《多元统计分析》（第6版）课件 第2章 均值向量和协方差阵的检验

2025/12/15中国人民大学1第2章均值向量和协方差阵的检验

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§2.1均值向量的检验§2.2协方差阵的检验§2.3有关检验的上机实现2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心2第2章均值向量和协方差阵的检验

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在一元统计中,关于正态总体N(μ,σ2)的均值μ和方差σ2的各种检验,已给出了常用的z检验、t检验、F检验和检验等。对于包含多个指标的正态总体Np(μ,Σ),各种实际问题同样要求对μ和Σ进行统计推断。例如,要考察某工业行业的生产经营状况、今年与去年相比指标的平均水平有无显著差异,以及各生产经营指标间的波动是否有显著差异,需做检验：2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心3第2章均值向量和协方差阵的检验

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关于μ和Σ的各种形式的假设检验构成了本章的内容。本章的很多内容是一元的直接推广,但由于多指标问题的复杂性,本章将只列出检验用的统计量,主要详细介绍如何使用这些统计量做检验,对有关检验问题的理论推证则全部略去。本章最后还将介绍有关检验的上机实现。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心4

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§2.1均值向量的检验§2.1.1一个指标检验的回顾§2.1.2多元均值检验§2.1.3两总体均值的比较§2.1.4多总体均值的检验2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心5

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§2.1.1一个指标检验的回顾2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心6

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§2.1.1一个指标检验的回顾2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心7

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§2.1.1一个指标检验的回顾2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心8

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§2.1.2多元均值检验2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心9

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§2.1.2多元均值检验2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心10

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§2.1.2多元均值检验

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§2.1.2多元均值检验（１）协方差阵Σ已知

§2.1.2多元均值检验

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§2.1.2多元均值检验（2）协方差阵Σ未知此时Σ的无偏估计是，类似于式（2.3）的统计量是：

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§2.1.2多元均值检验因而，在备择假设成立时，的值有变大的趋势，所以拒绝域可取为值较大的右侧部分。因此，当给定显著性水平后，由样本的数值可立即算出值，当时，便拒绝零假设

。分布的5%及1%的分位点已列成专表，由网上下载，为的上分位点。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心15

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§2.1.2多元均值检验由§1.5，将统计量乘上一个适当的常数后，便成为F统计量，也可用F分布表获得零假设的拒绝域。即

在实际工作中，一元检验与多元检验可以联合使用，多元的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各指标之间的关系和差异，能帮助我们找出存在差异的侧重面，提供了更多的统计分析信息。

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§2.1.3两总体均值的比较在许多实际问题中，往往要比较两个总体之间的平均水平有无差异。例如，两所大学新生录取成绩是否有明显差异；研究职工工资总额的构成情况，若按国民经济行业分组，就是例如要研究工业与建筑业这两个行业之间，是否有明显的不同之处；同理，可按工业领导关系（中央、省、市、县属工业）分组；也可按工业行业分组。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心17

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§2.1.3两总体均值的比较组与组之间的工资总额构成有无显著差异，本质上就是两个总体的均值向量是否相等，这类问题，通常也称为两样本问题。两总体均值比较的问题，又可分为两总体协方差阵已知、未知但相等与两总体协方差阵未知且不等三种情形。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心18

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§2.1.3两总体均值的比较1.协方差阵相等且已知的情形

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§2.1.3两总体均值的比较1.协方差阵相等且已知的情形

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§2.1.3两总体均值的比较1.协方差阵相等且已知的情形

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§2.1.3两总体均值的比较2.协方差阵相等但未知的情形

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§2.1.3两总体均值的比较2.协方差阵相等但未知的情形

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§2.1.3两总体均值的比较

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§2.1.3两总体均值的比较

3.协方差阵不相等情形

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§2.1.3两总体均值的比较3.协方差阵不相等情形

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§2.1.3两总体均值的比较3.协方差阵不相等情形

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§2.1.3两总体均值的比较3.协方差阵不相等情形

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§2.1.4多总体均值的检验在许多实际问题中，我们要研究的总体往往不止两个。例如，要对全国的工业行业的生产经营状况做一比较时，一个行业可以看成一个总体，此时要研究的总体就达几十甚至几百个之多。这类问题的研究就需要多元方差分析的知识。多元方差分析是一元方差分析的直接推广，为了易于理解多元方差分析的方法，我们先回顾一元的方差分析。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心29

