皖中名校联盟2023-2024学年（上）高三第五次联考数学试题解析版

绝密★启用前皖中名校联盟2023-2024学年（上）高三第五次联考数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={x|3x2−8x−3≤0}，N={x|y=A.[−13,12]【答案】A

【解析】【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．分别求出集合M，N，由此能求出M∩N.【解答】解：由3x2−8x−3≤0得−13≤x≤3，故M= [−13,3]2.在等差数列{an}中，若aA.4B.6C.8D.12【答案】B

【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由等差数列{an}的性质可得：2a12=a7+a17．【解答】3.若−12+32i是关于x的实系数方程A.15−35iB.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出a、b，再由复数的运算和共轭复数可得结果．【解答】解：根据一元二次方程复数根成共轭复数形式出现，则另一个复数根为−12−32i，根据韦达定理两根之积得(−12+32i)(−12−32i)=1=14.已知向量a=(−1,2)，b=(x,2)，且a与b的夹角余弦值为35A.1或2B.1或−11C.1D.−1或−11【答案】B

【解析】【分析】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题．利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵a⋅b=(−1,2)⋅(x,2)=4−x，|a|=5，|b|=x2+4，∴cos5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3A.2B.−2C.3D.−1【答案】A

【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，是基础题．根据等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式得出等差数列的基本量，可得结果．【解答】解：记等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)−5，整理得2a1+d−1=0;因为S3S6=16.已知函数f(x)=(1a)1−ax，在区间(2,3)A.(0,1)B.(0,12]C.【答案】C

【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，以及指数函数和一次函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．设t=1−ax，a>0，则f(x)=(1a)t，运用复合函数的单调性：同增异减，结合指数函数和一次函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：根据题意，函数f(x)=(1a)1−ax，令t=1−ax，由正实数a知，函数t=1−ax单调递减，因为f(x)在区间(2,3)上单调递减，则f(x)=(1a)t7.战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射后与圆x2−6x+y2A.−43或−34B.−34【答案】A

【解析】【分析】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．直接利用直线与圆的位置关系求出结果．【解答】解：根据题意，设B与点(2,3)关于y轴对称，则B的坐标为(−2,3)，则反射光线经过点B，且与圆x2−6x+y2+4y+9=0相交．设反射光线所在直线的方程为y−3=k(x+2)，即kx−y+2k+3=0，圆x2−6x+y2+4y+9=0的标准方程为(x−3)2+(y+2)2=4，则圆心为(3,−2)，半径r=2．因为弦长l=238.已知θ是三角形的一个内角，满足cosθ−sinθ=−A.−25B.−910【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanθ的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答】解：因为cosθ−sinθ=−55，两边平方得1−2sinθcosθ=15，即2sinθcosθ=45，可得(sinθ+cosθ)2= 1+ 2sinθ二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设正实数a、b满足a+b=1，则(

)A.a+b≥2B.1a+1b【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查二次函数性质和基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．利用二次函数性质和基本不等式分别判断各个选项的对错，即可得结果．【解答】解：对选项A:取a=14，b=34，A显然错误;对选项B:1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，当且仅当a=b=12时等号成立，10.已知直线l经过点(0,−1)，且一个法向量为u=(m,1)，若点A(−3,−4)，B(6,3)到l的距离相等，则实数m的可能值为A.−79B.79C.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查直线平行和点到直线的距离公式的运用，属基础题．分直线AB//l和直线AB与直线l相交两种情况求解即可．【解答】解：由直线l经过点(0,−1)，且一个法向量为u=(m,1)，可得l:mx+y+1=0，讨论：当直线AB//l时，则−m=3−(−4)6−(−3)=79，即m=−79;当直线AB与直线l相交时，则A，B在直线l的两侧，则11.若函数f(x)=13A.f′(1)=1B.f(x)有两个极值点C.曲线y=f(x)的切线的斜率可以为−2D.点(1,1)是曲线y=f(x)的对称中心【答案】BD

【解析】【分析】本题考查导数的运算，考查利用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查函数的对称性，属于中档题．A项，求导赋值可得；B项，利用导函数研究单调性再求极值；C项，研究导函数值域即可；D项，证明

f(x)+f(2−x)=2

．【解答】解：选项A，由题意得

f′x=所以

f′1=1+2f′1

，解得

f′1选项B，由

f′1=−1

，则

ff′x=x2−2x=xx−2

，由

f′x=0

得则当

x<0

或

x>2

时，

f′x>0当

0<x<2

时，

f′x<0所以

fx

在

−∞,0

和

2,+∞

上单调递增，在

0,2

则当

x=0

时，

f(x)

