2026年高考数学复习难题速递之平面向量及其应用（2025年11月）

第46页（共46页）2026年高考数学复习难题速递之平面向量及其应用（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．如图，已知在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．若b＝c，且满足PBPA=3，则其布洛A．3 B．33 C．35 D2．如图，在△ABC中，CA→⋅CB→=1，AC→=3AE→，BC→=3A．27 B．12 C．47 3．已知O是线段AB的中点，M，N分别是以OA，OB为直径的圆上的动点（异于点O），（）A．若OM→⋅OA→=B．若OM→⋅AB→=C．若存在实数λ，使得MN→=λD．若存在实数λ，使得OM→=4．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），C（x，y），点F，H分别是△ABC的外心和垂心，若FH→=1+A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0） C．(-∞，12] D．（5．已知点A（﹣1，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣6），则下列结论错误的是（）A．当且仅当P(14，B．当且仅当P(14，C．当且仅当P（0，0）时，|PA→D．当且仅当P（0，0）时，|PA6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是S=12c2a2-(c2A．当ac＝1时，S≤34 B．当ac＝2C．当ac＝1时，S≥34 D．当ac＝7．已知△ABC中，内角A，B，C满足C+A．π6B．sinAcosBC．b＞ccosA D．sin3A+sin3B＜sin3C8．已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别为a、b、c，则以下结论正确的是（）①B=②若a、b、c成等比数列，则△ABC为等边三角形；③若a＝2c，则△ABC为直角三角形；④若tanA+tanC+A．① B．①② C．①②③ D．①②③④二．多选题（共4小题）（多选）9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(3tanA+1)(3tanBA．C=B．△ABC面积的最大值为33C．a+b的最大值为43D．角C的平分线交AB于点D，则CD的最大值为3（多选）10．已知△ABC的外接圆半径为2，A=π3，AC＝ABA．sin2B+sin2C＝1 B．tanBtanC＝2 C．△ABC的面积为6 D．CA（多选）11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 B．若bcosA＝acosB，则△ABC为等腰三角形 C．若B=π4，a＝2，且该三角形有两解，则bD．存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍（多选）12．某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母C、Z．该会标的大致轮廓为如图所示的一个以O为圆心、AB为直径的半圆，和一段Z形折线ACBD组成，其中AB⊥AC，AB⊥BD，AB＝2，AC＝BD＝1．现有两动点P，Q在圆弧AB和线段BC、AC（包含端点）上运动，则下列说法正确的有（）A．|PQ→|B．若OP→=xC．PQ→⋅BDD．若|BP→|=|BQ→|，则PQ三．填空题（共4小题）13．已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P为直线l：2x+y﹣8＝0上的动点，则PA→•PB→的最小值为，当∠APB最大时，点P的横坐标为14．已知a1→，a2→，…，ak→，e→是平面内两两互不相等的非零向量，且满足|ai→|∈{1，2}（1≤i≤k），且对任意的m，n∈N*，当1≤m＜15．如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形ONPQR，使点P在弧AB上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，点R在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大．则符合要求的矩形PMON的面积为m2，五边形ONPQR的面积为m2．16．如图，已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条水平直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且BC＝20，则球体建筑物的半径为．四．解答题（共4小题）17．