2026高考总复习优化设计二轮用书数学课后习题专题突破练专题突破练23　切线与公切线问题含答案

2026高考总复习优化设计二轮用书数学课后习题专题突破练专题突破练23切线与公切线问题含答案专题突破练23切线与公切线问题必备知识夯实练1.(2025广东惠州模拟)曲线f(x)=12x2-2在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(A.π6 B.πC.3π4 2.(2025安徽合肥模拟)已知曲线f(x)=lnx+ex在点(1,f(1))处的切线与直线x-ay=0垂直,则a=()A.1+e B.1C.-1-e D.-13.(2025山东青岛模拟)过点P(1,-1)作曲线f(x)=x3-x的切线,不同的切线条数为()A.0 B.1 C.2 D.34.(2025江西赣州模拟)函数f(x)=12lnx图象上的点P到直线y=x2的最短距离为(A.2 B.2C.55 D.5.(2025山东济宁模拟)已知函数f(x)=x2-3x,x∈[0A.8x+y-40=0B.4x+y-12=0C.8x-y-72=0D.x+4y-22=06.已知函数f(x)=2x2e2+ex,g(x)=3lnx,若直线l与曲线y=f(x)及y=g(7.(2025河北石家庄模拟)若曲线f(x)=ax2与g(x)=lnx+1在公共点处存在公共的切线,则a=.

8.(2025浙江金华模拟)若直线mx-y+2m-6=0是曲线f(x)=x3-x的切线,则m的值可以是.(写出一个值即可)

9.(2025山东济南模拟)若曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切线,则1a+1关键能力提升练10.(2025宁夏石嘴山三模)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=lnx,若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,则a的取值范围是()A.0,12C.12e311.(2025河南周口二模)将曲线f(x)=ln1x绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则tanα=(A.-2e B.-eC.-2e D.-e12.(2025山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数在该点处的切线的直线,称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线,则称该直线为两个函数的“公法线”.函数y=2x-x2与函数y=1+ex+1的“公法线13.(2025浙江强基联盟一模)在动画和游戏开发中,相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线,且曲线不重合,则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=22x相切,则a=核心素养创新练14.(多选题)(2025辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A,B处的切线完全重合,则称直线AB为曲线y=f(x)的“自公切线”,f(x)为“自公切线函数”,则下列选项正确的是()A.函数f(x)=x2+ex是“自公切线函数”B.函数f(x)=x-cosx是“自公切线函数”C.曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1D.曲线f(x)=x3+16x的“自公切线”方程为y=8

答案：1.B解析因为f(x)=12x2-所以f'(x)=x,则f'(1)=1.设切线的倾斜角为α,则tanα=1,又α∈[0,π),所以α=π4.故选2.C解析由f(x)=lnx+ex,得f'(x)=1x+ex即f'(1)=1+e,即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为1+e.又曲线的切线与直线x-ay=0垂直,可得a≠0,所以1a(1+e)=-解得a=-1-e.故选C.3.C解析由题意设切点坐标为(x0,x03-x0),易知x0≠1.因为f'(x)=3x2-1,所以切线斜率3x02-1=x03-x0+1x0-1,又x0≠1,化简可得2x03-3x02=0,解得x4.C解析设与直线y=x2平行且与曲线f(x)=12lnx因为f'(x)=12x,所以解得x0=1,则切点坐标为(1,0).