2025北京人大附中高一（下）期末数学(附加题)试题及答案

高中2025北京人大附中高一（下）期末数学（附加题）2025年7月8日一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题只有一项是符合题目要求的.）1.已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（）A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面2.如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（）A.1 B.2 C. D.3.在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如下图.已知该彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为（）A. B. C. D.4.如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.诸把结果填在答题纸上的相应位置.）5.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______.6.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点为正方形内（含边界）动点，若，则的最小值是_____.7.正方体的棱长为1，是棱上的一个动点，平面与棱交于点.（1）给出下列三个结论：①四棱锥的体积为定值；②四边形可能是正方形；③若在棱上存在点，使得平面，则线段；其中所有正确结论的序号是_______.（2）当点不是棱的端点时，设，，记和四边形的面积分别为，，则的取值范围是_______.三、解答题（本大题共1小题，共15分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）8.如图，在四棱锥中，面，且，，，，是的中点，.（1）求证：平面；（2）设平面平面，判断并证明与平面的位置关系；（3）判断四棱锥是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并写出球的体积；如果不存在，请说明理由.

参考答案一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】B【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得.【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为，又因为直线满足，，，，由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得，若直线为异面垂直，将两条直线平移到，一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面，同上，可以得到，综上，直线与位置关系为平行.故选：B2.【答案】C【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.故选：C.3.【答案】B【分析】求出彩球的半径，圆锥的底面半径和高，从而求出，从而得到该冰淇淋模型的高为.【详解】设彩球的半径为，则，解得，设圆锥的底面半径为，则，解得，设圆锥的高为，则，如图所示，，由勾股定理得，故该冰淇淋模型的高为.故选：B4.【答案】B【分析】证明，，进而证明四边形是平行四边形，可得E为线段的中点，分析四棱锥的底和高，可得所求几何体体积.【详解】连接，，如图，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以四边形是矩形，所以，，又，分别为AB，CD的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，又对角线，所以点E为线段的中点.连接，交EF于点N，过点作于M，由题意知，故，又，，，平面，所以平面，故，又，，平面，所以平面，即是四棱锥的高，同理可得点F为线段的中点，所以，，在中，，则，所以，因为，所以.故选：B.二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.诸把结果填在答题纸上的相应位置.）5.【答案】【分析】作出图形，分析得到中的四边形为正方形，对角线，均为等边三角形，取两个等边三角形的中心，连接，即为正方体的一条棱，并根据比例关系求出棱长.【详解】正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，如图，中的四边形对角线，且⊥，且对角线互相平分，故四边形为正方形，以各个面的中心为顶点的图形为正方体，取的中点，连接，则，均为等边三角形，取两个等边三角形的中心，连接，分别在上，且，所以即为正方体的一条棱，且.故答案为：6.【答案】【分析】作出辅助线，得到⊥平面，当点在线段上时，平面，故，求出各边长，利用余弦定理得到为钝角，则的最小值为的长度.【详解】取的中点，连接，，，故，因为⊥，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，，，所以≌，故，所以，故⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，当点在线段上时，平面，故，其中，，，，故为钝角，则的最小值为的长度.故答案为：7.【答案】①.①③；②.【分析】（1）①证明出四边形为平行四边形，求出，四棱锥的体积为定值，①正确；②得到与与垂直不能同时成立，故不可能为正方形；③分，，和四种情况，得到前三种情况满足要求，第四种不合要求，得到结论；（2）由（1）知，四边形为平行四边形，设，则，，由相似可得面积比例，表达出，故，由基本不等式求出最小值，得到答案.【详解】（1）①因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四边形为平行四边形，其中，，，所以，四棱锥的体积为定值，①正确；对于②，四边形要是正方形，对角线与要相等且垂直平分，，此时与重合，与重合，或与重合，与重合，但这两种情况下，与不垂直，故四边形不可能是正方形，②错误；对于③，当时，取的中点，连接，易知，，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，故平面平面，因为平面，所以平面，故此时点重合，满足要求；当时，此时点与点重合时，满足平面；当时，在上取点，使得，连接，则，因为平面，平面，所以平面，在上取点，使得，连接，则，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，满足要求；若时，此时点或落在的延长线上，不合要求；综上，若在棱上存在点，使得平面，则线段，③正确；故正确结论的序号为①③；（2）由（1）知，四边形为平行四边形，当点不是棱的端点时，设，则，，因为，所以，同理，所以，所以，，其中，所以,故，当且仅当时，即时，等号成立，则的取值范围为.故答案为：①③，三、解答题（本大题共1小题，共15分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）8.【答案】（1）证明过程见解析（2）与平面平行，理由见解析；（3）四棱锥存在外接球，球心的位置为的中点，球的体积为.【分析】（1）先得到，由勾股定理和等腰三角形三线合一得到⊥，从而得到线面垂直；（2）由余弦定理得到，，从而得到平面，由线面平行的性质得到，从而得到平面；（3）四棱锥是否存在外接球，取决于四边形是否有外接圆，由于⊥，，故的中点即为四边形的外接圆圆心，又面，从而确定球心的位置为的中点，并求出外接球半径和体积.【小问1详解】面，平面，所以，因为，，，由勾股定理得，又，所以，因为是的中点，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面；【小问2详解】