2025-2026学年《3.8圆内接正多边形》同步练习北师大版九年级数学下册【附答案】

/2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步自主达标测试题一、单选题（满分24分）1．若一个正多边形的中心角为45°，则这个正多边形的边数为（

）A．七 B．八 C．九 D．十2．若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是（

）A．45° B．60° C．90° D．180°3．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（A．8 B．9 C．10 D．124．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（

A．10° B．15° C．20° D．25°5．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A∼H代表八个方位，如图，BH与DG交于点P，则点P位于点D的（A．南偏西75°方向 B．北偏东75°方向 C．南偏西67.5°方向 D．北偏东67.5°方向6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙A．125° B．108° C．90° D．144°7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（

A．R2−rC．a=2rtan8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC．若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为（

）A．23 B．2 C．3 二、填空题（满分24分）9．如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的124，那么n的值是10．若正多边形的一个中心角为60°，边长为4cm，则这个正多边形外接圆的半径为cm11．图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为12．如图，⊙O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的长为13．如图，BE为正六边形ABCDEF的一条对角线，FH⊥BE于点H，连接AH，若正六边形的边长为2，则AH的长为

14．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，BD与AF交于点G，则∠DGF的度数是15．如图，正六边形ABCDEF的边CD、EF分别与⊙O相切于点C、F，连接OF、CO，则∠COF的度数是16．已知圆O是正方形ABCD的内切圆，M为圆O上任一点，N为OC的中点，连接MN．（1）如图1，MNMC=（2）如图2，连接MB，若AB=4，则2MB−三、解答题（满分72分）17．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距18．如图所示，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥

19．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M(1)求证：AE(2)若AF=1，求AE20．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB(1)请判断△ABD(2)若DE=13,AE=17(3)DF⊥AC于点F，试探究线段21．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1=kxk>0,x>0的图象上，边AB在

(1)判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；(2)求出直线EP：y2=ax+b22．已知⊙O的直径AB=6，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥

(1)如图1，如果AC=BD，求弦(2)如图2，如果E为弦BD的中点，求tan∠(3)连接BC，CD，DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+423．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．

(1)∠NOP(2)若OA=16，⊙①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．参考答案1．B【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键．根据正多边形的中心角计算公式为：中心角=360°÷边数，求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意可得：45°n=360°，解得：故选B．2．B【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．正八边形绕中心旋转的最小角度为360°8=45°，所有可能的旋转角度均为【详解】解：正八边形是旋转对称图形，其旋转对称角度为360°8因此，旋转后的重合角度必须满足45°×k（k选项A：45°是45°×1，符合条件；选项B：60°无法表示为45°的整数倍，不符合条件；选项C：90°是45°×2，符合条件；选项D：180°是45°×4，符合条件．综上，不可能的角度为60°，故选：B．3．B【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠AOB【详解】解：如图，设正多边形的中心为O，∵A、B、C为正多边形的顶点，∴点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ACB∴∠AOB∵360°÷40°=9，∴该正多边形的边数为9．故选：B．4．B【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可．【详解】解：∵点O是正六边形的中心，∴△AOC是正三角形，∴∠OAC又∵点O是正方形的中心，∴△AOD∴∠OAD∴∠CAD故选：B．5．D【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可．【详解】解：如图，设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接BD、OB、OG、DH，∴正八边形ABCDEFGH的中心角为360°8∴∠BOG=3×45°=135°，∴∠BDG=1∴∠BDF∴BD⊥∴点P位于点D的北偏东67.5°．故选：D．6．B【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求出∠MFN=36°，连接AF，可得∠【详解】解：连接OM，∵M，N，F分别是AE，AB，∴OM⊥AE，∴∠OMA∵正五边形ABCDE中，∠A∴∠MON∴∠MFN连接AF，由对称性可得A,在△ANO和△AM=∴△ANO∴∠NAO在△ANF和△AN=∴△ANF∴∠NFA∵ON=∴∠ONF∴∠ANF故选：B．7．D【分析】本题主要考查了圆和正多边形的结合，垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．利用垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识点逐项进行判断即可．【详解】解：如图所示，OF⊥BC，交BC于点A.由垂径定理和勾股定理可得R2B.由题意可得，∠BOC=1∴BF=由垂径定理得BC=2该选项正确，故不符合题意；C.由题意可得，∠BOC=1∴BF=由垂径定理得BC=2该选项正确，故不符合题意；D.由题意可得，∠BOC=1∴OF=即r该选项错误，故符合题意；故选：D．8．B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接OG，OA，OD，则OC=OA=OD，【详解】解：如图所示，连接OG，∵点O为正六边形ABCDEF的中心，∴OC=∴△DOC是等边三角形，∠∴OC=∵OG⊥∴OG=∴点O到AC的距离OG的长为2，故选：B．9．8【分析】此题考查正多边形内角与中心角，根据正n边形的中心角的度数为360°n，内角和为n【详解】解：正n边形的中心角的度数为360°n，内角和为n由题意可得：360°n解得：n1=8，故：n=8故答案为：8．10．4【分析】本题考查正多边形与圆的综合，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意得到该正多边形是正六边形，其的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．【详解】解：∵正多边形的一个中心角为60°，∴该正多边形的边数为360÷60=6，即该正多边形为正六边形，正六边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，∵边长为4cm∴这个正多边形外接圆的半径为4cm故答案为：4．11．5【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．延长CE交AB的延长线于点D，作FG⊥CE于点G，得到∠ADC=90°，∠FGC=∠FGE=90°，设正六边形的边长为a，则EF=CF=a,【详解】解：如图，延长CE交AB的延长线于点D，作FG⊥CE于点∴∠ADC=90°，设正六边形的边长为a，则EF=∴EG∵正六边形的一个内角为6−2×180°∴∠EFC∴∠FCG∴FG∴∴DC=5∴AD∴tan故答案为：5912．3【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆，先求出中心角，再根据勾股定理可得答案．【详解】解：连接OD,∵这个多边形是正八边形，∴∠DOE∴∠DOF在Rt△DOF中，∴DF=故答案为：3213．7【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出∠FEB=60°，由FH⊥BE可得∠HFE=30°，∠AFH【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴EF∵六边形ABCDEF是轴对称图形，∴BE是它的一条对称轴，∴∠∵FH⊥BE∴∠∴∠AFH在Rt△FHE∴EH由勾股定理得，FH在Rt△FHA中，由勾股定理得故答案为：7．14．54【分析】连接BO,CO，根据正五边形的中心角得∠BOC=360°÷5=72°，【详解】解：连接BO,∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙∴∠BOC=360°÷5=72°，∵BC=∴∠BDC则在Rt△GDW中，故答案为：54．15．120°【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F∴∠OFE∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠D在五边形OCDEF中，∠COF故答案为：120°．16．22【分析】本题是圆的综合题，考查了正方形内切圆，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，将2MB−MC（1）过点O作OF⊥BC，垂足为F．圆O半径为R，则ON=22（2）结合（1）的结论可得2MB−MC=2MB−MN，则当M在BN的延长线上时，即点B、M、N三点共线时，MB−MN有最大值，最大值为BN的长，过点N作NQ⊥【详解】解：（1）如图1，过点O作OF⊥BC，垂足为设圆O半径为R，则OF=∴OC∵N为OC∴ON∴ONOM=又∵∠MON∴△MON∴MN故答案为：22（2）由（1）可知，MN=∴2∴当M在BN的延长线上时，即点B、M、N三点共线时，MB−MN有最大值，最大值为如图2，过点N作NQ⊥BC，垂足为∴NQ∥∴△COF∴CF∵OF=BF∴BQ=3，∴BN∴MB−MN∴2MB−∴2MB−故答案为：2517．a【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积，作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出BD=CD=12BC，∠OCD=30°，求出【详解】解：作AD⊥BC于∵△ABC∴点O在AD上，a=在Rt△COD中，CD=∴a=BC=2又∵AD=∴S=∴a=23，P=63，18．见解析【分析】首先连接OC，根据垂径定理的知识，易证得Rt△OCG≌Rt△OCF，设【详解】连OA、OB、OC，如图(2)所示，