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§2.1.4多总体均值的检验假设r个总体的方差相等，要检验的假设就是2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心30

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组内平方和§2.1.4多总体均值的检验这个检验的统计量与下列平方和密切相关组间平方和总平方和式中是第K组的均值是总均值2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心31

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§2.1.4多总体均值的检验

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§2.1.4多总体均值的检验2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心33

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§2.1.4多总体均值的检验用类似于一元方差分析的办法，前面所述的三个平方和变成了矩阵，形式如下：很显然W=B+E关于的检验可用WilksΛ分布,再化为F分布,详细参考1.5节

H0:μ1=μ2=…=μr,

H1:至少存在i≠j,使得μi≠μj(2.18)

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§2.2协方差阵的检验§2.2.1检验§2.2.2检验2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心35

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§2.2协方差阵的检验上面讨论了多元正态分布均值的检验。但这仅仅研究了问题的一个方面，倘若要进一步深究不同总体相对平均水平（均值）波动的幅度，前面介绍的方法就无能为力了。本节所介绍的协方差阵的检验可以解决该类问题2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心36

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§2.2.1检验是样本协方差阵，关于统计量M的推证过程见参考文献[1]。

H0:Σ=Σ0,

H1:Σ≠Σ0

(2.20)检验假设式(2.20)所用的统计量是其中2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心37

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§2.2.1检验2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心38

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§2.2.2检验上面讨论的检验，是帮助我们分析当前的波动幅度与过去的波动情形有无显著差异。但在实际问题中，我们往往面临多个总体，需要了解这多个总体之间的波动幅度有无明显的差异。例如在研究职工工资构成时，若按工业行业分组，就有采掘业、制造业、文化教育、金融保险等，不同行业2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心39

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§2.2.2检验间工资总额的构成存在波动，研究波动是否存在显著的差异，就是做行业间协方差阵相等性的检验。用统计理论来描述就是：设有r个总体，从各个总体中抽取样品如下：2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心40

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§2.2.2检验

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§2.2.2检验

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§2.2.2检验

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§2.2.2检验

SPSS的GLM模块可以完成多元正态分布有关均值与方差的检验。依次点选Analyze→GeneralLinearModel→Multivariate…进入Multivariate对话框.具体参照例题2-1p292025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心44

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§2.3有关检验的上机实现2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心45

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§2.3有关检验的上机实现例2-1

为了对比分析我国东部、中部、西部地区的经济社会发展水平,分别选取2022年这三个地区的17个省会城市,并以地区生产总值、一般公共预算收入、住户存款余额、社会消费品零售总额、年末实有公共汽(电)车营运车辆、执业(助理)医师人数这6项评价指标来衡量这些地区的经济社会发展水平。6项指标的具体数据如表2-1所示(数据来源于2023年《中国统计年鉴》)。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心46

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§2.3有关检验的上机实现地区城市地区生产总值(亿元)一般公共预算收入(亿元)住户存款余额(亿元)社会消费品零售总额(亿元)年末实有公共汽(电)车营运车辆(辆)执业(助理)医师人数(人)东部地区济南120271001102264878742543984南京169081558130787832831440610杭州1875324511959972941017457455福州1230869990294680510027807广州28839185526480102981504668687中部地区太原557143777621761253326282郑州129351131113935223671753576合肥1201390979585022431732743武汉188661505139246936994347652长沙13966120297035236971236782南昌720445857503012377319597西部地区呼和浩特332923133721060275012867成都2081817222240390361477880610昆明754150573913385595735771西安11487834145054642927246744兰州334422145691598307815572乌鲁木齐389331546481033450316733表2-12025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心47