最短距离为点(1,0)到直线y=x2的距离,即d=121+5.A解析当x∈(0,2]时,f'(x)=2x-3,当x∈(6,8]时,f(x)=2f(x-2)=8f(x-6),则f'(x)=8f'(x-6),所以f(7)=8f(1)=-16,f'(7)=8f'(1)=-8,则所求切线方程为y-(-16)=-8(x-7),即8x+y-40=0.故选A.6.3x-ey=0解析设切点为(x0,y0),由f得2解得x0=e,y0=3lnx0=3,故切线方程为y-3=3e(x-即3x-ey=0.7.e2解析函数f(x)=ax2与g(x)=lnx+1的导数分别为f'(x)=2ax与g'(x)=设公共点坐标为(x0,y0),则y0=ax02,y0=ln又2ax02=1,故lnx0=-即x0=e-12,8.11或2(写出其中一个即可)解析设切点为(t,t3-t),f'(x)=3x2-1,f'(t)=3t2-1,所以切线方程为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),整理得y=(3t2-1)x-2t3,由mx-y+2m-6=0,得y=mx+2m-6,所以m消去m,化简得(t-1)(t+2)2=0,解得t=1或t=-2,则m=3-1=2或m=3×4-1=11,所以m的值为2或11.9.2解析(ex-a)'=ex,(ln(x+b))'=1因为曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线的斜率为e0=1,故曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x-0+e0-a=x+1-a.设该直线与曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切点坐标为(m,ln(m+b)),则1m+b=1,故m=1-b,故切点坐标为该切点在直线y=x+1-a上,故0=1-b+1-a,即a+b=2,故1a+1b=12(a+b)(1a+1当且仅当a=b=1时,等号成立,故1a+110.C解析设公切线与曲线y=f(x)、曲线y=g(x)相切的切点分别为(t,at2+1),(x0,lnx0),而f'(x)=2ax,g'(x)=1x,易验证当t=x0时不符合题意,所以有2at=1x0=at又a>0,则t>0,消去x0,得at2-ln(2at)-2=0.令函数h(t)=at2-ln(2at)-2(t>0),由曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,得函数h(t)有两个不同的正零点.h'(t)=2at-1t=2at2-1t,当0<t<12a时,h'(t)<0;函数h(t)在0,12a内单调递减,在12a,+∞内单调递增,h(t)min=h而当t从大于0的方向趋近于0时,h(t)→+∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,则当且仅当-12ln(2a)-32<0,即a>12e3时,函数h所以a的取值范围是1故选C.11.D解析根据题意,曲线f(x)=ln1x绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则y=tan3π2-α·x是曲线f(x设切点坐标为(x0,-lnx0),又由f'(x)=-1x,即切点处切线的斜率满足tan3π把切点坐标代入方程y=tan3π2-α·x,得-lnx0=-1x0·故tan3π2-α=-1e,所以sin3π2-αcos3π12.x+y-1=0解析易验证对y=2x-x2来说,当x=0或x=1由y=2x-x2求导得y'=1-则曲线y=2x-x2在点(a,2a-a2)(0<a≤2,且a≠1)处的法线方程为y-2a-a2=-2a-a21-a(x-a),由y=1+ex+1求导得y'=ex+1,则法线斜率为-1ex+1,则曲线y=1+ex+1由“公法线”得-2a-a21-a=-1eb+1,a2所以“公法线”的一般式方程为x+y-1=0.13.38解析由题意可知,两抛物线y=x2+a与y2=22设两条抛物线相切于点(x0,y0),抛物线y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0,抛物线y2=22x在第一象限的图象为函数y=22x在第一象限的图象,曲线y=2所以有2x0=12221x0,解得x0=2所以切点为2-32,12,代入y=x14.BCD解析若f(x)为“自公切线函数”,则f'(x)在某区间内不单调,由f(x)=x2+ex,得f'(x)=2x+ex,因为f'(x)在R上单调递增,故f(x)=x2+ex不是“自公切线函数”,故A错误;因为f(x)=x