2023年经典高考立体几何知识点和例题理科学生用

高考立体几何知识点总结

整体知识框架:

空

间L空间几何体的结构特征一空间几何体的表面积和体积

几

何1-空间儿何体的三视图和宜观图

体

空

间

空

点

间

向

、

宜

及

线

与

立

、

平

体

面

几

位

何

置

关

系

一、空间几何体

（一）空间几何体的I类型

1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体内面,

相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2旋转体：把一种平面图形绕它所在H勺平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,

这条直线称为旋转体II勺轴，

（二）几种空间几何体的构造特性

1、棱柱的构造特性

1.1棱柱H勺定义：有两个面互相平行，其他各面都是四边

形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2棱柱的分类由114sfc+4-

'斜楼柱

①棱柱校垂―,直登杜大向足—）正棱柱

［其他棱柱…棱柱

—h曰rm"itz»-h曰汨仁nn斗nz”

四棱柱平行六面体

ZIMlJtHKT.田K日FTIZ

-------------->士FL'K“曰h+电------------------------十皿

直平仃六面体-------------------k方体--------------a正四

....转p*.W一、..

棱柱---------►正万体

性质：

I、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等;

11、两底面是全等多边形且互相平仃；

IIK平行于底面日勺截面和底面全等；

1.3棱柱的面积和体积公式

S在校柱曲j=c力（c是底周长，〃是高）

S亶梭柱表面=c•h+2s底

V校柱=S底

2、棱锥的构造特性

2.1棱锥的定义

（1）棱锥：有一种面是多边形，其他各面是有一种公共顶点口勺三角形，由这些面所围成

口勺几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：假如有一种棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，

这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2正楂锥口勺构造特性

I、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面B勺距离与顶点究

竟面的距离之比；它们面枳口勺比等于截得的棱锥口勺高与原棱锥的高H勺平方比；截得口勺楂锥的

体积与原棱锥口勺体积日勺比等于截得口勺棱锥的高与原棱锥的高日勺立方比;

II、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等口勺等腰三角形;

正棱锥侧面积：S正校椎二：c"（C•为底周长，〃'为斜高）

体积：匕殳椎=；S〃（S为底面积，〃为高）

正四面体：

对于棱长为。正四面体的问题可将它补成一种边长为二QII勺正方体问题。

2

对棱间日勺距离为上〃（正方体的I边长）

2

[72

正四面体的高行■a（=§/正方体体对角线）

正四面体的体积为夕昔/2（唳方体—4%、三枝锥二1鼻/方体）

IMD

正四面体的I中心究竟面与顶点的J距离之比为1:3（二工/正方体体对角践:彳/正方体体对角践）

正四面体的外接球半径为乂9。，外接球半径为农。，外接球半径避

4124

一个正四面体的内切球，外接球，棱切球的半径如何计算.

已知正四面体H-3CQ的棱长为々，求它的外接球半径、内切球半径、棱切球半径

解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上..

设外接球半径为火，如图（。为外接球球心，G为ABCZ）的重心）♦,

KMOCG中，0C2=0G：+CG;，即及：=（理一出＞+。，解得我二学“

内切球半--Z0哼-孚噜

?-Jia

棱切球半径为0E=JEG'OG：V12+24=-T-

3、棱台的构造特性

3.1棱台的定义：用一种平行「•底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间日勺部分称为棱

台。

3.2正棱台的构造特性

（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

（2）正棱台的两个底面和平行于底面H勺截面都是正多边形;

（3）正棱台口勺对角面也是等腰梯形；

（4）各侧棱的延长线交于一点。

4、圆柱的I构造特性

4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其他各边旋转而形成日勺曲面所围成的

几何体叫圆柱。

4.2圆柱的性质

（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；

（2）过轴的截面（轴截面）是全等H勺矩形。

4.3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。

4.4圆柱的面积和体积公式

S圆柱师=2兀•r,h（1"为底面半径,h为圆柱的J高）

S网柱全=2兀rh+2兀i2

V园柱=S底卜=兀111

5、圆锥的构造特性

5.1圆锥的定义：以直角三角形口勺一直角边所在的直线为旋顶点

转轴，其他各边旋转而形成的曲面所用成的）几何体叫做圆

锥。/轴莪面\\

..----------------------------

5.2圆锥的构造特性

,底面

（1）平行于底面口勺截面都是圆，截面直径与底面直径之

比等于顶点到截面R勺距离与顶点究竟面H勺距离之比；

（2）轴截面是等腰三角形；

⑻tu以1:

