2025年高三数学函数与导数专项训练（附答案）

2025年高三数学函数与导数专项训练（附答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域是(A)$(-\infty,-1)$(B)$(-1,+\infty)$(C)$(-\infty,0)$(D)$(-\infty,-1]$2.若函数$f(x)=x^3-ax+1$在$x=1$处取得极值，则实数$a$的值为(A)3(B)2(C)1(D)-13.函数$f(x)=|x-1|+|x+2|$的最小值是(A)1(B)3(C)4(D)54.若函数$f(x)=e^x-ax$的导函数$f'(x)$在$x=0$处取得最小值，则实数$a$的值为(A)1(B)2(C)$e$(D)$2e$5.函数$f(x)=x-\ln(x+1)$在区间$(-1,0)$内(A)单调递增(B)单调递减(C)先增后减(D)先减后增6.若函数$f(x)=x^3+px^2+qx+r$有两个极值点，且这两个极值点关于$y$轴对称，则$p$的值为(A)0(B)1(C)-1(D)27.曲线$y=x^3-3x^2+2$在点$(1,0)$处的切线方程是(A)$y=-2x+2$(B)$y=-2x-2$(C)$y=2x-2$(D)$y=2x+2$8.若函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在区间$(a,b)$内单调递减，则实数$a,b$的取值范围是(A)$a<1<b$(B)$a<1$且$b>1$(C)$a\leq1\leqb$(D)$a\geq1$且$b\leq1$9.函数$f(x)=x\lnx$的拐点是(A)$(0,0)$(B)$(1,0)$(C)$(e,e)$(D)$(e^2,e^2)$10.若函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$(0,2)$内的零点个数为$m$，则$m$的值为(A)0(B)1(C)2(D)3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中横线上。11.若函数$f(x)=x^3-ax^2+3x-1$在$x=1$处的切线平行于直线$y=6x-5$，则实数$a$的值为________。12.若函数$f(x)=e^x-ax^2$在$x=1$处取得极值，且极值为1，则实数$a$的值为________。13.不等式$x^3-x>x-\frac{1}{x}$的解集为________。14.函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的极大值是________，极小值是________。15.若函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$(a,b)$内单调递增，且$a<0<b$，则$b$的取值范围是________。三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分13分)已知函数$f(x)=x^3-ax^2+bx+1$，其中$a,b$为实数。(1)若$f(x)$在$x=1$处取得极值，且曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=6x-5$，求$a,b$的值；(2)在(1)的条件下，求函数$f(x)$的单调区间。17.(本小题满分14分)已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$。(1)求函数$f(x)$的单调区间和极值；(2)证明：对于任意$x_1,x_2\in(0,2)$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|<3$。18.(本小题满分15分)已知函数$f(x)=e^x-ax^2$，其中$a$为实数。(1)若$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$的值；(2)在(1)的条件下，讨论函数$f(x)$的单调性；(3)若对于任意$x\in[0,2]$，都有$f(x)\geq1$，求$a$的取值范围。19.(本小题满分17分)已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$。(1)求函数$f(x)$的单调区间和极值；(2)证明：方程$f(x)=x$在区间$(0,3)$内有且仅有一个实根；(3)设$g(x)=f(x)-kx$，其中$k$为实数，若函数$g(x)$在区间$(-\infty,1]$内单调递减，求$k$的取值范围。20.(本小题满分16分)已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求函数$f(x)$的拐点坐标；(2)讨论函数$f(x)$的单调性；(3)证明：曲线$y=f(x)$在$(0,3)$内存在切线，使得该切线与直线$y=x$围成的三角形面积为$\frac{1}{4}$。试卷答案一、选择题1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.C9.B10.B二、填空题11.312.113.$(-\infty,-1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)$14.4,015.$(\frac{3}{2},+\infty)$三、解答题16.解：(1)$f'(x)=3x^2-2ax+b$因为$f(x)$在$x=1$处取得极值，所以$f'(1)=0$，即$3-2a+b=0$，①又曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=6x-5$，所以$f'(1)=6$，即$3-2a+b=6$，②由①②解得$a=-1,b=-1$。(2)由(1)知$f(x)=x^3+x^2-x+1$，$f'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$令$f'(x)>0$，得$x>\frac{1}{3}$或$x<-1$；令$f'(x)<0$，得$-1<x<\frac{1}{3}$。