-cosx,所以f'(x)=1+sinx,当x=2kπ(k∈Z)时,f'(2kπ)=1,f(2kπ)=2kπ-1,则曲线f(x)在点(2kπ,2kπ-1)(k∈Z)处的切线方程为y-2kπ+1=x-2kπ(k∈Z),即y=x-1,所以f(x)=x-cosx是“自公切线函数”,故B正确;当x≥0时,f(x)=-x2+2x,则f'(x)=-2x+2,当x<0时,f(x)=-x2-2x,则f'(x)=-2x-2,所以f'(1)=f'(-1)=0,f(1)=f(-1)=1,所以曲线f(x)在点(-1,1)和点(1,1)处的切线方程均为y=1,即曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1,故C正确;因为f(x)=x3+16x,x≠所以f'(x)=3x2-16x2,x则f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,令h(x)=3x2-16x2,x≠0,则h'(x)=6x+32x3,当x>0时,h'(x)>0,当x<0时,h'(所以h(x)即f'(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,所以必存在x1,x2,且x1≠x2≠0,使得f'(x1)=f'(x2),且x1+x2=0,不妨设两切点分别为A(x1,x13+16x1),B(因为f(x)=x3+16x,x≠则f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,又x1+x2=0,所以切点A,B关于原点对称,且切线的斜率k=f'(x1)=kAO=kBO,又f'(x1)=3x12-16x1所以3x1整理得x14=16,解得x1=2或x1=-2,取A(2,16),B(-2,-16),则故曲线f(x)=x3+16x的“自公切线”方程为y=8x,故D正确.故选BCD.专题突破练24必备知识夯实练1.(2025湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-2cosx,则f(22),f(log132),f(log23)的大小关系是(A.f(log132)<f(log23)<f(2B.f(log132)<f(22)<f(logC.f(log23)<f(log132)<f(2D.f(22)<f(log23)<f(log12.(2025山东菏泽二模)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-bxx2-a在R上单调递增,则b-aA.0 B.1 C.1e 3.(多选题)(2024新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则()A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心4.(2025湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x+cosx,若f(lnx)<f(1),则实数x的取值范围是.5.(15分)(2025广东广州模拟)已知函数f(x)=2lnxx+(1)求函数f(x)的极值;(2)设t>0,求函数f(x)在区间[t,2t]上的最大值.关键能力提升练6.(15分)(2025广东江门一模)已知函数f(x)=ln(|x|+a)+b|x|.(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=-1时,求函数f(x)的极值.7.(17分)(2025浙江杭州二模)已知函数f(x)=xex-12ax2-ax(a∈R)(1)若a=0,求f(x)的极小值;(2)当a>1e时,求f(x(3)当a>0时,设f(x)的极大值为g(a),求证:g(a)≥-2e核心素养创新练8.(17分)(2025山东青岛、淄博二模)函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,导函数分别为f'(x),g'(x),若在定义域内均有f'(x)≤g'(x),则称y=f(x)是y=g(x)的“DT—函数”.(1)判断y=-x3-x是否为y=cosx的“DT—函数”,并证明;(2)设y=f(x)和y=h(x)为定义在R上的函数,已知f(-x)=f(x),g(x)=h(x)+h(-x),f(x)是g(x)的“DT—函数”,证明:g(x)-f(x)=c(c为常数);(3)若-1<a<0,f(x)=xlnx-(a+2)x,g(x)=ex+a(x-2),x>0,证明:f(x)是g(x)的“DT—函数”.