（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：

l2=r2+h2

5.3圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。

6、圆台的构造特性

6.1圆台的定义：用一种平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间日勺部分称为

圆台。

6.2圆台的构造特性

⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;

⑵圆台的截面是等腰梯形；

⑶圆台常常补成圆锥，然后运用相似三角形进行研究,

6.3圆台的面积和体积公式

S(sifriw=7i,(R+r)•1(r、R为上下底面半径)

S网台金=71•r+n•R2+71,(R+r)•1

VmA=1/3(nr2+JrR2+HrR)h(h为圆台日勺高)

7球的构造特性

7.1球日勺定义：以半圆的直径所在日勺直线为旋转轴，

半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定

点距离等于定长H勺点H勺集合叫做球面，球面所围成的

几何体称为球体。

7-2球的构造特性

⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；

⑵截面半径等于球半径与截面和球心U勺距离的平方差：F=R2—d?

★7-3球与其他多面体的组合体的问题

球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，处理此类问题日勺基本思绪是:

⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形;

⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适日勺切割面，然后做出剖面图；

⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；

⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直经等于正方体对角线；球外场正方

体，球直径等于正方体的边长。

7-4球H勺面积和体积公式

S球血=4兀R?（R为球半径）V球=4/3ITR3

练习：

1）将直角三角形绕它的一边旋转一周，形成H勺几何体一定是（）

A.圆锥B.圆柱C.圆台D.上均不对伊、J

2）用一种平面去截一种匚何体，得到的截面是四边形，这个几何体也许是（）

A.圆锥B.圆柱C.球体I）.以上都也许

3）下左一图是一种物体的三视图,根据图中尺寸（单位：cm）,计算它的体积为

EB

正初图

的福图

二、经典例题分析

例1:（几何体的侧面展开图）

如上左二图，长方体A3CO-44GQH勺长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm,一只蚂蚁从

A到G点，沿着表面爬行的最短距离是多少.

练习：1）如上右二图，四面体P-ABC中，PA=PB=PC=2,NAPB=NBPC=NAPC=30°.一只蚂蚁

从A点出发沿四面体的表面绕一周，再问到A点，问蛆蚁通过的最短旅程是________.

练习.1）已知一种几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2内圆，

则此几何体内外接球的表面积为（）

48c1632

A.一4B.-7tC.—71D.—K

3333

（三）空间几何体H勺表面积与体积

空间几何体的表面积

棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

圆柱的表面积：S=2%»+2万产圆锥的表面积：S=7irl+7rr2

圆台的表面积：S=7irl+7ir2+71RI+71球H勺表面积：S=4乃R?

扇形的面积公式S而形=嚼^=3。=；侬卜2（其中/表达弧长，厂表达半径，a表达弧度）

空间几何体的体积

柱体的体积：V=5/X/z锥体的体积：V=gs底X/?

[4

台体的体积：V=-（Si+y/S~^+SlJxh球体的体积：7炉

33

（四）空间几何体的三视图和直观图

正视图：光线从几何体日勺前面向背面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体H勺左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

★画三视图的原则：

主视图反应了物体的上、下和左、右位置关系；俯视图反应了物体的前、后和左、右

位置关系；侧视图反应了物体的上、下和前、后位置关系。

三个视图之间口勺投影关系为：正俯长相等、正侧高相似、俯侧宽同样

注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形

直观图：斜二测画法

斜二测画水平放置的平面图形的基本环节

(1)建立直角坐标系，在已如水平放置H勺平面图形中取互相垂直的Or,Oy,建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox\使NVOp=45。(或135°),

它们确定的平面表达水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于V轴，且长度保持

不变；平行于y轴的线段.在直观图中画成平行于了轴，且长度变为本来的二分之一：

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加H勺辅助线(虚线).

