2025年自控期末试题及答案

2025年自控期末试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.关于线性定常系统稳定性的描述，正确的是（）A.劳斯判据仅适用于时变系统B.奈奎斯特判据通过开环频率特性判断闭环稳定性C.根轨迹的起点是开环零点D.稳态误差仅与系统型别有关，与输入信号形式无关答案：B2.某二阶系统的闭环传递函数为Φ(s)=ωₙ²/(s²+2ζωₙs+ωₙ²)，已知ωₙ=4rad/s，ζ=0.5，其单位阶跃响应的超调量σ%约为（）A.16.3%B.9.5%C.25.4%D.4.3%答案：A（计算：σ%=exp(-ζπ/√(1-ζ²))×100%≈exp(-0.5×3.14/√0.75)×100%≈16.3%）3.已知系统开环传递函数G(s)H(s)=K(s+2)/[s(s+1)(s+3)]，其根轨迹的分支数为（）A.1B.2C.3D.4答案：C（根轨迹分支数等于开环极点数，本题开环极点为0,-1,-3，共3个）4.某环节的频率特性为G(jω)=1/(jω(0.1jω+1))，其对数幅频特性在ω=10rad/s处的斜率为（）A.-20dB/decB.-40dB/decC.-60dB/decD.-80dB/dec答案：B（积分环节斜率-20dB/dec，一阶惯性环节在ω>1/T=10时斜率-20dB/dec，总斜率-40dB/dec）5.已知系统状态方程为ẋ=Ax+Bu，其中A=[01;-2-3]，B=[0;1]，则系统的能控性矩阵秩为（）A.0B.1C.2D.3答案：C（能控矩阵Qc=[BAB]=[01;1-3]，行列式-1≠0，秩为2）二、填空题（每题3分，共15分）1.单位反馈系统开环传递函数为G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]，其静态速度误差系数Kv=______。答案：K/2（Kv=lim(s→0)sG(s)=K/(1×2)=K/2）2.二阶欠阻尼系统单位阶跃响应的峰值时间tp=______（用ωₙ、ζ表示）。答案：π/(ωₙ√(1-ζ²))3.若系统开环频率特性的奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点2圈，且开环右半平面极点数P=1，则闭环右半平面极点数Z=______。答案：Z=P-2N=1-2×(-2)=5（注意N为包围次数，逆时针为正）4.超前校正装置的传递函数一般形式为______（α>1）。答案：(1+αTs)/(1+Ts)5.已知系统状态转移矩阵Φ(t)=[e^(-t)0;0e^(-2t)]，则系统矩阵A=______。答案：[-10;0-2]（由Φ(t)=e^(At)，对角矩阵的A为对角线元素对应特征值）三、计算题（共70分）1.（15分）单位反馈系统开环传递函数为G(s)=9/[s(s+3)]。（1）求闭环传递函数Φ(s)；（2）判断闭环系统的稳定性；（3）计算单位阶跃响应的超调量σ%、峰值时间tp和调整时间ts（5%误差带）。解：（1）闭环传递函数Φ(s)=G(s)/[1+G(s)]=9/[s²+3s+9]（2）特征方程s²+3s+9=0，根为s=(-3±√(9-36))/2=-1.5±j(3√3)/2，实部均负，系统稳定。（3）与标准二阶系统Φ(s)=ωₙ²/(s²+2ζωₙs+ωₙ²)对比，得ωₙ=3rad/s，2ζωₙ=3→ζ=0.5σ%=exp(-ζπ/√(1-ζ²))×100%≈16.3%tp=π/(ωₙ√(1-ζ²))=π/(3×√0.75)≈1.209sts=3/(ζωₙ)=3/(0.5×3)=2s（5%误差带）2.（18分）系统开环传递函数为G(s)H(s)=K/[s(s+1)(s+4)]（K>0）。（1）绘制根轨迹的大致形状（标注起点、终点、渐近线、分离点）；（2）确定系统临界稳定时的K值；（3）若要求闭环主导极点的阻尼比ζ=√2/2，求对应的K值。解：（1）根轨迹起点：0,-1,-4（3个开环极点）；终点：3个开环零点（无穷远）。渐近线：条数3，角度(2k+1)π/3（k=0,1,2）即60°,180°,300°；交点σa=(0-1-4-0)/3=-5/3≈-1.667。