设m为不小于3的正整数，集合M＝{1，2，…，m}，λ1，λ2，…，λm满足i=1mλi=1，设α为平面，点O∉α，对任意i∈M，点Ai∈α（1）若m＝3，λ1＝λ2＝λ3，OA1⊥a，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A1，求直线OP与α所成角的大小；（2）证明：P∈α；（3）对任意i∈M，规定λm+i＝λi，Am+i＝Ai．设点Ps，t满足OPs，t→=mti=ss+t-1λiOAi→，s，t∈M，证明：存在u∈M，使得对任意v∈M18．为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域ABCD进行改造．如图，AB＝4（百米），BC＝2（百米），AD＝CD，AD⊥CD，∠ABC∈[π4，3π4]，M，N，E分别为边BC，AB，AC的中点，△BDE所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道DM，（1）若∠ABC=π2，求主干道（2）当∠ABC变化时，①证明运动健身区域△BDE的面积为定值，并求出该值；②求4条观景栈道总长度的取值范围．19．“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点；（Ⅱ）当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．请用上述知识解决下面的问题：在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA﹣（2b﹣c）sinB＝（2c﹣b）sinC．（1）求A；（2）已知a＝4，点M为△ABC的费马点．①若∠ABC＝45°，记∠MBC＝θ，求tanθ；②求|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|的取值范围．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，（1）求角A；（2）若△ABC为锐角三角形，求2sin2B+cosC-（3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：sinα﹣sinβ＝2cosα+β2sinα-β2，sinαsinβ=12[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）

2026年高考数学复习难题速递之平面向量及其应用（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCDADBDC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDADBCDACD一．选择题（共8小题）1．若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．如图，已知在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．若b＝c，且满足PBPA=3，则其布洛A．3 B．33 C．35 D【考点】三角形中的几何计算．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解；新定义类．【答案】C【分析】根据题设定义，利用三角形相似、正弦定理及余弦定理即可求解．【解答】解：由题意，b＝c，即AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则∠PCB＝∠PBA，在△PCB与△PBA中，∠PCB＝∠PBA，∠PAB＝∠PBC＝θ，所以△PCB∽△PBA，则BCAB即ac=3，所以a在△ABC中，由余弦定理，可得cos∠因为0＜∠ABC＜π，所以∠ABC所以∠BAC=2π3在△PAC中，由正弦定理得PCsin解得tanθ=故选：C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，属中档题．2．如图，在△ABC中，CA→⋅CB→=1，AC→=3AE→，BC→=3A．27 B．12 C．47 【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】设CF→=λCA→+μCD→=32λCE→+μ3CB→（λ，μ∈R），由【解答】解：设CF→=λCA→+∵A、F、D三点共线，B、F、E三点共线，∴λ+μ=1则CF→CF→⋅CA当且仅当4|CA→|=故选：C．【点评】本题考查平面向量的投影向量，考查共线向量定理的应用，属难题．3．已知O是线段AB的中点，M，N分别是以OA，OB为直径的圆上的动点（异于点O），（）A．若OM→⋅OA→=B．若OM→⋅AB→=C．若存在实数λ，使得MN→=λD．