原视图与直观图口勺关系：=—9S原视图二2、历S直观图

S原视图4

例1、将长方体截去一种四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体II勺侧视图为)

解析：如图所示，点。的投影为点G，点。的投影为点。，点A的投影为点8

练习：

(1)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形也许是()

(2)判断；

①水平放置的正方形的直观图也许是等腰梯形

②两条相交的线段的直观图也许是平行线段

③两条互相垂直的直线日勺直观图仍然垂直

④平行四动形的直观图仍为平彳J•四功形

⑤长度相等的两线段直观图仍然相等

(3)三角形A3C是边长为1正三角形，求其直观图三角形AZ'CWj面积

(4)如图，正方形O'42cH、J边长为1,它是水平放置的一种平面图形的直观图，求原图

形日勺周长和面积

(5)如上右图,用斜二测画法作/ABC水平放置的直观图形得4ABC,其中AB=BC,AD

是BC边上H勺中线，由图形可知在/ABC中，卜.列四个结论中对的的|是()

A.AB=BC=ACB.ADIBCC.AOAD>AB>BCD.AOAD>AB=BC

空间几何体三视图（重点）

例1如图所不，某几何体的止视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体

口勺体积为（）

侧视图

>142—I

H-4-2-4-1T

俯柳图

B.973C.12小D.1873

解析：由三视图可还原几何体的直观图如图所示.此几何体可通过度割和补形口勺措施拼

凑成一种长和宽均为3,高为小的长方体，所求体积V=3x3x/=Wi

（2）一种空间几何体日勺三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

侧（左［视图

A.48B.32+8行C.48+8折D.80

（3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

侧视图

99

A.泰+12B.］兀+18

C.9兀+42D.36兀+18

【答案】（1）C（2）B

【解析】（1）由三视图可知本题所给的是一种底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱（如图

所示），因此该直四棱柱的表面积为S=2x/（2+4）x4+4x4+2x4+2xq1+16x4=48+8师.

（2）由三视图可得这个几何体是由上面是一种直径为3日勺球，下面是一种长、宽都为3、

3

高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V=Vi4-V2=1xnx^+3x3x2=17c+18,故

选B.

(3).[2023高考真题北京理7]某三棱锥的三视四如图所示，该三梭锥的表面积是

()

A.28+675B.30+675C.56+1275D.60+1275

【答案】B【解析】从所给H勺三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字

所示口勺为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理口勺计算得到

rJi力长。本题所求表面积应为三楂锥四个面的而积户和，运用垂直关系和三角形面积公

式，可得：S底=10,S后=10,s右=10,S左=6后,因此该几何体表面积

S=S底+S后+S右+S左=30+6M，

例题:

1.一空间几何体的三视图如下右图所示，则该几何体的体积为().

A.2不+26B-肌+2GC.毡D.4万+迈

33

2、上中图是一种几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的I表面积是

A.9nB.IOnC.llnD.I2n

3、若一种正三棱柱H勺体积为12右，其三视图如上左图所示，则这个正三棱柱日勺侧视图的

面积为_______

4.【2023高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为（C）

A.12KB.457TC.57nD.81TT

二、经典例题

考点一：三视图

第1题

2.若某空间几何体U勺三视四如图2所示，则该几何体II勺体积是.

招视图

第2题第3题

3.一种几何体的三视图如图3所示，则这个几何体I内体积为.

4.若某几何体的三视图1单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是

第4题第5题

5.如图5是一种几何体的三视图，若它的体积是36，则〃=.

6.已知某个几何体的三视图如图6,根据图中标出口勺尺寸（单位：cm）,可得这个几何体

日勺体枳是.

第6题第7题

7.若某几何体日勺三视图（单位:cm）如图所示,则此几何体的体积是cnr

8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m）,则该几何体的体积为

第7题第8题

9.一种空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一种圆，那么这个

几何体的侧面积为.

主视图左视图

佣视图

10.一种三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图1（）所示（单

位cm）,则该三棱柱的表面积为一

开

力孤困V

图10

11.如图11所示，一种空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一

种直径为1的圆，那么这个几何体日勺全面积为

□□

彳

主视图左视图O俯视图0---------

图

图11图12

图13

12.如图12,一种空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，的视图是一种

圆，那么几何体的侧面积为.

13.已知某几何体的俯视图是如图13所示II勺边长为2H勺正方形，主:视图与左视图是边长为2

H勺正三角形，则其表面积是

14.假如一种几何体口勺三视图如图14所示（单位长度：（、m）,则此几何体日勺表面积是

图14

15.一种棱锥的三视图如图图9-3-7,则该棱锥口勺全面积（单位：

正视图左视图俯视图

图1

二、点、直线、平面之间的关系

（一）、立体几何网络图:

1.平面的基本性质

公理1若一条直线上日勺两点在一种平面内，则这条直线上所有H勺点都在这个平面内.