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§2.3有关检验的上机实现

在SPSS软件的数据窗口依次定义变量,并输入以上数据。表2-1的数据中,不同的地区可以看作不同的总体,因此数据分别来自3个总体,样本容量分别为5个、6个、6个。下面尝试对3个地区的经济社会发展水平进行比较。

在进行比较分析之前,首先要对各数据是否遵从多元正态分布进行检验。然而,遗憾的是,多元正态性检验在常见的统计软件中并不容易实现。在实际工作中,往往借助考察每一个变量的结果来对向量的分布做出判断,并且当数据量较大且没有明显的证据表明所得数据不遵从多元正态分布时,

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§2.3有关检验的上机实现

通常认为数据来自多元正态总体。SPSS软件提供了对单变量进行正态性检验的功能。

对上述数据,在SPSS数据窗口依次点选Analyze→DescriptiveStatistics→Explore进入Explore对话框,可以看到所有变量名及变量标签均出现在左边的列表框中,将地区生产总值、一般公共预算收入、住户存款余额、社会消费品零售总额、年末实有公共汽(电)车营运车辆、执业(助理)医师人数6个变量选入DependentList框中,点击右侧的Plots按钮进入Plots2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心49

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§2.3有关检验的上机实现对话框,选中Normalityplotswithtests复选项以输出有关正态性检验的图表,点击Continue继续,点击OK运行,则可得到如下结果(见输出结果2-1,其他输出结果略)。

Kolmogorov-SmirnovaShapiro-WilkStatisticdfSig.StatisticdfSig.地区生产总值.11417.200*.94117.335一般公共预算收入.13317.200*.93817.292住户存款余额.15317.200*.90717.091社会消费品零售总额.15417.200*.95317.501年末实有公共汽(电)车营运车辆.12317.200*.91817.136执业(助理)医师人数.09017.200*.96117.646输出结果2-1TestsofNormality*.Thisisalowerboundofthetruesignificance.a.LillieforsSignificanceCorrection2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心50

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§2.3有关检验的上机实现

此表给出了对每个变量进行正态性检验的结果,因为该例中样本量较小,而Kolmo-gorov-Smirnov检验适用于样本量较大的情形,所以此处选用Shapiro-Wilk统计量。由Sig.值可以看出,在0.05的显著性水平下,所有变量均遵从正态分布。因此,下面分析中认为6个变量组成的随机向量服从六元正态分布(尽管事实上也许并非如此)。为了简化输出结果,下面仅对正态性检验最不显著的3个变量——地区生产总值、社会消费品零售总额、执业(助理)医师人数进行比较,这3个指标是衡量地区经济社会发展水平最重要的指标,可以对地区2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心51

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§2.3有关检验的上机实现经济社会发展水平做出近似度量。

SPSS的GeneralLinearModel模块可以完成多元正态分布有关均值与方差的检验。首先,依次点选Analyze→GeneralLinearModel→Multivariate,进入Multivariate对话框,将地区生产总值、社会消费品零售总额、执业(助理)医师人数3个变量选入DependentVariables框,将地区选入FixedFactor(s)框,点击OK运行,则可得到如下结果(见输出结果2-2)。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心52

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§2.3有关检验的上机实现

N地区

东部地区5西部地区6中部地区6

输出结果2-2

Between-SubjectsFactorsEffect

ValueFHypothesisdfErrordfSig.InterceptPillaisTrace.84121.144b3.00012.000.000

WilksLambda.15921.144b3.00012.000.000

HotellingsTrace5.28621.144b3.00012.000.000

RoysLargestRoot5.28621.144b3.00012.000.000地区PillaisTrace.5291.5586.00026.000.199

WilksLambda.4901.712b6.00024.000.161

HotellingsTrace1.0001.8346.00022.000.139

RoysLargestRoot.9594.157c3.00013.000.029MultivariateTestsaa.Design:Intercept+地区b.Exactstatisticc.ThestatisticisanupperboundonFthatyieldsalowerboundonthesignificancelevel.2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心53

