我们说在10XX年以前,人们就发现了这个充满着数学

美的结论，不能不说也是人类数学史上的一个奇迹。老师希望21世纪的你能在今后的学习中

也研究出一个被后人景仰的某某定理来，到那时我也就成了数学家的老师了。当然，老师的希

望能否变成现实，就要看大家的了。

［设计说明］通过本段内容的讲解，渗透一些数学史的.内容，对学生不仅有数学美得熏

陶,更能激发学生学习科学文化知识的热情。

（四）强化理解，简单应用

下面请大家看我们的教材2-3页到例题1上边，并自学解三角形定义。

［设计说明］让学生看看书，放慢节奏，有利于学生消化和吸收刚才的内容,同时教师

可以利用这段时间对个别学困生进行辅导，以减少掉队的同学数量，同时培养学生养成自觉看

书的好习惯。

我们学习了正弦定理之后，你觉得它有什么应用?在三角形中他能解决那些问题呢？我

们先小试牛刀,来一个简单的问题：

问题7:（教材例题ljziabc中，已知a=30,b=75,a=40cm,解三角形。

（本题简单，找两位同学上黑板完成，其他同学在底下练习本上完成，同学可以小声音

讨论，完成后教师根据学物践中发现的问题给予必要的讲评）

［设计说明］充分给学生自己动手的时间和机会，由于本题是唯一解，为将来学生感悟

什么情况下三角形自唯一解创造条件。

强化练习

让全体同学限时完成教材4页练习第一题，找两位同学上黑板。

问题8:（教材例题2）在/abc中a=20cm,b=28cm,a=30,解三角形。

［设计说明］例题2较难，目的是使学生明确，利用正弦定理有两种可能，同时，引导

学生对比例题1研究，在什么情况下解三角形有唯一解?为什么?对学有余力的同学鼓励他们自

学探究与发现教材8页得内容：《解三角形的进一步讨论》

（五）小结归纳，深化拓展

1、正弦定理

2、正弦定理的证明方法

3、正弦定理的应用

4、涉及的数学思想和方法。

［设计说明］师生共同总结本节课的收获的同时，引导学生学会自己总结，让学生进一

步回顾和体会知识的形成、发展、完善的过程。

（六）布置作业，巩固提高

1、教材10页习题1.1a组第1题。

2、学有余力的同学探究10页b组第1题，体会正弦定理的其他证明方法。

证明：设三角形外接圆的半径是r,则a=2rsina.b=2rsinb,c=2rsinc

［设计说明］对不同水平的学生设计不同梯度的作业，尊重学生的个性差异,有利于因

材施教的教学原则的贯彻。

（七）板书设计：（略）

《正弦定理》教学设计3

教材分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。本章内容准备复习两课

时。本节课是第一课时。标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三

角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：

(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。

(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。本章内容与

三角函数、向量联系密切。

作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达

到相应的学习目标。

学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如

何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题,

学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。

教学目标知识目标：

(1)学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其

证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。

(2)学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。

能力目标：

培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导

下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

情感目标：

通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，

激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。

教学方法探究式教学、讲练结合

重点难点

1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；

2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运月。

教学策略

1、重视多种教学方法有效整合；

2、重视提出问题、解决问题策略的指导。

3、重视加G虽前后知识的密切联系。

4、重视加强数学实践能力的培养。

5、注意避免过于繁琐的形式化训练

6、教学过程体现“实践—认识一实践”。

设计意图：

学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运

用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还

需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方

面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和

方法解决三角形综合问题和实际应用问题。

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的

理解和掌握。虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想：

⑴重视教学各环节的合理安排：

在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧

知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的

状态,符合学生的认知规律

⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法

贯穿整个教学过程。

⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。共3页，当前第1页123

⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究，必须增加足够的预备知识，做

好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择

出来，在新知识介绍之前进行复习。

⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的'传统上看解三角形内容有不少高度

技巧化、形式化的问题，我（门在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。

二、实施教学过程

（一）创设情境、揭示提出课题

弓I例：要测量南北两岸a、b两个建筑物之间的距离，在南岸选取相距a点km的c

点，并通过经纬仪测的，你能计算出a、b之间的距离吗？若人在南岸要测量对岸b、d两个

建筑物之间的距离，该如何进行？

（二）复习回顾、知识梳理

1.正弦定理：

正弦定理的变形：

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的词题。

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（从而进一步求出其他的边和角）

2.余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosa;

b2=c2+a2-2cacosb;

c2=a2+b2-2abcosco

cosa=;

cosb=;

cosc=o

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的诃题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