公理2假如两个平面有一种公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3通过不在同一直线上口勺三个点，有且只有一种平面.

根据上面的公理，可得如下推论.

推论1通过一条直线和这条直线外一点，有且只有一种平面.

推论2通过两条相交直线，有且只有一种平面.

推论3通过两条平行直线，有且只有一种平面.

2.等角定理及其推论

定理若•种角日勺两边和另•种角的两边分别平行，并且方向相似，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行、则这两组直线所成日勺角相等.

2.空间线面的位置平

［共面•平行一没有公共点

(1)直线与直线相交一有且只有一种公共点

异面(既不平行，又不相交)

,直线在平面内一有无数个公共点

(2)直线和平面直线不在平面时平行一没有公共点

(直线在平面外)相交一有且只有一公共点

(3)平面与平面｛相交一有一条公共直线(无数个公共点)

平行一没有公共点

唯一性定理:(1)过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。

(2)过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。

（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

1、线线平行的判断措施：

I.中位线、证明平行四边形、相似边互相平行（初中H勺措施）、内错角同位角相等、平行公

理等

2.线面平行的性质、面面平行日勺性质

3.线面垂直的性质：垂直于同一平面的两直线平行。

4.向量法，证明

2、线线垂直的I判断：

1.勾股定理2.正方形、菱形、圆等特点3.等腰、等边三角形的中线4.线面垂直和面面垂直的

转化

补充：一条直线和两条平行直线中的I一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行欧J判断：假如平面外日勺一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这

个平面平行。

符号表达：aHb

a（zaOcilla（线线平行=＞线面平行）

bua

4.线面平行的性质：假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行，

5、面面平行的判断：一种平面内的两条相交直线分别平行于另一种平面,这两个平面平行。

注：垂直于同一条直线的J两个平面平行

5、面面平行的性质:

性质定理：1.假如两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们日勺交线平行。

2.两个平面平行，其中一种平面内口勺直线必平行于另一种平面。

alla

au0=>"〃〃（线面平行n线线平行）

aC0=b

★判断或证明线面平行的措施

⑴运用定义（反证法）：“2=0,则/〃a（用于判断）；

⑵运用鉴定定理：线线平行=线面平行（用于证明）;

⑶运用平面口勺平行：面面平行=线面平行（用于证明）;

（4）运用垂直于同一条直线的直线和平面平行（用于判断）。

2线面斜交和线面角：/Aa=A

2.1直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面

内射影的夹角0。

2.2线面角口勺范围：0£付。，90。］注意：当直线在平面内或者直线平行于平面

直线垂直于平面时，0=90。

4、线面垂直的判断：

鉴定定理假如一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

a,bua

aC\b=()

l<za=>/_!_a（线线垂有n线而垂直）

ILa

ILb

5.线面垂直性质：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

（线面垂直=＞线线垂宜.）

即:

（2）垂直于同一平面的J两直线平行。

即：a,b]a=b推论：a工a,a//b=b【a

6、面面垂直的判断：一种平面通过另一种平面的垂线，这两个平面互相垂直。

鉴定定理：1G（线面垂直=面面垂直）

aLp

6、面面垂直的性质：假如两个平面垂直，那么在一个平面内

垂直于交线欧I直线必垂直于另一个平面。

al.fi

”'》=＞〃_|_夕（面面垂直=＞线面垂直）

aua

aLAB

I"歹ICICffrir/n-rlr2/C

定义法：若两面垂直，则这两个平面口勺二面角的平面角为9（）。；

★判断或证明线面垂直的措施

⑴运用定义，用反证法证明。

⑵运用鉴定定理证明。

⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂更与平面。

⑷一条直线垂直于两平行平面中的一种，则也垂直于另一种。

⑸假如两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。

★1.5三垂线定理及其逆定理

⑴斜线定理：从平面外一点向这个平面所引口勺所有线段中,斜

I-VIcrMnu

线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短,

如图：PB二PCoOB=OC；PA〉PB0OA〉OB

⑵三垂线定理及其逆定理

已知PO_La,斜线PA在平面a内的射影为OA,a是平面

a内田J•条直线。

①三垂线定理：若a_LOA,则a±PAo即垂直射影则垂直斜

线。

②三垂线定理逆定理；若a_LPA,贝iJa_LOA。即垂克斜线则

垂直射影。

⑶三垂线定理及其逆定理的重要应用

RHcO―1-HrC±2011

①证明异面直线垂直；

②作出和证明二面角酎平面角:

③作点到线的垂线段，

(二)、其他定理：

(1)确定平面的条件：①不共线的三点;②直线和直线外•点;③相交直线或平行直线;

(5)最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的I角中最小的是与它在平面内射影所成内角。

(6)异面直线的鉴定：①反证法；

②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点日勺直线是异面直线。

(7)过已知点与一条直线垂直H勺直线都在过这点与这条直线垂直平面内。

(8)假如一直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面H勺交线。

考点六线面、面面关系判断题

1.已知直线1、m、平面a、B,且l_La,m<=0,给出下列四个命题：

(1)a〃B,则l_Lm(2)若l_Lm,则a〃B

(3)若。_LB,则l〃m(4)若l〃m,则a_LB

其中对时时是.

2.加、n是空间两条不一样直线，夕是空间两条不一样平面，下面有四个命题：

①mJLa,〃4,21|/?=>〃？JL〃；②mJL七a||分,0=〃||尸；

③m±621|/7,m||or=>/?±/?;④m_La,0||夕n〃_L夕；

其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)。

5.有关直线m、n与平面仪与夕，有下列四个命题：

①若m/1a,nH。旦a"0,则〃?〃〃；②若机_La,〃J■/且a_L/，则〃z_L〃；

③若机_La,〃〃/且a〃/7,则m_L〃；④若〃_L/7且a_L/，则〃〃/〃；

其中真命题的序号是.

练习

I.判断下面命题时对H勺H勺是

平行于同一直线的两平面平行.垂直于同一平面的两直线平行.

平行于同一平面的两直线平行.垂直于同一直线的两平面平行.

平行于同一平面的两平面平行.垂直于同一平面的两平面平行.

2空间不重叠的I三平面可以把空间提成一部分,正方体六个面所在平面把空间提成_部分.

3若是异面直线，b,c是异面直线，则a,c的位置关系是()

A.相交，平行或异面B.相交或平行C.异面I).平行或异面

4设Ac表达两条直线口,健达两个平面，下列命题中对的的是

A.若〃ua,c〃a,则人〃cB.若〃ua,〃〃c,则。〃a

C.若c〃a,c_Lp,则a_L/?D.若c〃a,aJ■以则cu/?

5设〃?,〃是两条不一样日勺直线，a，B是两个不一样的平面，下列命题对的用勺是（）

A,若m±〃,mLa,nil〃，则a///?B,若mHa,n///7,a//ft,则加〃〃

C,若inLa,nilP，allP厕m±nD.若mHn,mHa,n//0,则allP

6设。步是两条直线,a,4是两个平面，则能推出alb的一种条件是（）

A.tz±aybllp.a±pB.tz±a,b1p.allp

C.aua力_L⑸a〃户aa,b!/p,a1.p

9已知根，〃为两条不一样的直线，a、B为两个不一样日勺平面，则卜.列命题中对时的是（）

A.冽ua,力u%优//£，力〃4=>a//£B.aHB>mua>nuB=mHn

C.mla,mLn^>n//aD.m//n.n1am1a

10已知两条直线〃，两个平面。，夕，给出卜面四个命题：

Q）m//77,m_Lan〃JLa②a/l/3、mua,nu/3=mMn

③mHn,mHa=n"a④aH/3,mHn、mLannIP

其中对的命题H勺序号是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

11设有直线相，〃和平面a,下列四个命题中，对的的是（）

A.若m〃a,n//a，则m//nB.若mua,nua,m〃P,n〃P，则a//P

C.若aJL0,mua，则ml/?D.若a_L夕,m_L夕,m（Za,则m〃a

12设a,〃是两个不一样叫平面，/是一条直线，如下命题对的的是（）

A.若/_La,a民则/u夕B.若/〃则/u£

C.若/I.a,a〃。,则110D.若/〃a,a_L〃,则/_L〃

13已知直线和平面a,下述推理中对的附有:

aLbaflballa

广〕>=a_L8②8_La>=a*a③>=6_La④…，>=a*b

buaaLabHa

14如下左图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60。角；④DM与BN垂直;

以上四个命题中，对的1命题的序号是()

A.®®®B.②④C.③④D.②③④

练习：下左二图是一种正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

(DAB与石尸所在直线平行；(2M8与C。所在直线异面；

⑶MN与8尸所在直线成60°；⑷MN与CD所在直线垂直;其中对H勺命题H勺序号是.