若存在实数λ，使得OM→=【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】建立坐标系，选项A，B中的条件均可转化为点M，N关于y轴对称或关于原点对称，分别就两种情况下命题是否成立讨论，通过举反例判断A，B选项；选项C的条件转化为MN→∥AB→，也是通过作图举反例，判断C选项；选项D的条件转化为M，【解答】解：以O为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则两圆关于y轴对称，A选项，因为OM→所以(OM则(OM→+若OM→+ON→=此时MN→与AB→不平行，且则不存在实数λ，使得MN→若(OM→+ON→则OP→⊥OA→，点此时点M，N关于y轴对称，MN→则存在实数λ，使得MN→=λB选项，由OM→⋅AB与A选项同理可知点M，N关于y轴对称或关于原点对称，当其关于y轴对称时，不存在实数λ，使得OM→=λC选项，若存在实数λ，使得MN→=λ由OM→⋅OA当M，N位于如图所示的位置时，上式不能成立，故C错误；D选项，存在实数λ，使得OM→则M，O，N三点共线，且由题可知M，N关于原点对称，则有OM→+ON即OM→即OM→⋅AB故选：D．【点评】本题考查向量共线的性质及数量积的性质，属中档题．4．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），C（x，y），点F，H分别是△ABC的外心和垂心，若FH→=1+A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0） C．(-∞，12] D．（【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】根据直线方程求解F，H的坐标，即可根据向量的坐标得x0=1+【解答】解：由于A，B关于原点对称，故F在y轴上，设C（x0，y0），则BC中点为(x0+12，y因此直线BC的垂直平分线方程为y-令x＝0，则y=故F(0BC边上的高所在的直线方程为y=故H(故FH→1+m故x0=1+即3(x由于y0≠0，因此y02=3(x02-1)故-1＜1+m1-m＜1，解得故选：A．【点评】本题考查直线方程，三角形外心和垂心的性质，考查平面向量的坐标运算，属中档题．5．已知点A（﹣1，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣6），则下列结论错误的是（）A．当且仅当P(14，B．当且仅当P(14，C．当且仅当P（0，0）时，|PA→D．当且仅当P（0，0）时，|PA【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】设P（x，y），得PA→+PB→+PC→+PD→=（1﹣4x，﹣3﹣4y），利用向量的模即可判断A；先求PA→+PB→=（﹣1﹣2x，3﹣2y），【解答】解：设点P（x，y），取AB的中点为M，CD中点为N，则M（-12，32），N（1则PA→=（﹣1﹣x，﹣y），PB→=（﹣x，3﹣y），PC→=（2﹣x，﹣y），PD→∴PA→+PB→+PC→+PD→=∴|PA→+PB当1-4x=0-3-4y=0，即x=14y=-34∵PA→+PB→=（﹣1﹣2x，3﹣2y），PC→+PD→=（∴（PA→+PB→）•（PC→+PD→）＝4（x-14∴当x=14y=-34时，（PA∵|PA→|+|PB→|+|PC→|+|PD→|≥|AC|+|BD当且仅当P（0，0）时，等号成立，故C正确；∵|PA→+PB→＝2[(x+∴|PA→+PB→|+|PC→+PD→|＝2（|PM当且仅当点P在线段MN上时，等号成立，故D错误．故选：D．【点评】本题考查向量的模、向量的数量的坐标运算、三角不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是S=12c2a2-(c2+A．当ac＝1时，S≤34 B．当ac＝2C．当ac＝1时，S≥34 D．当ac＝【考点】解三角形．【专题】对应思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用；运算求解；结构不良题．【答案】B【分析】分别由ac＝1、ac＝2结合基本不等式求最值即可判定选项．【解答】解：当ac＝1时，c2a2＝（ca）2＝1，再由c2+a2≥2ca＝2，且b=得S=但a＝c与ac＝1，a2+c2＝3不同时成立，则S＜12，故A错误，当ac＝2时，c2a2＝（ca）2＝4，再由c2+a2≥2ca＝4，且b=得S=当且仅当a＝c，即a=c=2时等号成立，故故选：B．【点评】本题考查三角形面积的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．7．已知△ABC中，内角A，B，C满足C+A．π6B．sinAcosBC．b＞ccosA D．sin3A+sin3B＜sin3C【考点】解三角形．【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．【答案】D【分析】利用特殊值排除A；利用构造函数法，结合导数、诱导公式等知识判断B；利用余弦定理以及作差比较法判断C；利用放缩法以及正弦定理判断D．