3.三角形面积公式：

(三)自主检测、知识巩固

(四)典例导航、知识拓展

【例1】Mbc的三个内角a、b、c的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b-c),求

证：

a=2bo

剖析：研究三角形问题一般有两种思路。一是边化角，二是角化边。

证明：用正弦定理，a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,代入a2=b(b+c)中，得

sin2a=sinb(sinb+sinc)sin2a-sin2b=sinbsinc

因为、、为三角形的三内角，所以所以所

abcsin(a+b)sin(a-b)=sinbo

以只能有a・b=b,即a=2b.

评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变

换求解。

思考讨论：该题若用余弦定理如何解决？

【例2】已知a、b、c分别是”bc的三个内角a、b、c所对的边，

(1)若Mbc的面积为,c=2,a=600，求边a,b的值；

(2)若a=ccosb,且b=csina,试判断Mbc的形状。

(五)变式训练、归纳整理

【例3］已知a、b、c分别是abe的三个内角a、b、c所对的边,若bcosc=(2a

—c)cosb

(1)求角b

(2)设，求a+c的值。

剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，

此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，

问题与例2类似解决。

此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。

(解答略)

课时小结(由学生归纳总结，教师补充)

1、解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正

弦定理

2、根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。并

常用正余弦定理实施边角转化。

3、用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量缄量积求三角形内角与应用向量的模

求三角形的边长。

4、应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后月数学模型解决问题。

5、正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。

课后作业：

材料三级跳

创设情境，提出实际应用问题，揭示课题

学生在探究问题时发现是解三角形问题，通过问答将知识作一梳理。

学生通过课前预热1、2、3、的快速作答，对正余弦定理的基本运用有了一定的回顾

学生探讨

知识的关联与拓展

正余弦定理与三角形内角和定理，面积公式的综合运用对学生来说也是难点，尤其是

根据条件判断三角形形状。此处列举例2让学生进一步体会如何选择定理进行边角互化。

本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦和余弦定理的基础上而设

置的复习内容，因此本课的教学有较多的处理办法。从解三角形的问题出发，对学过的知识进

行分类，采用的例题是精心准备的，讲解也是至关重要的。一开始的复习回顾学生能够很好的

回答正弦定理和余弦定理的基本内容，但对于两个定理的变形公式不知，也就是说对于公式的

应用不熟练。设计中的自主检测帮助学生回顾记忆公式，对学生更有针对性的进行了训练。学

生还是出现了问题，在遇到第一个正弦方程时，是只有一组解还是有两组解，这是难点.例1、

例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，可用正弦定理,也可用余弦定理，帮助学生巩

固正弦定理、余弦定理知识，

本节课授课对象为高三6班的学生，上课氛围非常活跃。考虑到这是一节复习课，学

生已经知道了定理的内容，没有经历知识的发生与推导，所以兴趣不够，较沉闷。奥苏贝尔指

出，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行

教学。因而，在教学中，教师了解学生的真实的思维活注是一切教学工作的实际出发点。教师

应当“接受"和"理解"学生的真实思想，尽管它可能是错误的或幼稚的，但却具有一定的"内在

的"合理性，教师不应简单否定，而应努力去理解这些思想的产生与性质等等，只有真正理解

了学生思维的发生发展过程，才能有的放矢地采取适当糠学措施以便帮助学生不断改进并最

终实现自己的目标。由于这珅探究课型任平时的教学中还不够深入，白些学生往往以一种观赏

者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。这些都是不足之处，

比较遗憾。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。毕竟轻松愉快的课堂是学生思

维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。所以新课标下的课堂

将会是学生和教师共同成长的舞台！

《正弦定理》教学设计4

教材地位与作用：

本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角

的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常

有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此,正

弦定理的知识非常重要。

学倩分析：

作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而

学生们在解决任意三角形的边与角问题,就比较困难。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的

个数。

（根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标）

教学目标分析：

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际

应用价值。

教法学法分析：

教法：采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流

为前提，以"正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的.思维由

问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法：指导学生掌握"观察一猜想一证明——应用"这一思维方法，采取个人、