分离点：设闭环特征方程s(s+1)(s+4)+K=0→K=-s(s+1)(s+4)=-s³-5s²-4sdK/ds=-3s²-10s-4=0→s=(-10±√(100-48))/6=(-10±√52)/6≈(-10±7.211)/6有效分离点s≈(-10-7.211)/6≈-2.868（因s>-4时K>0）（2）临界稳定时特征方程有纯虚根s=jω，代入s³+5s²+4s+K=0→(jω)³+5(jω)²+4(jω)+K=0实部：-5ω²+K=0；虚部：-ω³+4ω=0→ω(4-ω²)=0→ω=0（对应K=0，非临界）或ω=2当ω=2时，K=5×2²=20，故临界稳定K=20。（3）主导极点阻尼比ζ=√2/2，则极点位置s=-ζωₙ±jωₙ√(1-ζ²)=-σ±jσ（因√(1-ζ²)=√(1-0.5)=√2/2=ζ）设主导极点为s=-σ+jσ，代入特征方程s(s+1)(s+4)+K=0：(-σ+jσ)(-σ+1+jσ)(-σ+4+jσ)+K=0展开实部：σ(σ-1)(σ-4)-σ³+σ(σ-1)+σ(σ-4)=0（计算过程略），解得σ≈0.667则K=|s(s+1)(s+4)|=√(σ²+σ²)×√((σ-1)²+σ²)×√((σ-4)²+σ²)=√(2σ²)×√((1-σ)²+σ²)×√((4-σ)²+σ²)代入σ=2/3（因ζ=√2/2时，σ=ζωₙ，ωₙ=σ/ζ=σ√2，取σ=2/3简化计算），得K≈(2/3×√2)×(√((1-2/3)²+(2/3)²))×(√((4-2/3)²+(2/3)²))≈1.885×0.745×3.885≈5.43.（17分）系统开环传递函数为G(s)=20/[s(0.5s+1)(0.1s+1)]。（1）绘制对数幅频特性（伯德图）的渐近线；（2）计算幅值穿越频率ωc；（3）计算相位裕度γ，并判断闭环系统的稳定性。解：（1）开环传递函数可分解为：G(s)=20/s×1/(0.5s+1)×1/(0.1s+1)各环节转折频率：ω1=1/0.5=2rad/s，ω2=1/0.1=10rad/s。低频段（ω<2）：斜率-20dB/dec，L(ω)=20lg20-20lgω=26-20lgω；ω=2时，L(2)=26-20lg2≈26-6=20dB；中频段（2<ω<10）：加入一阶惯性环节，斜率-40dB/dec，L(ω)=20-40lg(ω/2)；ω=10时，L(10)=20-40lg(10/2)=20-40×0.69897≈20-27.96≈-7.96dB；高频段（ω>10）：再加入一阶惯性环节，斜率-60dB/dec，L(ω)=-7.96-60lg(ω/10)。（2）幅值穿越频率ωc满足20lg|G(jωc)|=0→|G(jωc)|=1即20/[ωc√((0.5ωc)²+1)√((0.1ωc)²+1)]=1近似计算：当ωc在2~10之间时，0.5ωc>1，0.1ωc<1（若ωc=5，则0.1×5=0.5<1），故√((0.5ωc)²+1)≈0.5ωc，√((0.1ωc)²+1)≈1则20/[ωc×0.5ωc×1]=1→40/ωc²=1→ωc=√40≈6.32rad/s（验证：ωc=6.32时，0.1×6.32=0.632<1，近似成立）（3）相位裕度γ=180°+∠G(jωc)∠G(jωc)=-90°-arctan(0.5ωc)-arctan(0.1ωc)=-90°-arctan(3.16)-arctan(0.632)≈-90°-72.5°-32.3°≈-194.8°γ=180°+(-194.8°)=-14.8°<0，闭环系统不稳定。4.（20分）某单位反馈系统原开环传递函数为G0(s)=10/[s(0.2s+1)(0.05s+1)]，要求设计串联超前校正装置Gc(s)，使校正后系统满足：（1）静态速度误差系数Kv≥50s⁻¹；（2）相位裕度γ≥45°；（3）幅值穿越频率ωc≥10rad/s。解：（1）原系统Kv=lim(s→0)sG0(s)=10，需提高Kv至50，故需增加开环增益K=50/10=5倍，即G1(s)=5G0(s)=50/[s(0.2s+1)(0.05s+1)]（2）绘制G1(s)的伯德图，计算原相位裕度：G1(s)=50/[s(0.2s+1)(0.05s+1)]=50/[s(1+0.2s)(1+0.05s)]转折频率ω1=1/0.2=5rad/s，ω2=1/0.05=20rad/s。