【解答】解：对于A，不妨取A=则C+满足C+sinA＞π2对于B，由C+sinA＞整理得，sinA-设f（x）＝﹣x+sinx，x∈（0，π），则f′（x）＝1﹣cosx＜0，所以f（x）在（0，π）上单调递减，因为f(A)所以C＝π﹣A﹣B＞π所以A，因为y＝sinx在(0，π2)上单调递增，y＝cos所以sinA＜即sinA＜cosB，cosA＞sinB，所以sinAcosB+sinB对于C，由B知C∈所以cosC=a2+b2-c22由余弦定理得cosA=所以b-所以b＜ccosA，故C错误；对于D，由C知，a2+b2＜c2，故a＜c，b＜c，所以a3+b3＜a2c+b2c＜c3，由正弦定理可得sin3A+sin3B＜sin3C，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了解三角形，属于难题．8．已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别为a、b、c，则以下结论正确的是（）①B=②若a、b、c成等比数列，则△ABC为等边三角形；③若a＝2c，则△ABC为直角三角形；④若tanA+tanC+A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【考点】解三角形．【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．【答案】C【分析】由等差数列性质以及三角形内角和可求得B=π3由a、b、c成等比数列以及余弦定理可得a＝c，结合b2＝ac可得a＝b＝c，即②正确；由a＝2c，结合①中B=π3并利用余弦定理可得b易知A+C=2π3，并结合两角和的正切公式可知tanA，tan【解答】解：对于①，因为内角A、B、C成等差数列，所以A+C＝2B，且A+B+C＝π，即可得A+B+C＝3B＝π，可得B=π3对于②，若a、b、c成等比数列，可知b2＝ac，由①可知b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝ac，因此a2+c2﹣2ac＝（a﹣c）2＝0，可得a＝c，结合b2＝ac可得a＝b＝c，即②正确；对于③，若a＝2c，结合①中B=可知b2＝a2+c2﹣2accosπ3=4c2+c2﹣2c2＝3c2，因此因此满足c2+b2＝4c2＝a2，可知△ABC为直角三角形，即③正确；对于④，由①可知A+所以tan(得tanA+tanC+3=3tanAtanC＞所以tanA，tanC同号，当tanA＞0，tanC＞0时，A，C均为锐角，当tanA＜0，tanC＜0时，A，C均为钝角，显然不合题意，因此△ABC不可能为钝角三角形，即④错误．所以正确的序号为：①②③．故选：C．【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(3tanA+1)(3tanBA．C=B．△ABC面积的最大值为33C．a+b的最大值为43D．角C的平分线交AB于点D，则CD的最大值为3【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】由两角和的正切公式化简已知式，求得角A+B，从而得出角C可判定A；由余弦定理及基本不等式得ab≤43，从而得出三角形面积最大值可判定B；由正弦定理结合和化积公式求得a+b的范围可判定C【解答】解：选项A，由(3可得3tanAtanB即tanA+tanB=则A+B=π3选项B，由c＝2及余弦定理，可得a2+b2+ab＝c2＝4，则有4＝a2+b2+ab≥3ab，解得ab≤所以S△ABC=选项C，由正弦定理得asinA所以a+由A-B2所以a+b∈选项D，设角C的平分线长为x，则有12axsinπ由a2+b2+ab＝c2＝4，可得ab＝（a+b）2﹣4，所以x=由C可知：a+b∈(2，故选：BCD．【点评】本题考查两角和的正切公式、正弦定理及余弦定理的综合应用，属中档题．（多选）10．已知△ABC的外接圆半径为2，A=π3，AC＝ABA．sin2B+sin2C＝1 B．tanBtanC＝2 C．△ABC的面积为6 D．CA【考点】解三角形．【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．【答案】AD【分析】A选项，根据正弦定理得到cosB＝sinC，由同角三角函数关系即可判断；B选项，在cosB＝sinC基础上，由三角恒等变换得到tanB=2-3，进而求出sinB，cosB，sinC，cosC，得到tanBtanC＝﹣1即可判断；C选项，由正弦定理得a=23，b【解答】解：对于A，因为AC＝ABtanB，即ACcosB＝ABsinB，由正弦定理得sinBcosB＝sinCsinB，又B∈（0，π），故sinB＞0，所以cosB＝sinC，故sin2B+sin2C＝sin2B+cos2B＝1，故A正确；对于B，由A知，cosB＝sinC，因为A=所以cosB=即2-32cosB=1又sin2B+cos2B＝1，故(2-解得cosB=18-4故sinB=(2cosC＝﹣cos（B+π3）＝sinBsinπ3-=6=2故tanC=故tanBtanC=(2-3)(-2-3)=3﹣对于C，由正弦定理得asinA=bsinB=2R，又A=即a=4sinπ3=2故△ABC的面积为12absinC=对于D，CA=23(6故选：AD．