有极大值；当

x=2

时，

f(x)

有极小值．所以

fx

有两个极值点，B选项C，

f′x=所以曲线

y=fx

的切线的斜率不可能为

−2

，C选项D，因为

f=13所以点

1,1

是曲线

y=fx

的对称中心，D故选：BD．12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，AC1A.A1，E，O三点共线B.三棱锥A1−BCD的外接球的表面积为3πC.直线A1C与平面A1BD所成的角为45∘D.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面的位置关系，训练了多面体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，是较难题．由题意可证得A1，E，O三点都在平面A1BD与平面ACC1A1的交线上，可判断A；三棱锥A1−BCD的外接球和正方体是同一个外接球，可判断B；由题意可证得BD⊥平面ACC1A1，则直线A1C与平面A1BD所成的角为∠CA1O，根据余弦定理，求解可判断C；取D1D的中点G，因为FG//CD1//A1B，所以等腰梯形A1BFG就是过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D．【解答】解：∵O为底面ABCD的中心，∴O为BD和AC的中点，则O∈BD，O∈AC，∵BD⊂平面A1BD，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面A1BD，O∈平面ACC1A1，则点O是平面A1BD与平面ACC1A1的公共点，A1是平面A1BD与平面ACC1A1的公共点；∵AC1交平面A1BD于点E，AC1⊂平面ACC1A1，∴E也是平面A1BD与平面ACC1A1的公共点，∴A1，E，O三点都在平面A1BD与平面ACC1A1的交线上，即A1，E，O三点共线，故A正确；三棱锥A1−BCD的外接球和正方体是同一个外接球，棱长为1，∴2R=12+12+12=3，得R=32，则外接球的表面积S=4πR2=3π，故B正确；∵C1C⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥C1C，又BD⊥AC，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.写出同时满足下列条件的函数f(x)的一个解析式

.(答案不唯一) ①f(x)=f(−x); ②f(x+π【答案】f(x)=cos2x(答案不唯一【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题．根据函数奇偶性和周期性，即可得到答案．【解答】解：因为f(x)=f(−x)，故函数f(x)是R上的偶函数，又因为f(x+π2)=−f(x)，故有：f(x+π) =−f(x+π2)，即：f(x+π)=f(x)，因此函数f(x)是周期为π的函数，故满足以上条件的一个函数为：14.现有甲乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，已知AB=BC=6，A1B1=B1【答案】19

【解析】【分析】本题考查棱台的体积，属于中档题．设正四棱台的高为2ℎ，由题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，可得结论．【解答】解：设正四棱台的高为2ℎ，由AB=6,A1B1=2，正四棱台的中截面是边长为4的正方形，当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为13

当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为1当水的高度是四棱台高度的一半时用时为763故答案为19．15.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=6，BC=2，D，E分别为棱PC，PB上一点，则AE+DE的最小值为

．【答案】3+3【解析】【分析】本题考查线段长的和的最小值的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据题意，求得