所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,-1)$和$(\frac{1}{3},+\infty)$，单调递减区间为$(-1,\frac{1}{3})$。17.解：(1)$f'(x)=3x^2-6x+2$令$f'(x)=0$，得$3x^2-6x+2=0$，解得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$因为$f'(x)=3(x-1)^2-1$，所以当$x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f'(x)>0$；当$1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f'(x)<0$。所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})$和$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$，单调递减区间为$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$。$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}-5}{9}$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{-2\sqrt{3}-5}{9}$所以函数$f(x)$的极大值为$\frac{2\sqrt{3}-5}{9}$，极小值为$\frac{-2\sqrt{3}-5}{9}$。(2)证明：由(1)知，函数$f(x)$在区间$(0,1+\frac{\sqrt{3}}{3})$内单调递减，在区间$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},2)$内单调递增。所以当$x\in(0,2)$时，$[f(x)]_{\max}=f(2)=2$，$[f(x)]_{\min}=f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{-2\sqrt{3}-5}{9}$所以当$x_1,x_2\in(0,2)$时，$f(x_1)-f(x_2)\leq2-\frac{-2\sqrt{3}-5}{9}=\frac{27+2\sqrt{3}}{9}$又因为$\frac{27+2\sqrt{3}}{9}<3$，所以对于任意$x_1,x_2\in(0,2)$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|<3$。18.解：(1)$f'(x)=e^x-2ax$因为$f(x)$在$x=1$处取得极值，所以$f'(1)=0$，即$e-2a=0$，解得$a=\frac{e}{2}$。(2)$f'(x)=e^x-ex$令$f'(x)=0$，得$e^x=ex$，即$e^{x-1}=x$因为$y=e^{x-1}$与$y=x$在$(0,+\infty)$内只有一个交点，所以方程$e^{x-1}=x$在$(0,+\infty)$内只有一个解，记为$x_0$。当$x\in(0,x_0)$时，$e^{x-1}>x$，即$f'(x)>0$；当$x\in(x_0,+\infty)$时，$e^{x-1}<x$，即$f'(x)<0$。所以函数$f(x)$在$(0,x_0)$内单调递增，在$(x_0,+\infty)$内单调递减。(3)因为$f(x)\geq1$对于任意$x\in[0,2]$恒成立，所以$e^x-\frac{e}{2}x^2\geq1$对于任意$x\in[0,2]$恒成立，即$e^x-1\geq\frac{e}{2}x^2$对于任意$x\in[0,2]$恒成立。令$g(x)=e^x-1-\frac{e}{2}x^2$，$g'(x)=e^x-ex$由(2)知，$g'(x)$在$(0,x_0)$内大于0，在$(x_0,+\infty)$内小于0，且$g'(0)=0$，$g'(2)=e^2-2e>0$所以$g(x)$在$[0,2]$内单调递增，所以$g(x)_{\min}=g(0)=0$所以不等式$e^x-1\geq\frac{e}{2}x^2$对于任意$x\in[0,2]$恒成立。由(2)知，当$x\in(0,x_0)$时，$f'(x)>0$，当$x\in(x_0,+\infty)$时，$f'(x)<0$所以$f(x)$在$[0,2]$内单调递增当且仅当$x_0\geq2$，即$e^{x_0-1}=x_0\geqe^2-1$令$h(x)=e^{x-1}-x$，$h'(x)=e^{x-1}-1$当$x\in(1,+\infty)$时，$h'(x)>0$，所以$h(x)$在$(1,+\infty)$内单调递增。因为$h(e^2-1)=e^{e^2-2}-(e^2-1)>0$，所以$e^{x_0-1}-x_0\geqe^{e^2-2}-(e^2-1)>0$所以$e^{x_0-1}\geqx_0$对于任意$x_0\geq2$恒成立。所以$a=\frac{e}{2}$符合题意。19.解：(1)$f'(x)=3x^2-6x+2$令$f'(x)=0$，得$3x^2-6x+2=0$，解得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$因为$f'(x)=3(x-1)^2-1$，所以当$x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f'(x)>0$；当$1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f'(x)<0$。所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})$和$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$，单调递减区间为$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$。