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§2.3有关检验的上机实现

上面第一张表是分别来自三个地区的样本数据个数。第二张表是多变量检验表,该表给出了几个统计量,由Sig.值可以看到,在Roy,sLargestRoot统计量下,三个地区的综合经济社会发展水平有显著差异。实际上,GeneralLinearModel拟合了下面的模型:

Y=β0+β1X+ε式中,Y=(地区生产总值,社会消费品零售总额,执业(助理)医师人数)';X为地区。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心54

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§2.3有关检验的上机实现

输出结果2-2中的第二张表是多变量检验表,它实际上是对该线性模型显著性的检验结果,此处有常数项β0是因为不能肯定模型过原点。模型通过了显著性检验,意味着地区对Y有显著影响,即不同地区的经济社会发展水平是不同的。

输出结果2-3给出了每个指标的分析结果,同时给出了每个指标的方差来源,包括校正模型、截距、主效应(地区)、误差及总的方差来源,还给出了自由度、均方、F统计量及Sig.值。其中,第三列给出了用TypeⅢ方法计算的偏差平方和。SPSS软件给出了4种计算偏差平方和的方法,可以根据2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心55

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§2.3有关检验的上机实现可以根据方差分析中是否存在交互效应及设计是否平衡等不同情况选择不同的计算方法。此处只有一个因素即地区,使用默认方法即可。由结果中的Sig.值可以看出,三个地区在地区生产总值、社会消费品零售总额、执业(助理)医师人数上差异均未达到统计学显著水平,说明随着近年来国家西部大开发以及乡村振兴战略的实施,各地区的差距正在逐步缩小。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心56

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§2.3有关检验的上机实现SourceDependentVariableTypeⅢSumofSquaresdfMeanSquareFSig.CorrectedModel地区生产总值242332884.696a2121166442.3483.147.074

社会消费品零售总额35239139.467b217619569.7332.864.091

执业(助理)医师人数539567403.692c2269783701.846.722.503Intercept地区生产总值2697273425.05212697273425.05270.062.000

社会消费品零售总额421147813.6331421147813.63368.452.000

执业(助理)医师人数26342596136.269126342596136.26970.461.000地区地区生产总值242332884.6962121166442.3483.147.074

社会消费品零售总额35239139.467217619569.7332.864.091

执业(助理)医师人数539567403.6922269783701.846.722.503Error地区生产总值538980076.8331438498576.917

社会消费品零售总额86133828.533146152416.324

执业(助理)医师人数5234062715.36714373861622.526

Total地区生产总值3370541150.00017

社会消费品零售总额525885996.00017

执业(助理)医师人数31667459224.00017

CorrectedTotal地区生产总值781312961.52916

社会消费品零售总额121372968.00016

执业(助理)医师人数5773630119.05916

输出结果2-3TestsofBetween-SubjectsEffectsa.RSquared=.310(AdjustedRSquared=.212)b.RSquared=.290(AdjustedRSquared=.189)c.RSquared=.093(AdjustedRSquared=-.036)2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心57

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§2.3有关检验的上机实现

虽然三个地区所研究的指标在整体层面上未达到统计学显著水平,但在实际工作中,我们往往也希望知道各指标之间是否存在差异,即哪些地区的经济发展水平存在显著差异。对此,可以在GeneralLinearModel主对话框中选择Contrasts,点击进入Contrasts对话框,在下方ChangeContrast框中,打开Contrast右侧的下拉框并选择Simple,此时下侧的ReferenceCategory被激活,默认是Last被选中,表明第一个和第二个地区均与第三个地区做比较;若选中First,则分别将第二、三个地区与第一个地区做比较。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心58

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§2.3有关检验的上机实现点击Change按钮,Continue继续,OK运行即可。或者,也可在Multivariate主对话框中点击EMmeans按钮,进入EMmeans对话框,在上方EstimatedMarginalMeans框架中,把地区选入右边DisplayMeansfor框中,则可输出不同地区各指标的均值,选中下方的Comparemaineffects复选框,则输出不同地区各指标比较的结果。还可在Multivariate主对话框中点击Options按钮,进入Options对话框,在下方的Display框架中提供了很多可选的统计量或中间结果,选中Homogeneitytests复选项进行各地区数据2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心59