答案：1.A解析当x∈R时,f(-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cosx=f(x),所以f(x)为偶函数.又f'(x)=2x+2sinx,当x>0时,令g(x)=2x+2sinx,则g'(x)=2(1+cosx)≥0,所以f'(x)在(0,+∞)内单调递增,所以f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,f(log132)=f(-log32)=f(log又0<log32<1,log23>1,log23<log24=2<22,所以f(log132)<f(log23)<f(22故选A.2.B解析由题意,函数f(x)=(x-a-1)ex-bxx2-a导函数为f'(x)=ex+(x-a-1)ex-[bx2-a+bx2]=因为函数f(x)在R上单调递增,所以f'(x)=(x-a)(ex-b)≥0在R上恒成立,所以a=lnb,即b=ea,故b-a=ea-a.令g(a)=ea-a,则g'(a)=ea-1,令g'(a)>0,则a>0,令g'(a)<0,则a<0,所以g(a)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,所以g(a)min=g(0)=1,所以b-a的最小值为1.故选B.3.AD解析由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;任何三次函数不存在对称轴,C错误;f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.4.(0,e)解析因为f(x)=x+cosx,所以f'(x)=1-sinx≥0,所以函数y=f(x)在R上单调递增,所以f(1)>f(lnx),等价于lnx<1,x故实数x的取值范围是(0,e).5.解(1)因为f'(x)=2-则由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减,故当x=e时,f(x)有极大值f(e)=2e+1,无极小值(2)由(1)知当2t≤e且t>0,即0<t≤e2时,f'(x)>0在[t,2t]上恒成立,函数f(x)在[t,2t]所以f(x)max=f(2t)=ln2tt当t<e<2t,即e2<t<e时,当x∈(t,e)时,f'(x)>0,当x∈(e,2t)时,f'(x)<所以函数f(x)在(t,e)内单调递增,在(e,2t)内单调递减,所以f(x)max=f(e)=2e+当t≥e时,f'(x)≤0在[t,2t]上恒成立,函数f(x)在[t,2t]上单调递减,所以f(x)max=f(t)=2lntt+综上,当0<t≤e2时,f(x)max=ln2当e2<t<e时,f(x)max=2e当t≥e时,f(x)max=2lntt+6.解(1)由a=0,得函数f(x)=ln|x|+b|x|,易知其定义域为{x|x≠0},由f(-x)=ln|-x|+b|-x|=f(x),得函数f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=lnx+bx,显然当b≥0时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,当b<0时,求导可得f'(x)=1x+b=bx+1x,令f'(x)=0,解得当0<x<-1b时,f'(x)>当x>-1b时,f'(x)<所以函数f(x)在0,-1b内单调递增,在综上,当b≥0时,函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增;当b<0时,函数f(x)在-∞,1b与0(2)由a=-1,得函数f(x)=ln(|x|-1)+b|x|,可得|x|-1>0,解得x<-1或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),易知函数f(x)为偶函数.当x>1时,函数f(x)=ln(x-1)+bx,当b≥0时,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,此时无极值;当b<0时,求导可得f'(x)=1x-1+b=bx-b+1x-1,令f'(x)=0,解得x=b-1b>1,当1<x<b-1b时,f'(所以函数f(x)在1,b-1b内单调递增故函数f(x)的极大值为fb-1b=b-1-由函数f(x)为偶函数,则当x<-1时,函数f(x)的极大值为f1-bb=b-1-综上,当b≥0时,函数f(x)无极值;当b<0时,函数f(x)的极大值为b-1-ln(-b),无极小值.7.(1)解由题意知f'(x)=ex(x+1)-ax-a=(ex-a)(x+1)(a∈R).若a=0,则f(x)=xex,所以f'(x)=ex(x+1).令f'(x)=0,得x=-1.当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调递增,所以f(x)的极小值等于f(-1)=-1(2)解因为a>1e,所以lna>-1由f'(x)>0,即(ex-a)(x+1)>0,解得x<-1或x>lna,所以f(x)在(-∞,-1)和(lna,+∞)内单调递增,由f'(x)<0,即(ex-a)(x+1)<0,解得-1<x<lna,所以f(x)在(-1,lna)内单调递减,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(lna,+∞).(3)证明当a>1e时,由(2)知,f(x)的极大值为f(-1)=g(a)=-1e+12当a=1e时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,f(x)无极大值当0<a<1e时,由f'(x)>0,得x<lna或x>-1,由f'(x)<0得lna<x<-1,所以f(x)在(-∞,lna)和(-1,+∞)内单调递增,在(lna,-1)内单调递减,所以f(x)的极大值为f(lna)=g(a)=-12a(lna)令g(x)=-12x(lnx)2(0<x<1e所以g'(x)=-lnx12当x∈0,1e2时,g'(x)<0,当x∈1e2所以g(x)在0,1e2内单调递减,所以g(x)≥g1e2综上,g(a)≥-28.(1)解显然两个函数的定义域均为R.由函数y=-x3-x,可得y'=-3x2-1,由y