D

考点四平行与垂直的证明

1.正方体ABCD-A|B|GD，AA=2,E为棱CQ的中点.

(I)求证：B,D1±AE；

(II)求证：AC〃平面四。石；

(III)求三棱锥A-BDE内体积.

2.已知正方体A8CO—A,B|G。，。是底ABC。对角线的J交点.

求证：(1)G。〃面AqA；(2)ACJL面ASQ.

3.如图，B4_L矩形A5CO所在平面，M、N分别是AB和尸C的中点.

(I)求证：〃平面PA。；

(11)求证：MN上CD；

(III)若NPD4=45,求证：削_1_平面28.

4.如图，在五面体ABCDEF中，FA_L平面ABCD,

AD//BC//FE,AB1AD,M为EC的中点，

N为AE於J中点，AF=AB=BC=FE=-AD

2

(I)证明平面AMD_L平面CDE：

(II)证明8N〃平面CDE；

5.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面4BCQ垂

直，已知菱形A8CO中/ADC=60°,M是附的中点，。是。C中点.

(1)求证：0M〃平面PC8；(2)求证:%_LC£＞；

(3)求证:平面以B_L平面COM.

7.如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧

棱尸。_1_底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EFA.PB

交PB于点F.

(1)证明公〃平面EDB；(2)证明尸8_L平面EFD

异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★

1.求异面直线所成的角〃w（O。,90。］：

1.定义法：解题环节：一找（作）：运用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条

直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同步平移至某一特殊位置。常用中位线

平移法二证：证明所找：作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线

平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的）角；

2.向量法求异面直线所成的角：若异面直线小成J方向向量分别为小b,异面直线所成

"勺角为仇则cos0=|cos如，力尸惴

2求直线与平面所成的角。e［0。,90。］：关键找“两足”：垂足与斜足

1.定义法：解题环节：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理

H勺应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线

面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

2,向量法：求出平面的法向量”,直线U勺方向向量设线面所成的角为仇则sin夕=|cos〈〃,

办一间14

3求二面角的平面角0e［0,乃］

解题环节：一找：根据二面角的平面角的I定义，找（作）出二面角的平面角；二证：

证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计

算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

2.向量法求二面角：求出二面角a—/一/的两个半平面〃与夕的法向量小，，?2,若二面角

一/一1所成册J角夕为锐角,则cos0=|cos<711，M2）|=「扃;

若二面角1一/一4所成口勺角夕为钝角，则cos8=一|cos0?|,〃2〉1=一|；；舄

五、距离的求法：

（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段日勺长、点与线、面间的

距离是点到线、面垂足间线段日勺长。求它们首先要找到表达距离的线段，然后再计算。

注意：求点到面的距离的措施：

①直接法：直接确定点到平面口勺垂线段长（垂线段一般在二面角所在口勺平面上）；

②转移法：转化为另一点到该平面啊距离（运用线面平行口勺性质）；

③体积法：运用三棱锥体积公式。

（2）线线距离：有关异面直线的距离，常用措施有：

①定义法，关键是确定出的公垂线段；

②转化为线面距离，即转化为a与过〃而平行于。口勺平面之间的距离，关键是找出或构造出

这个平面；③转化为面面强离；

（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常互相转化；

例题：如图所示,已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为JI,底面边长为石，后是S4H勺中点厕异

面直线3七与SC所成角的大小为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

C

AB

2正方体A3co-A力。D中，异面直线CQ和8C'所成的角的度数是.

7.如图7,在正方体ABCD-ABC"中，后尸分别是A4,CQ中点，求异面直线/叫与所

所成角的角.

考点二体积、距离、角等问题

I.正棱锥口勺高和底面边长都缩小本来的则它的J体积是本来的______________.

2

2.已知圆锥的母线长为8,底面周长为6-则它的体积是L

3.如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为JL底面边长为JLE是SA的中点,

则异面直线BE与SC所成角的大小为.