小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知浜应用于对任意三角形性质的探究。让

学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究,动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般

的数学思维能力，锲而不舍的求学精神。

教学过程

（一）创设情境，布疑激趣

"兴趣是最好的老师"，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半,本节课由

一个实际问题引入「工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，/a=47。,

zb=53°,ab长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和be的长度是多少好去截料，你能帮

师傅这个忙吗?"激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

（二）探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理。

2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对

一般三角形进行验证。

3.让学生总结实验纭果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

（三）逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明C

2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进彳亍证明。

3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用

数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

4.思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接

圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

（四）归纳总结，简单应用

1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的

享受。

2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决,

能激发学生知识后用于实际的价值观。

（五）讲解例题，巩固定理

1.例L在Mbc中，已知a=32°,b=81.8°,a=42.9cm.解三角开乡.

例1简单，结果为唯一解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中

一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2.例2.在Mbc中，已知a=20cm,b=28cm,a=40°,解三角形.

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有耐可能。要求学生熟悉掌握已知两边

和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。

（六）课堂练习，提高巩固

1.在物收中,已知下列条件，解三角形.

oo

(l)a=45/c=30°,c=10cm(2)a=60/b=45°/c=20cm

2.在&abc中,已知下列条件，解三角形.

o

（l）a=20cm/b=llcm/b=30（2）c=54cm,b=39cm,c=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

（七）小结反思，提高认识

通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会？

1.用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。

（从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。

我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论,而且整个探索过程我们也掌

握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位,调动学生积极性,

使数学教学成为数学活动的教学。）

（八M壬务后延,自主探究

如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，

那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。

（九）作业布置

plO习题1.1a组习题L

《正弦定理》教学设计5

【教学课题】1.1.1正弦定理（第一课时）

【教学背景】本节课所面对的是普通高中招生中最后的一批学生，学习成绩较差，中

考成绩大多在280分左右。自身缺少良好的学习习惯和一定的数学学习能力。因此在教学设

计时，以基础知识，基本方法的学习和应用为主。仕教学过程中，采用了以学生亘动探究为主

的“五二五"教学模式，以提高学生的学习兴趣。

【教析分析】本章是高中数学必修5的第一章第一节内容，是初中解直角三角形的拓

展和延续，重点揭示了三角形边、角之间的数量关系。运用它可以解决一些与测量和几何计算

有关的实际问题。在高考中也常与三角函数、平面向量等知识结合在一起考考察。

【学习目标】通过对任意三角面积的探索，理解正弦定理的内容及其推导过程；能够

通过观察、归纳、猜想,由恃殊到一般得到正弦定理，体脸数学发现与创造的历程；掌握正弦

定理并能够运用正弦定理解决一些简单的求边角问题。

【学习重点】正弦定理的几种形式。

【学习难点】正弦定理的推导与证明。

【学习方法】自主学习、合作探究

【教学手段】多媒体辅助教学

【学习过程】

一、复习引入

在直角三角形中是如何定义边角关系？

任意三角形的高怎么求?