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§2.3有关检验的上机实现协方差阵相等的检验,点击Continue继续,OK运行。选择第二、三种操作得到的输出结果如下(见输出结果2-4)。BoxsM24.172F1.355df112df2859.781Sig..182输出结果2-4Box’sTestofqualityofCovarianceMatricesaTeststhenullhypothesisthattheobservedcovariancematricesofthedependentvariablesareequalacrossgroups.a.Design:Intercept+地区2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心60

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LeveneStatisticdf1df2Sig.地区生产总值BasedonMean.312214.737BasedonMedian.172214.844BasedonMedianandwithadjusteddf.172211.981.844Basedontrimmedmean.244214.787社会消费品零售总额BasedonMean.519214.606BasedonMedian.485214.626BasedonMedianandwithadjusteddf.485211.449.628Basedontrimmedmean.480214.628执业(助理)医师人数BasedonMean1.370

214.286BasedonMedian1.041214.379BasedonMedianandwithadjusteddf1.0412

9.068.392Basedontrimmedmean1.360214.289Teststhenullhypothesisthattheerrorvarianceofthedependentvariableisequalacrossgroups.a.Design:Intercept+地区§2.3有关检验的上机实现Levene’sTestofEqualityofErrorVariancesa2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心61

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§2.3有关检验的上机实现

上面第一张表是协方差阵相等的检验结果,检验统计量是Box,sM,由Sig.值可以认为三个地区(总体)的协方差阵是相等的。第二张表给出了每个变量对应各地区的误差方差是否相等的检验结果,结果显示:在0.05的显著性水平下,地区生产总值、社会消费品零售总额、执业(助理)医师人数方差在地区间均没有显著性差异。

输出结果2-5给出了各地区三个指标的描述统计量的估计,此处不再具体说明。输出结果2-6给出了不同地区各指标的多重比较与检验及检验的可信性统计量。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心62

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§2.3有关检验的上机实现由第一张表可知,在0.05的显著性水平下,东部地区与西部地区在地区生产总值、社会消费品零售总额上存在显著差异,而中部地区与东、西部地区在地区生产总值、社会消费品零售总额上差异均不显著。特别值得一提的是,在执业(助理)医师人数上,三个地区之间差异均不显著,说明我国医疗保障逐步均衡。

第二张表是对上面多重比较可信性的度量,由Sig.值可以看出,比较检验是可信的。2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心63

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§2.3有关检验的上机实现DependentVariable地区MeanStd.Error95%ConfidenceIntervalLowerBoundUpperBound地区生产总值东部地区17767.0002774.83611815.56823718.432

西部地区8402.0002533.0672969.11113834.889

中部地区11759.1672533.0676326.27817192.055社会消费品零售总额东部地区6996.4001109.2724617.2499375.551

西部地区3459.0001012.6221287.1425630.858

中部地区4531.6671012.6222359.8096703.524执业(助理)医师人数东部地区47708.6008647.09929162.41766254.783

西部地区34716.1677893.68517785.89551646.438

中部地区36105.3337893.68519175.06253035.605输出结果2-5Estimates2025/12/15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心64

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§2.3有关检验的上机实现DependentVariable(I)地区(J)地区MeanDifference(I-J)Std.ErrorSig.b95%ConfidenceIntervalforDifferencebLowerBoundUpperBound地区生产总值东部地区西部地区9365.000*3757.146.0261306.72417423.276中部地区6007.8333757.146.132-2050.44314066.110西部地区东部地区-9365.000*3757.146.026-17423.276-1306.724中部地区-3357.1673582.298.365-11040.4324326.098中部地区东部地区-6007.8333757.146.132-14066.1102050.443西部地区3357.1673582.298.365-4326.09811040.432社会消费品零售总额东部地区西部地区3537.400*1501.961.034316.0156758.785中部地区2464.7331501.961.123-756.6