∠APB=π4,∠BPC=π6

，作出将

▵PBC

沿着

PB

转动到

P,A,B,C【解答】解：因为

PA⊥

平面

ABC,BC⊂

平面

ABC

，所以

PA⊥BC

，又

AB⊥BC,AB∩PA=A,AB,PA⊂

平面

PAB

，所以

BC⊥

平面

PAB

，又PB⊂

平面

PAB

，则

BC⊥PB

．因为

PA⊥

平面

ABC,AB⊂

平面

ABC

，所以

PA⊥AB

，则

PB=23,PC=4

，所以

∠APB=如图，将

▵PBC

沿着

PB

转动到

P,A,B,C

四点共面，此时

sin过

A

作

AH⊥PC

于

H

，则

AE+DE

的最小值为AH=PA故答案为：

3+3216.已知a=(sinωx,cosωx)，b=(3cosωx,−cosωx)，ω>0，且x1，x2是函数f(x)=【答案】148π3【解析】【分析】本题考查了向量数量积的坐标运算、三角恒等变换的综合应用和正弦(型)函数的零点，是中档题．先得出f(x)=sin(2ωx−π6)−1，故f(x)=0即sin(2ωx−π6)=1，即可得到ω的值，进而得到g(x)，结合正弦函数的图象和性质即可求解。【解答】解：因为函数f(x)=a⋅b−12=3sinωxcosωx−cos2ωx−12=32sin2ωx−12cos2ωx−1=sin(2ωx−π6)−1，故f(x)=0即sin(2ωx−π6)=1，故当x1，x2是f(x)的两个零点时，|x1−x2|min为一个周期，即2π2ω=π，解得ω=1．故有g(x)=四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=15，(1)求数列{an(2)令bn=an⋅2n【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为Sn=na1+n(n−1)d2，所以S3=3a1+3d=15，S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，因为S1，S2，S4+8成等比数列，所以【解析】本题考查等差数列的通项公式，错位相减法求和，是中档题．(1)根据题意可得(2a1+d)2=a(2)由于bn18.(本小题12分)已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(a(1)求角A的大小;(2)若a=3，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD【答案】解：(1)∵3(a2−b2−c2)=2acsinB，∴由余弦定理可得−23bccosA=2acsinB，即−3bcosA=asinB，∴由正弦定理可得−3sinBcosA=sinAsinB，∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，∴−3cosA=sinA，即tanA=−3，又A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)因为a=3，A=【解析】本题考查利用正弦定理及余弦定理理解三角形，通过基本不等式求最值或取值范围，属于中等题．(1)将

3(a2−b2(2)运用等面积法先表示出

AD=bcb+c

，然后结合余弦定理以及基本不等式求解线段

AD19.(本小题12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S7=49，2a(1)证明：数列{bn−n}是等比数列，并求{a(2)已知数列{cn}满足cn=bn【答案】解：(1)依题意，设数列{an}的公差为d，因为S7=49，所以7(a1+a7)2=7a4=49，则a4=7，因为2a4=a3+9，即14=a3+9，所以a3=5，所以d=a4−a3=2，a1=a3【解析】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式以及分组(并项)法求和，属于中档题．(1)先由条件得出等差数列的基本量可得{an}的通项公式;可得bn+1−(n+1)=3(bn−n)，由等比数列可得{bn}的通项公式;(2)20.(本小题12分)已知函数f(x)=a(ln(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明：当a>0时，f(x)≤2a【答案】解：(1)显然定义域为0,+∞，f′(x)=ax−1．当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)的单调减区间是(0,+∞).当a>0时，f′(x)=a−xx，当f′x>0时,0<x<a,当f′x<0时,x>a，所以f(x)的单调减区间是(a,+∞)，单调增区间是(0,a)．综上，当a≤0时，f(x)的单调减区间是(0,+∞).当a>0时，f(x)的单调减区间是(a,+∞)，单调增区间是(0,a)．(2)由(1)可得，当x=a时，f(x)取得极大值，也是最大值，所以f(x)≤f(a)=a(lna+a)−a．设g(a)=lna−a+1，则g′(a)=1a−1，所以g(a)的单调减区间是(1,+∞)，单调增区间是(0,1)，所以【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及导数中的函数不等式，是中档题．(1)求导，对a进行讨论，根据导函数的正负判断原函数的单调性即可；(2)由(1)可得，当x=a时，f(x)取得极大值，也是最大值，所以f(x)≤f(a)=a(lna+a)−a．设g(a)=ln21.(本小题12分)已知半径为2的圆C的圆心在x轴的正半轴上，且直线l:3x−4y+4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程;(2)若Q的坐标为(−2,4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线MN的方程;(3)过点A(1,0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E，F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE=∠ABF?若存在，求点B的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，则圆C的方程为(x−a)2+y2=4，因为直线3x−4y+4=0与圆C相切，所以点C(a,0)到直线l：3x−4y+4=0的距离d=|3a+4|32+(−4)2=2，因为a>0，所以a=2，所以圆C的标准方程为(x−2)2+y2=4；(2)法1：由条件可知Q，M，C，N四点共圆，且以QC为直径，记为圆D，则D(0,2)，半径22+22=22，所以圆D的方程为x2+y2−4y−4=0，因为圆C的方程为x2+y2−4x=0，两圆方程相减可得x−y−1=0，所以直线MN的方程为x−y−1=0；法2：设M(x3,y3)，N(x4,y4)，设直线QM上任意不同于点Q，M的点为H(x,y)，根据MC⊥HQ，可得切线QM的方程为(x3−2)(x−2)+y3y=4，因为Q在直线QM上，所以−4(x3−2)+4y3=4，同理−4(x4−2)+4【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查求圆的方程，考查运算求解能力，属于中档题．(1)根据点到直线的距离与半径相等列式即可求解；(2)根据四点共圆可得圆D方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程；(3)根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解．22.(本小题12分)如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，AN