第16章 整式的乘法期末复习（知识清单）（解析版）-人教版(2024)八上

第十六章整式的乘法知识点一同底数幂的乘法1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）.知识点二幂的乘方1.幂的乘方法则：(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.幂的乘方法则逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点三积的乘方1.积的乘方法则：(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.知识点四整式的乘法1.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知识点五同底数幂的除法1.(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.2.零指数幂：（a≠0）负指数幂：（a≠0，p是正整数）知识点六乘法公式1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.易错点1幂的混合运算易错1.符号规则易混淆负数的幂运算需先定符号：当指数为偶数时，结果为正；指数为奇数时，结果为负。注意-an与(-a)n区别：前者是an的相反数，后者是a的n次幂。2.运算法则易混用先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内，不可颠倒顺序。同底数幂相乘（am*an=am+n）、相除（am÷an=am-n）与幂的乘方（(am)n=amn）法则勿混淆。例1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算：【答案】【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可．【详解】解：．易错点2含零指数运算易错1.底数取值易忽略限制零指数幂的核心前提是底数不为0，即a0=1（a≠0）。若忽略此条件，直接计算00，结果无意义，这是最常见错误，需先判断底数是否为0，再进行运算。2.符号与底数界定易混淆当底数含负号时，需先明确底数范围，如(-2)0=1（底数-2≠0，符合条件），但-20=-1（此时底数是2，先算20=1，再取相反数），勿将负号归为底数导致结果错误。例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可．【详解】．易错点3利用幂的运算求代数式的值易错1.法则逆用易忽略指数关系逆用同底数幂乘法（am+n=am×an）、幂的乘方（amn=(am)n）时，常忽略指数拆解合理性。如已知a2=3，求a6，需拆为(a2)3，而非错误拆成a4×a2（未知a4），需先观察所求指数与已知指数的倍数或和差关系。2.符号与整体代换易出错若底数含负号，代换时需保留符号，如(-a)3=-a3，勿漏负号；整体代换（如求(a2)3-(a3)2）时，需先分别运算再相减，避免直接合并指数导致计算失误，确保每步遵循运算法则。例3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值．（2）已知n为正整数，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．（1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可；（2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可．【详解】解：（1）∵，∴，；（2）∵，∴．易错点4求完全平方式中的字母系数易错1.忽略“±”符号致漏解完全平方式有两种形式：(a±b)2=a2±2ab+b22.误判“a”“b”对应关系当式子含字母系数的平方项时，易混淆a、b。例4．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为．【答案】或【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，利用完全平方公式计算即可得．【详解】解：是一个完全平方式，∴，，，解得：或，故答案为：或．易错点4利用乘法公式简便运算易错1.公式选择与适用条件易混淆需先判断运算类型匹配公式：如遇两数和（差）的平方用完全平方公式，遇两数和乘差用平方差公式，勿混淆。2.符号与系数计算易失误用完全平方公式时，勿漏中间项符号或系数的2倍；用平方差公式时，确保两数“一同一反”，若为(3-2a)(2a-3)，需先变形为-(2a-3)^2，再计算，避免符号错误导致结果偏差。例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用完全平方公式进行计算，即可作答．（2）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答．（3）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．易错点5整式运算中的无关问题易错1.忽略“合并同类项”步骤致误解决与某字母无关的问题，核心是让该字母的系数为0。常因未彻底合并同类项，直接判断系数。如化简3x^2+(m+2)x-5-mx^2，需先合并x^2项得(3-m)x^2、x项得2x，再令3-m=0求m，若漏合并直接分析，会得出错误结果。2.混淆“无关字母”与“常数项”易误将不含无关字母的项当作需消去的部分。例如“式子与x无关”，只需消去所有含x的项（让其系数为0），常数项无需处理。如式子(2k-1)x+3与x无关，仅需2k-1=0，勿错误地让常数项3也为0，导致求解偏差。例5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义，如．(1)若，求x的值；(2)若的值与x无关，求值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键．（1）根据定义得出，进行求解即可；（2）根据题意得出，求出的值即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，整理得，；（2）解：∵值与x无关，∴解得，∴．易错点6整式运算的中的新定义型问题易错1.未吃透新定义规则致错解新定义问题需先逐字分析规则，明确运算符号、优先级及限制条件，忌凭经验套用旧公式。如定义“a※b=2a^2-3ab”，计算“3※(-2)”时，需将a=3、b=-2完整代入，勿漏2a^2的系数2或错算-3ab的符号，避免因规则理解不全导致运算偏差。2.忽略整式性质与新定义结合新定义运算常需结合整式化简、同类项合并等知识，易忽略二者衔接。如定义“A△B=(A-B)+2A”，化简“(2x^2)△(x^2-1)”时，需先按定义展开得(2x^2-x^2+1)+4x^2，再合并同类项，勿直接省略化简步骤，导致结果未达最简或出错。例6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”．(1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)；(2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由．【答案】(1)，(2)是，理由见解析【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减；解决本题的关键是根据“圆满数”的定义解决问题．（1）因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以是关于的“圆满数”，，是关于的“圆满数”，据此解答；（2）因为，，所以，如果结果是，我们称是关于的“圆满数”，如果不是，不是关于的“圆满数”．【详解】（1）解：因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以，即是关于的“圆满数”，，所以是关于10的“圆满数”．故答案为：，．（2）因为，,所以，即，所以是关于的“圆满数”．易错点7利用乘法公式求解几何图形问题易错1.几何量与公式对应易混淆需先明确图形边长、面积等几何量，再匹配乘法公式。如求正方形面积，若边长为a+b，用完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，勿错用平方差公式；求长方形面积，若长、宽为x+y和x-y，才用平方差公式，避免因几何量与公式不匹配导致计算错误。2.忽略图形关系致条件遗漏解题时需先分析图形间的和差、倍数关系，再代入公式。如两个正方形边长差为2、面积差为24，需设边长为a和a-2，用平方差公式a^2-(a-2)^2=24求解，勿漏边长关系直接套用公式，确保先建立几何量联系，再用公式计算。例7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是______．(2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：．【答案】(1)(2)①3；②【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）①利用平方差公式将，再代入计算即可；②将原式化为，再连续利用平方差公式即可．【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，面积为，，故答案为：；（2）解：①；②．9．（21-22八年级上·广东东莞·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________；(2)观察图2请你写出之间的等量关系是______；(3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值；(4)变式应用：若，求．【答案】(1)；；(2)(3)或(4)【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．（1）根据图形直接列代数式即可；（2）从整体和个体两方面分析大正方形的面积解答；（3）代入（2）中结论计算即可；（4）设，得，，再结合（2）中结论解答即可．【详解】（1）解：如图1，面积为，如图2，阴影部分的面积为，故答案为：；；（2）解：由图2可知：大正方形的面积为，或，，故答案为：；（3）解：根据（2）中的结论，可得：，把，代入，，故或；（4）解：设，

