数列的概念与通项公式课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修第二册4.1数列的概念第四章数列知识回顾1.圆锥曲线的定义与方程2.圆锥曲线的图象与性质1.掌握数列的概念,了解数列的分类；2.掌握数列的通项公式,理解数列与函数之间的关系.学习目标问题1：数列及其有关概念。问题2：数列的分类。问题3：数列的通项公式。自学指导阅读课本2--4页，完成以下问题：在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:

75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.

2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240②

这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.这时我们就把具有确定顺序的一列数称为数列.教师点拨

数列的概念

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是

a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)简记作{an}.思考{an}与an的意思一样吗？{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….；

an表示数列{an}中的第n项.数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号123···n

···项

a1

a2

a3

···an

···

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an

，记为an=

f(n).

以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.与函数类似，我们可以定义数列的单调性：

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；

特别地，各项都相等的数列叫做常数列.教师点拨

数列的分类1.以项的个数分类：(1)有穷数列：(2)无穷数列：2.以项的变化趋势分类：(1)递增数列：

(2)递减数列：

(3)常数列：(4)摆动数列：各项都相等的数列；从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.项数有限的数列；项数无限的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0).对任意n∈N*，总有an+1<an(或an+1-an<0).从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.小组互助练习

(多选题)下列叙述不正确的是(

)A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}(n∈N*)C.数列0,1,0,1,…是常数列ABC小组互助例1

(1)已知下列数列:①4012,4016,4020,4024;其中有穷数列是

,无穷数列是

,递增数列是

,递减数列是

.(填序号)

(2)下列说法正确的有

个.

①数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8};②数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列;③-1,1,-1,1,…是常数列.①②③④①②0教师点拨数列中的项的特点与集合中元素的性质的比较(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性).(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以是除数字外的其他事物.小组互助变式1

下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;(2)所有自然数能构成数列;(3)-3,-1,1,-3,5,7,1,11是一个项数为6的数列;(4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.√×××教师点拨

数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.

例如数列：1,4,9,16,

···的通项公式是

填空：(1)2，4，

，16，32，

，128，…，通项公式为________;注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.

②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…

③不是每一个数列都能写出它的通项公式.如：1，24，8，3，19

思考数列5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240有通项公式吗？

为什么？小组互助练习

观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:3小组互助例2

根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:(1)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;

(2)当自变量x依次取1,2,3,‧‧‧时，函数f(x)=2x+1的值构成的数列;课本P52.根据数列{an}的通项公式填表:n12‧‧‧5‧‧‧‧‧‧‧‧‧nan‧‧‧‧‧‧153‧‧‧273‧‧‧3(3+4n)21336912223.除数函数(divisorfunction)y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数,例如,d(1)=1,d(4)=3.写出数列d(1),

d(2)

,‧‧‧,d(n),‧‧‧的前10项.课本P5例3

根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式:小组互助常见数列通项公式求法：(1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式；(2)分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式；(3)指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式；(4)各项符号一正一负：小组互助变式2

根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:(1)1,3,5,7,…;(5)3,33,333,3333,…;(6)-1,0,-1,0,….(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,…;(4)3,5,3,5,….4.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式:课本P5例4如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项?如果是，是第几项?小组互助小组互助

变式3

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)－49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？小组互助例5

已知数列{a