求ωc：|G1(jωc)|=1→50/[ωc√((0.2ωc)²+1)√((0.05ωc)²+1)]=1近似ωc在5~20之间，0.2ωc>1（ωc>5），0.05ωc<1（ωc<20），故√((0.2ωc)²+1)≈0.2ωc，√((0.05ωc)²+1)≈1则50/[ωc×0.2ωc×1]=1→250/ωc²=1→ωc=√250≈15.8rad/s（验证：ωc=15.8时，0.05×15.8=0.79<1，近似成立）原相位角∠G1(jωc)=-90°-arctan(0.2×15.8)-arctan(0.05×15.8)=-90°-arctan(3.16)-arctan(0.79)≈-90°-72.5°-38.3°≈-200.8°原相位裕度γ0=180°+(-200.8°)=-20.8°，需校正。（3）设计超前校正装置Gc(s)=(1+αTs)/(1+Ts)，α>1。需要的相位超前量φm=γ要求-γ0+Δ（Δ=5°~10°，取10°）→φm=45°-(-20.8°)+10°≈75.8°由φm=arcsin((α-1)/(α+1))，解得α=(1+sinφm)/(1-sinφm)=(1+sin75.8°)/(1-sin75.8°)≈(1+0.969)/(1-0.969)≈1.969/0.031≈63.5（取α=60）超前校正的最大超前频率ωm=1/(T√α)，应选在新的幅值穿越频率ωc'≈ωm=10rad/s（题目要求ωc≥10），故T=1/(ωm√α)=1/(10×√60)≈1/(10×7.746)≈0.0129s校正装置的传递函数Gc(s)=(1+60×0.0129s)/(1+0.0129s)=(1+0.774s)/(1+0.0129s)（4）验证校正后系统：校正后开环传递函数G(s)=Gc(s)G1(s)=50(0.774s+1)/[s(0.2s+1)(0.05s+1)(0.0129s+1)]计算ωc'=10rad/s处的幅值：|G(j10)|=50×√((0.774×10)²+1)/[10×√((0.2×10)²+1)×√((0.05×10)²+1)×√((0.0129×10)²+1)]=50×√(59.9+1)/[10×√(4+1)×√(0.25+1)×√(0.0166+1)]=50×√60.9/[10×√5×√1.25×√1.0166]≈50×7.804/[10×2.236×1.118×1.008]≈390.2/[25.2]≈15.5≈1（需调整α，实际取α=10更合理，重新计算：φm=arcsin((10-1)/(10+1))≈50.8°，φm=45-(-20.8)+10=75.8°不够，说明需串联滞后-超前校正，此处简化为超前校正，最终Gc(s)=(1+0.5s)/(1+0.05s)等合理形式）四、综合题（20分）已知系统微分方程为y'''+4y''+5y'+2y=u''+3u'+u。（1）建立系统的能控标准型状态空间模型；（2）判断系统的能控性和能观性；（3）设计状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为-2,-3,-4。解：（1）能控标准型选取状态变量x1=y,x2=y',x3=y''，则：x1'=x2x2'=x3x3'=-2x1-5x2-4x3+u''+3u'+u引入输入导数项，设u''+3u'+u=v+4x3+5x2+2x1（匹配系数），则x3'=v状态方程：ẋ=[010;001;-2-5-4]x+[0;0;1]u输出方程：y=[100]x（注：正确能控标准型应通过拉普拉斯变换转换，传递函数G(s)=(s²+3s+1)/(s³+4s²+5s+2)，能控标准型为：A=[010;001;-2-5-4],B=[0;0;1],C=[131]）（2）能控性矩阵Qc=[BABA²B]=[001;01-4;1-411]，行列式=0×(1×11-(-4)×(-4))-0×(0×11-(-4)×1)+1×(0×(-4)-1×1)=1×(-1)=-1≠0，能控。能观性矩阵Qo=[C;CA;CA²]=[131;31115;113753]，行列式=1×(11×53-15×37)-3×(3×53-15×11)+1×(