二、合作探究

（要求：学生先独立思考，再以小组为单位交流讨论结果，并派代表展示本组的讨论

结果。）探究一:在&ABC中,分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出&ABC的面积。

结论：对任意△ABC都有二二二.探究二：你能利月三角形的面积公式，做适当的变形,

探寻出各角与其对边的关系吗？

探究三：正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法

求出这个比值吗？

三、阅读教材，记忆公式

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形诃题？

已知求;

已知求.四、小组合作，成果展示（要求：一、三、五组先做第一题再做第二题词，二、

四、六组先做第二题再做第一题；每组派两位同学到黑板上板书，一位同学讲解。评价标准:

书写规范，内容准确，声音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3,B=60,求a边所对角的正弦值。

2、在中，A=60,B=75,a=10,求边c。

五、课堂小结

（学生小结，相互补充。）

六、能力提升

在ABC中，已知A450,a2,b2,求B。

七、检测评价

长江作业本2,3,4,5题。【教学反思】

本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生

的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积

做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上

去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，

这一个引入做的还是很成功的。

本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交

流讨论，让他们有了一定辘论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，

又给予了他们展示自己解决'可题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学

在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展

示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励,让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动

力和兴趣。

本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较

简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形

的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思

路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的'发展过程，这

是数学的灵魂。

a的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在sinA

a教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了

很好sinA本节课的第三个探究环节是探寻比值的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。

在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正

弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的

习惯,又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。

总的来说，本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动

了学生的学习积极性，每T立学生都动了起来，都有所收获。数学知识也在欢乐和谐的氛围中

主动的进入了学生的大脑。

《正弦定理》教学设计6

一教学内容分析

正弦定理是《普通高中课程标准数学教科书数学（必修5）》（人教版）第一章第一节

的主要内容它既是初中解直角三角形内容的直接延拓也是三角函数一般知识和平面向量等知

识任三角形中的具体运用是解可转化为三角形计算问题的具它数学问题及生产生活实际问题

的重要工具因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证

明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答而确实又是学生所关心的问

题。

本节课是正弦定理教学的第一课时其主要任务是引入并证明正弦定理在课型上属于定

理教学课。因此做好正弦定理的教学不仅能复习巩固旧知识使学生掌握新的有用的知识体会联

系发展等辩证观点而且通过对定理的探究能使学生体验到数学发现和创造的历程进而培养学

生提出问题解决问题等研究性学习的能力。

二学生学习情况分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容在必修4中又学习了三角函数的基础知识

和平面向量的有关内容对解直角三角形三角函数平面向量已形成初步的知识框架这不仅是学

习正弦定理的认知基础同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角

形边角关系的重要定理之一《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程并能运用它解决

一些实际问题可以使学生进一步了解数学在实际中的应用从而激发学生学习数学的兴趣也为

学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三设计思想

培养学生学会学习学会探究是全面发展学生能力的重要前提是高中新课程改革的主要

任务。如何培养学生学会学习学会探究呢？建构主义认为：知识不是被动吸收的而是由认知主

体主动建构的。这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的而是学生在

一定的情境中运用已有的学习经验并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作主动

建构而获得的建构主义教学模式强调以学生为中心视学生为认知的主体教师只对学生的意义

建构起帮助和促进作用。本节正弦定理的教学将遵循这个原则而进行设计。

四教学目标

1知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索掌握正弦定理的内容及

其证明方法。

2过程与方法：让学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中边与其对角的关

系引导学生通过观察归纳猜想证明由特殊到一般得到正弦定理等方法体验数学发现和创造的

历程。

3情感态度与价值观：在平等的教学氛围中通过学生之间师生之间的交流合作和评价

实现共同探究教学相长的教学情境。

五教学重点与难点

重点：正弦定理的发现和推导

难点：正弦定理的推导

教学准备：制作多媒体课件学生准备计算器直尺量角器。

六教学过程设计

（一）设置情境

教师：展示情景图如图1船从港口B航行到港口C测得BC的距离为

船在港口C卸货后继续向港口A航行由于船员的疏忽没有测得CA距离如果船上有测

角仪我们能否计算出AB的距离？

学生：思考提出测量角AC。

教师：若已知测得

如何计算AB两地距离？

师生共同回忆解直角三角形①直角三角形中已知两边可以求第三边及两个角。②直角

三角形中已知一边和一角可以求另两边及第三个角。

教师引导：

是斜三角形能否利用解直角三角形精确计算AB呢?

