2025秋季新版八上数学期末压轴计算题特训

2025秋季新版八上数学期末压轴计算题特训1、如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝155°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝50°．解：∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．解：∠DAB+∠CAE＝120°，∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE＝∠DAC+∠BAE＝120°（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．解：∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β2、如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝70度；解：∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；解：∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；解：∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为110°．解：∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°3、已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y（用含x、y的代数式表示）；解：∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．解：如图1，延长DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，∴∠CDE＝∠CBF，又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝x+y，∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=12如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，得∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+1＝180°−12y∴∠DFB=12y解方程组：x+y=140°1解得：x=40°②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．解：当x＝y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．4、[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°说明∠P＝90°+1∵BP、CP是△ABC的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°−1∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+1请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180°．（2）结合图①，写出说明∠M＝90°−1[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为25度．解：∵BM、CM是△ABC的外角平分线，∴∠3=12∠EBC，∠4∴∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣2∠4，∴∠A+（180°﹣2∠3）+（180°﹣2∠4）＝180°，∴∠3+∠4＝90°+1∵∠3+∠4+∠M＝180°，∴∠M＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°【拓展延伸】∵CQ平分∠ACD，∴∠1=1∵BQ平分∠ABC，∴∠2=1∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），∵∠1＝∠2+∠Q，∴∠Q＝∠1＝∠2，∴∠A＝2∠Q，即∠Q=15、已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．（1）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠BDC＝100°；解：在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，∴∠BAC＝180°×2∠ABC＝180°×1∠ACB＝180°×6∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝60°+40°＝100°（2）在旋转过程中，如图2，当α＝10°时，DE∥AC；当α＝100°时，DE⊥AC；解：当DE∥AC时，∠BDE＝∠A＝40°，∵∠E＝90°，∠F＝60°．∴∠EDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴α＝40°﹣30°＝10°，即当α＝10°时，DE∥AC；当DE⊥AC时，即DE与AC成90°的角，∠EDB＝90°+∠A＝130°，∴α＝130°﹣30°＝100°，即当α＝100°时，DE⊥AC（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．①此时，α的取值范围是70°＜α＜100°；解：当DE与CD重合时，α为最小值，∵∠BDE＝∠A+∠ACD＝100°，∴α＝100°﹣30°＝70°；当DF与CD重合时，α为最大值，此时α＝100°，∴70°＜α＜100°②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．解：∠CMD+∠CND＝90°，理由如下：如图，连接MN，∵∠MCN＝∠ACB＝120°，∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣∠MCN＝60°，在△DMN中，∠DMN+∠DNM＝180°﹣∠MDN＝150°，∴∠CMD+∠CND＝150°﹣60°＝90°．6、如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=13∠ACD，∠FDO（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；解：在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°，∴∠OCD＝45°，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝135°，∵∠ACE=1∴∠ECD=2∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝90°，∵∠FDO=1∴∠CDF=2∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝40°（2）若n＝75，则∠F＝50°．解：若n＝75°，则∠F＝50°；∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝75°，∠CDO＝x，∴∠OCD＝105°﹣x，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝75°+x，∵∠ACE=1∴∠ECD=23∠ACD=2∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝130°−2∵∠FDO=1∴∠CDF=23∠CDO∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝50°（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