第1课时等差数列的前n项和公式课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时

等差数列前n项和公式学习目标1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，并能熟练应用公式进行有关计算.(重点)2.能利用等差数列前n项和的函数性质解决其前n项和的最值问题.(难点)3.会计算含绝对值的前n项和.(难点)200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？求等差数列“1,2,3,…,n,…”前100项的和高斯的算法：不同数的求和相同数的求和转化问题1：你能说出其中的原理吗？和化积情景引入问题2：你能类比这个过程求1+2+…+100+101？1+2+…+50+51+52+…+100+101=(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151[解法一]

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l

倒序相加法

知首项/末项Sn＝1＋2＋3＋…＋1Sn＝n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋

n

an=a1+(n-1)d代入知首项、末项、项数知首项、公差、项数ana1,n,d，Sn知三求二

na1a1an-a1=(n-1)dana1a1ann问题6：除了公式（2）是否还有其他推导方法吗？

知首项/公差l典例分析一、等差数列的前n项和有关计算(课本21页例6)已知数列{an}是等差数列.(1)若a1=7，a50=101，求S50；

反思感悟

跟踪训练学习笔记15页例1

在等差数列{an}中：(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；

(2)已知a1=4，S8=172，求a8和d.

跟踪训练1

在等差数列{an}中：(1)a1=1，a4=7，求S9；

(2)a3+a15=40，求S17；

l

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.一般地，对于等差数列，只要给定两个互相独立的条件，这个数列就完全确定.典例分析思考：例7如果只求公差d，你有简便算法吗？

③④④―③得

探究二、利用等差数列前n项和公式判断等差数列新知探索（教材22页）l

学习笔记15页例2

若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.当n=1时，a1=S1=-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5，经检验，当n=1时，a1=-1满足上式，故an=4n-5.数列{an}是等差数列，证明如下：因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4，所以数列{an}是等差数列.

反思感悟学习笔记16页左侧反思与感悟

若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列.延伸探究1

若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n2-3n+r-1，求r的值.延伸探究2方法一

∵Sn=2n2-3n+r-1，

①∴当n=1时，a1=S1=2-3+r-1=r-2；当n≥2时，Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)+r-1，

②①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n+r-1-[2(n-1)2-3(n-1)+r-1]=4n-5，∵{an}为等差数列，∴当n=1时，4×1-5=r-2，解得r=1.方法二∵等差数列的前n项和为没有常数项的“二次函数”，∴常数项r-1=0，即r=1.探究：根据前面所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)①d=0：Sn=a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点；②d<0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点；③d>0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点；

无最大值最小值等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________确定.大

小

知识梳理

小大注(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1.(2)Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一.学习笔记16页三、等差数列中前n项和的最值问题(课本23页例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.典例分析

(课本23页例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

反思感悟

学习笔记16页例3

在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值.跟踪训练

(多选)设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6=S9，则下列结论正确的是A.d<0B.a8=0C.S5>S6D.S7和S8为Sn的最大值跟踪训练2√√√

方法二因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S6=S9，a1>0，可得S7=S8，S7和S8为Sn的最大值，进而可得a8=0，因为a1>0，所以d<0，当n≤7时，an>0，所以a6>0，所以S5<S6.故A，B，D正确，C错误.

新知探究

解

反思与感悟

学习笔记17页跟踪训练3

已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn.

课堂小结回顾本节课的探究过程，你学到了什么？1、等差数列{an}的前n项和公式：2、求数列前n项和的一种方法：“倒序相加”法

①通项公式法

②前n项和法

随堂演练

√2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S12-S5=21，则S17等于A.17 B.34 C.51

D.68√3.已知数列{an}满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12C.13 D.12或13√4.已知数列{an}的