，，

，，，，，

．故的值为．一、单选题1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列四个算式中正确的有（

）①；②；③；④．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则依次分析即可得到结果．【详解】解：①，故该选项错误；②，故该选项正确；③，故该选项正确；④，故该选项错误；正确的有②③，共个，故选：C．2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（）A． B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键．【详解】解：，展开式中不含项，，，故选：D．3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（

）A．7 B． C．14 D．【答案】D【分析】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．由题意可得是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可．【详解】解：因为可以用完全平方公式进行因式分解，所以，所以．故选：D．二、填空题4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若是完全平方式，则m的值是．【答案】1或【分析】本题主要考查完全平方式的概念，掌握完全平方式的形式特点是解题的关键．根据完全平方式的定义，可得，即可求出m的值．【详解】解：一般地，形如的式子叫做完全平方式．由于，所以解得或故答案为：或5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，m，n为正整数，则的值等于．【答案】【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，幂的乘方，利用运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则，正确进行变形是解此题的关键．【详解】解：∵，，m，n为正整数，∴，故答案为：．6．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则．【答案】【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为．【详解】解：∵，又∵结果中不含项与项，∴，，∴，，∴，故答案为：．三、解答题7．（23-24七年级下·江西九江·期中）利用公式计算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，完全平方公式，根据新定义进行计算是解题的关键．（1）根据二阶行列式的运算法则进行计算即可求解；（2）根据二阶行列式的运算法则建立方程，根据完全平方公式进行计算，解方程即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：∵，∴，即，解得．9．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．(1)分别求m、n的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）根据整式的混合运算法则将括号打开，再合并同类项即可化简，再由题意可得，，求解即可；（2）将，代入式子计算即可得解．【详解】（1）解：，∵关于x的代数式化简后不含的项和常数项，∴，，∴，；（2）解：∵，，∴10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；(3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则．（1）利用逆用幂的乘方法则计算；（2）逆用同底数幂的乘法计算；（3）逆用幂的乘方法则计算．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得：；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，，∴，∴，∴，即．11．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”．(1)求的“和方差数”．(2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值．(3)若，求a，b的“和方差数”c．【答案】(1)19(2)0(3)【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键．（1）根据新定义计算即可；（2）根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可；（3）根据题意，可知，再将代入计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，；并写出上述过程所揭示的公式；(2)拓展提升：试利用这个公式计算：(3)迁移应用：计算【答案】(1)，，(2)(3)2【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练地推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键．（1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；由图①与图②阴影部分的面积相等可得公式；（2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．（3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可．【详解】（1）解：，，∵，∴；（2）解：；（3）解：.13．（24-25七年级下·四川雅安·阶段练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题：(1)已知，，则_______；(2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______；(3)若x满足，求的值．【答案】(1)6(2)5或(3)60【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．（1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出；（2）根据