第3题

4.如图9-1-4,在空间四边形43CO中，ACA.BDAC=皿）,E/分别是AB、CD的中点,

则EF与AC所成角的大小为.

5.如上右三图在正三棱柱48C-A4G中，=则直线C片与平面相由8所成角的正

弦值为.

6如图9-36在正方体ABCD—AIBIC1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成日勺角的正

切值为，

图9-3-6图9-3-1图7

7.如图9-37,已知AA3C为等腰直角三角形，P为空间一点,且AC=8C=5\/5,PCJ_4C,

PC工BC,PC=5,4?附中点为"，贝iJ/股与平面所成的角为

8.如图7,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,0是底面AiB£iDi的中心,则。到平

面ABCiDi的距离为.

9.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面日勺距离是4cm,则该球的体积是

10.长方体ABC。-AqGA的8个顶点在同一种球面上，且AB=2,AD=JLAAl=\,

则顶点A、B间的球面距离是.

11.已知点A,B,C,D在同一种球面上，A8J.平面8cO,BC1CD,若

A8=6,AC=2，m,AZ)=8,则B,C两点间的球面距离是.

12.在正方体ABCD—AiBiCDi中，M为DDi的中点，0为底面ABCD的中心，P为棱

AiBi上任意一点，则直线0P与直线AM所成的角是.

13.AABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是

30°和45°,若AB=3,BC=4A/2,AC=5,则AC与a所成的角为.

14.矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一种直二面角B—AC-D,

则四面体ABCD的外接球的体积为.

15.已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为彳万，则正方体的棱长为.

16.一种四面体的所有棱长都为正，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.

考点五异面直线所成的角，线面角，二面角证明

1.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PO_L底面

ABCD,PO=A。.求证：(I)平面以C_L平面P8。；

(2)求PC与平面P8O所成日勺角：

2.如图所示，已知正四棱钺S—ABCD侧棱长为J5,底面边长为百，E是SAU勺中点，则异

面直线BE与SC所成角的大小为

5.如图，在底面为平行四边形的四楂锥P—ABCD中，48■LAC,尸A_L平面ABCD,mPA

=AB,点E是PDlT、J中点.(1)求证：AC1PB.(2)求证：PB〃平面AEC；

(3)若PA=AB=AC=4,求三棱锥E-ACD的体

积；(4)求二面角E—AC—DU勺大小.

立体几何中的向量措施(理科)

例题：如图，直四棱柱48CD—4BGD1的高为3,底面是边长为4且N。48=60。的菱形,

ACQBD=O,4CiD8iDi=0i,E是。小日勺中点.

(1)求二面角。1一8。一。的大小;

(2)求点E到平面。归C的距离.

解(1)平面，C,

OOi±OA,OO\±OB,又。4J.08

建立如图所示的空间直角坐标系(如图)

•・•底面A8C。是边长为4,/048=60。的菱形,

/.OA=2y/3,OB=2,

则4(2石，0,0),8(0,2,0),C(—260,0),

Ch(0,0,3)

设平面。18CI向法向量为〃]=(x,y,设，

则4JLQB,%・・・123'-3Z=°,则z=2,则x=-6,y=3,

1-2氐-3z=0

〃[=(--\/3,3,2),而平面AC的法向量(0,0,3)

cos<〃],n2>=*-°=1,

I/?iI-In2I3x42

设。1—8C—。的平面角为a,.•.cosanl".a=60。.故二面角01—8。一。为60°.

2

(2)设点E到平面Q8C的距离为d•・•£是54的口点，・•・£•«=(—JL0,；),

3

则d=\EOi^\=1(~^，0，寸(-"，孙=3.••点E到面aBC日勺距离等于-.

7(-V3)2+32+2222

例题：如图，在四面体ABCD中，

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2.

(1)求证：AO_L平面8CQ；

(2)求异面直线A3与。。所成角的余弦值；

<3)求点E到平面ACD的距离.

⑴证明连结OC

BO=DO、AB=ADyAO_LBD.

vBO=DO,BC=CD,COLBD.

在AAOC中，由已知可得AO=1,CO=J5.

而AC=2,AO2+CO2=AC2,

/./AOC=90",即AOIOC.

•・•BDC\OC=O,・•・AO1平面BCD.

⑵解以。为原点，如图建立空间直角坐标系,

则Wdo,o)C。,。』),吗当

,0).R4=(-