$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})+1=\frac{2\sqrt{3}+5}{9}+1=\frac{14+2\sqrt{3}}{9}$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{-2\sqrt{3}+5}{9}+1=\frac{14-2\sqrt{3}}{9}$所以函数$f(x)$的极大值为$\frac{14+2\sqrt{3}}{9}$，极小值为$\frac{14-2\sqrt{3}}{9}$。(2)证明：由(1)知，函数$f(x)$在区间$(0,1+\frac{\sqrt{3}}{3})$内单调递减，在区间$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},3)$内单调递增。所以当$x\in(0,3)$时，$[f(x)]_{\max}=f(3)=19$，$[f(x)]_{\min}=f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{14-2\sqrt{3}}{9}$因为$19-\frac{14-2\sqrt{3}}{9}=\frac{155+2\sqrt{3}}{9}>0$，所以方程$f(x)=x$在区间$(0,3)$内至少有一个实根。又因为$f(0)=1$，$f(3)=19$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{14-2\sqrt{3}}{9}<1+\frac{\sqrt{3}}{3}<3$，由零点存在性定理知，方程$f(x)=x$在区间$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},3)$内至少有一个实根。由(1)知，函数$f(x)$在区间$(0,1+\frac{\sqrt{3}}{3})$内单调递减，且$f(0)=1$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{14-2\sqrt{3}}{9}<1+\frac{\sqrt{3}}{3}<2$，所以方程$f(x)=x$在区间$(0,1+\frac{\sqrt{3}}{3})$内没有实根。(3)$g(x)=f(x)-kx=x^3-3x^2+(2-k)x+1$$g'(x)=3x^2-6x+2-k$因为函数$g(x)$在区间$(-\infty,1]$内单调递减，所以$g'(x)\leq0$对于任意$x\in(-\infty,1]$恒成立。令$h(x)=3x^2-6x+2-k$，$h'(x)=6x-6$令$h'(x)=0$，得$x=1$因为$h'(x)$在$(-\infty,1)$内小于0，在$(1,+\infty)$内大于0，且$h(1)=-1-k$所以$h(x)$在$(-\infty,1]$内单调递减，所以$h(x)_{\max}=h(1)=-1-k$所以$-1-k\leq0$，解得$k\geq-1$所以$k$的取值范围是$[-1,+\infty)$。20.解：(1)$f'(x)=3x^2-6x$令$f'(x)=0$，得$3x^2-6x=0$，解得$x=0$或$x=2$$f''(x)=6x-6$令$f''(x)=0$，得$x=1$因为$f''(0)=-6<0$，$f''(2)=6>0$，所以$(0,1)$是曲线$y=f(x)$的一个拐区间。因为$f'(0)=0$，$f'(2)=0$，所以$(0,1)$是曲线$y=f(x)$的一个拐区间。所以曲线$y=f(x)$的拐点坐标是$(0,0)$和$(2,2)$。(2)$f'(x)=3x^2-6x$令$f'(x)=0$，得$3x^2-6x=0$，解得$x=0$或$x=2$因为$f'(x)=3(x-0)(x-2)$，所以当$x<0$或$x>2$时，$f'(x)>0$；当$0<x<2$时，$f'(x)<0$。所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(0,2)$。(3)证明：设曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$y=x$围成的三角形面积为$S$。则切线方程为$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$，即$y=3x_0^2-6x_0(x-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2=(3x_0^2-6x_0)x-2x_0^3+2$令$y=x$，得$(3x_0^2-6x_0)x-2x_0^3+2=x$，整理得$(3x_0^2-7x_0-2)x=-2x_0^3+2$解得$x=\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2}$因为$x_0\in(0,3)$，所以$x\neq0$所以切线与直线$y=x$的交点为$(\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2},\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2})$所以三角形面积$S=\frac{1}{2}\left|\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2}\right|\left|\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2}\right|=\frac{1}{2}\left(\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2}\right)^2$令$h(x_0)=\left(\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2}\right)^2$，$h'(x_0)=2\left(\frac{-2x_0^3+2}{3x_0^2-7x_0-2}\r