第24章 圆期末复习（知识清单）（学生版）-人教版(2024)九上

第二十四章圆【知识点01】圆的有关性质1.圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做，线段OA叫做。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于的点组成的图形。确定圆的条件：（1）；（2）。圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过的每一条直线都是它的对称轴；（2）圆是以圆心为对称中心的。2.圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做（例如：右图中的CD）。备注：（1）是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧等弧的概念：或，能够的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中叫做优弧。劣弧的概念：叫做劣弧。3.垂径定理垂径定理：于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧。4.圆心角、圆周角的概念（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在或中，如果两个、两条、两条或两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。（2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的。（即：圆周角=1推论1：同弧或等弧所对的。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系1.点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。2.三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆：与三角形的都相切的圆叫做三角形的内切圆。（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。3.直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离无交点；（2）直线与圆相切有一个交点；（3）直线与圆相交有两个交点；4.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端∴是⊙的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线【知识点03】正多边形和圆1.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴∴2.圆内正多边形的计算（1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，.【知识点04】弧长和扇形面积1.扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积2.扇形与圆柱、圆锥之间联系（1）圆柱：①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【易错一】求某点的弧形运动路径长度1.易错总结：易混淆弧长公式中圆心角的单位，若用弧度制，公式为l=ar（a为圆心角弧度数）；若用角度制，公式为l=nπr180（n2.注意事项：确定圆心角大小时，要结合点的运动轨迹，准确找到对应的圆心角，同时注意半径r的取值是否正确，保证弧长计算的两个关键要素无误。例题：（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为．

【易错二】求图形旋转后扫过的面积1.易错总结:易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不准确，导致面积计算错误。2.注意事项:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半径，再结合相应面积公式计算。例题：如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为．（结果保留π）【易错三】求其他不规则图形的面积1.易错总结:易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。2.注意事项:仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为．【易错四】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题1.易错总结:一是容易忽略“圆周角为90度”这一前提条件，在普通圆周角情况下错误使用该定理得出弦是直径的结论；二是在复杂图形中，无法准确识别出90度圆周角所对应的弦，导致不能有效利用该定理解决问题。2.注意事项:首先要牢记定理使用的前提是圆周角为90度；其次，面对复杂几何图形时，仔细观察角的度数标注和图形结构，通过辅助线等方式，精准定位90度圆周角及其所对的弦。例题：如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且．(1)求证：．(2)若，点C为的中点，求的半径．【易错五】与圆有关的新定义型问题1.易错总结:易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。例题：（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．①的度数为________；②连接，若的半径为5，求线段的长；【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由．一、单选题1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（）A． B． C． D．2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（）A． B． C． D．3．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（

）A．6 B．8 C． D．二、填空题4．（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为．5．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为．（结果保留）6．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为．三、解答题7．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若．(1)求证：是的切线；(2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点顺时针旋转．使得点与延长线上的点重合，点与点重合，连接．(1)三角板旋转了______度；(2)求的度数；(3)若，求旋转过程中点经过的路径长．9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．(1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个；(2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，．①当时，求度数；②如图③，当，时，求阴影部分的面积．10．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形