图(2)则OA=OB=∴

△OAB又OD⊥BC于F，OE⊥AC于G，由垂径定理得AG=12AC，∴

AG=∴

Rt∴S四边形即阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键．19．(1)证明见解析(2)AE的长为5【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE=∠AED=108°，从而利用平角定义可得∠FAE=∠AEF=72°，进而利用三角形内角和定理可得（2）设AE=x，利用（1）的结论可得：∠F=∠FAM=36°，从而可得FM=AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE=∠AEF=72°，从而可得FA=【详解】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE∴∠FAE=180°−∠BAE∴∠F∵AM平分∠∴∠FAM∴∠F∵∠AEM∴△AEM∴AEEF∴A（2）解：设AE=由（1）可得：∠F∴FM由（1）可得：∠FAE∴FA∵∠AME∴∠AME∴AM∴AM∴ME由（1）可得：AE∴x解得x=5−1∴AE∴AE的长为5【点睛】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的定义，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．(1)等腰直角三角形，理由见解析(2)12(3)AF+【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB=（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，证明△DAF≌△DBN与Rt△CDF【详解】（1）解：∵AB为⊙O∴∠∵CD平分∠ACB∴∠ACD∴∠ABD∴△ABD（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点

∵AB为⊙O∴∠ACB=90°，∴∠DAB∵AE∴ME∵DE∴DM∴AD∴AB∴AO（3）解：AF+如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点

∵四边形DACB内接于圆，∴∠DAF∵∠DBN∴∠DBN∵DF⊥AC，DN⊥CB∴∠AFD=∠DNB∴△DAF∴AF∵DF∴Rt∴CF∵∠FCD∴DF∴CN即AF+【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．21．(1)点E在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)y=−3【分析】（1）根据正六边形的性质得出AB=AF=23，∠FAO=60°，则OA=连接PF,PA，推出△EFP,△FAP,△ABP为等边三角形，得出P23,3，则反比例函数表达式为把（2）把E3,6，P23,3代入y2=ax+【详解】（1）解：∵六边形ABCDEF为正六边形，AB=2∴AB=AF=2∴OA=AF⋅∴F0,3，A连接PF,∵六边形ABCDEF为正六边形，∴PE=∴△EFP∴AF=∴P2把P23,3代入y解得：k=6∴反比例函数表达式为y1∵△EFP∴点E和点A关于PF对称，∴E3把x=3代入y1∴点E在该反比例函数的图象上；

（2）解：把E3,6，P26=3a+∴直线EP的解析式为：y=−∵E3,6，∴由图可知，当3<x<2【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质．22．(1)AC(2)tan(3)S【分析】（1）连接OC，根据AC=BD得出AD+CD=（2）连接BC，证明△DEF≌△BECASA，则BC=DF，EC=EF，再证明OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF（3）连接OC，由∠BOC=360n，∠AOD=∠COD=360n+4【详解】（1）解：