设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头那就意味着成功的一半。因

此我通过从学生日常生活中的实际问题引入激发学生思维激发学生的求知欲引导学生转化为

解直角三角形的问题在解决问题后对特殊问题一般化得出一个猜测性的结论猜想培养学生从

特殊到一般思想意识培养学生创造性思维能力。

（二）数学卖脸脸证猜想

教师：给学生指明一个方向我们先通过特殊例子检验

是否成立举出特例。

（1）在SBC中ABC分另!J为

对应的边长a:b:c为1:1:1对应角的正弦值分别为

引导学生考察

的关系。（学生回答它们相等）

（2）在&ABC中ABC分别为

对应的边长a:b:c为1:1:

对应角的正弦值分别为

1；（学生回答它们相等）

（3）在SBC中ABC分别为

对应的边长a:b:c为1:

：2对应角的正弦值分别为

1。（学生回答它们相等）（图3）

教师：对于

呢？

学生：思考交流得出如图4在Rt

ABC中设BC=a,AC=b,AB=c,则有

又

，则

从而在直角三角形ABC中

教师：那么任意三角形是否有

呢？

借助于电脑与多媒体利用《几何画板》软件演示正弦定理教学课件。边演示边引导学

生观察三角形形状的变化与三个比值的.变化情况。

结论：

对于任意三角形都成立。

设计意图：通过《几何画板》软件的演示使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

(三)证明猜想得出定理

师生活动：

教师：我们虽然经历了数学实验多媒体技术支持对任意的三角形如何用数学的思想方

法证明

呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论每组派一个代表总结。(以下证明

过程根据学生回答情况进行叙述)

学生：思考得出

(1)在

中成立如前面检验。

(2)在锐角三角形中如图5设

（3）在钝角三角形中如图6设

同锐角三角形证明可知

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相

等即

#FormatImgID_114#

教师：还有其它证明方法吗？

学生：思考得出分析图形（图7）对于任意AABC由初中所学过的面积公式可以得出：

而由图中可以看出：

等式

中均除以

后可得

即

教师边分析边引导学生同时板书证明过程。

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高

三角形的面积：

能否得到新面积公式

学生：

得到三角形面积公式

设计意图：经历证明猜想的过程进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想力

图让学生体验数学的学习过程。

（四）利用定理解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的可题。

学生：马上得出

在

中

(五)了解解三角形概念

设计意图：让学生了解解三角形概念形成知识的完整性。

教师：一般地把三角形的三个角

和它们的对边

叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理重新解决引例让学生体会用新的知识新的定理解决问题更方

便更简单激发学生不断探索新知识的欲望。

(六)运用定理解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

(1)如果已知三角形的任意两个角与一边求三角形的另一角和另两边如

t

(2)如果已知三角形任意两边与其中一边的对角求另一边与另两角如

O

师生：例1的处理先让学生思考回答解题思路教师板书让学生思考主要是突出主体教

师板书的目的是规范解题步骤。

例1:在

中已知

解三角形。

分析已知三角形中两角及一边求其他元素第一步可由三角形内角和为

求出第三个角C再由正弦定理求其他两边。

例2:在

中已知

解三角形。

例2的处理目的是让学生掌握分类讨论的数学思想可先让中等学生讲解解题思路其他

同学补充交流。

学生：反馈练习(教科书第5页的练习)

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

设计意图：自己解决问题提高学生学习的热情和动力使学生体验到成功的愉悦感变要

我学为我要学我要研究的主动学习。

(七)尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流归纳总结。

师生：让学生尝试小结教师及B听卜充要体现：

(1)正弦定理的内容(

)及其证明思想方法。

(2)正弦定理的应用范围：①已知三角形中两隹及一边求其他元素；②已知三角形中

两边和其中一边所对的角求其他元素。

(3)分类讨论的数学思想。

设计意图：通过学生的总结培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

（八）作业设计

作业：第10页[习题1.1]A组第12题。

《正弦定理》教学设计7

一、教材地位与作用

本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角

的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常

有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正

弦定理的知识非常重要。

二、学情分析

作为高一学生，同学们已经