【点评】本题考查了三角恒等变形，考查了正余弦定理的应用，属于难题．（多选）11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A．若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 B．若bcosA＝acosB，则△ABC为等腰三角形 C．若B=π4，a＝2，且该三角形有两解，则bD．存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍【考点】解三角形．【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】BCD【分析】对于A，由已知条件结合余弦定理只能判断C为锐角；对于B，由已知条件结合正弦定理得tanA＝tanB即可判断；对于C，由已知条件结合正弦定理即可判断b的范围；对于D，设三边长为n﹣1，n，n+1，C＝2A，从而cosC＝cos2A＝2cos2A﹣1，然后根据余弦定理建立关于n的方程，求出n即可判断．【解答】解：对于A，因为a2+b2＞c2，可得cosC=a2+b所以三角形不一定是锐角三角形，故A错误；对于B，bcosA＝acosB，由正弦定理可得sinBcosA＝sinAcosB，可得tanA＝tanB，又A，B∈（0，π），所以A＝B，则△ABC为等腰三角形，故B正确；对于C，若B=π4，a则asinB＜b＜a，即2＜b＜2即b的范围为（2，2），故C正确；对于D，设三边长为n﹣1，n，n+1，其中n为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，若C＝2A，从而cosC＝cos2A＝2cos2A﹣1，由余弦定理可得cosC=cosA=所以n-42(n-解得：n=5(所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理在解三角形中的应用，属于难题．（多选）12．某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母C、Z．该会标的大致轮廓为如图所示的一个以O为圆心、AB为直径的半圆，和一段Z形折线ACBD组成，其中AB⊥AC，AB⊥BD，AB＝2，AC＝BD＝1．现有两动点P，Q在圆弧AB和线段BC、AC（包含端点）上运动，则下列说法正确的有（）A．|PQ→|B．若OP→=xC．PQ→⋅BDD．若|BP→|=|BQ→|，则PQ【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】A：利用数形结合，以及圆的形式，即可判断；B：建立坐标系，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[π2，3【解答】解：A：由图可知，|PQ当点P，O，C三点共线时，等号成立，所以|PQ|的最大值为1+2，故AB：如图，建立平面直角坐标系，O(0所以（cosθ，sinθ）＝x（1，0）+y（1，2），所以x+y=cosθ2y=sinθ，所以x+y＝cosθ∈C：当点Q在线段AC上时，设Q（x，1），0≤x≤1，PQ→所以PQ→⋅BD→=当点Q在线段BC上时，BC所在直线方程为y＝2x﹣1，设Q（x，2x﹣1），0≤x≤1，PQ→所以PQ→⋅BD综上可知，PQ→⋅BD→的最大值为D：当点Q在线段AC上时，|BQ|≥2，|BP|≤2，当点P，Q与点A重合时，|BP|＝|BQ|，此时PQ→在BA→上的投影向量模长为当点Q在线段BC上时，PQ→=(x由|BP→|=|PQ→在BA→上的投影向量模长为设2(1+sinθ设f(所以f（t）的值域是[455-2，25]，所以综上可知，PQ→在BA→上的投影向量模长的取值范围是[0，故选：ACD．【点评】本题考查了平面向量的综合应用，属于难题．三．填空题（共4小题）13．已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P为直线l：2x+y﹣8＝0上的动点，则PA→•PB→的最小值为445，当∠APB最大时，点P的横坐标为16【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】445；16【分析】由题意设点P的坐标，求出PA→⋅PB→的表达式，由二次函数的选可得它的最大值；当∠APB最大时，以AB为弦的圆与直线l相切，且切点为点P，设圆的圆心坐标，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程，可得参数的值，即求出圆的方程，设点P的坐标，由点【解答】解：设点P（a，8﹣2a），因为A（﹣2，0），B（2，0），可得PA→=（﹣2﹣a，2a﹣8），PB→=（2﹣a，2可得PA→⋅PB→=（﹣2﹣a）（2﹣a）+（2a﹣8）2＝5a2﹣32a+60＝5（a所以当a=165时，PA→当∠APB最大时，以AB为弦的圆与直线l相切，此时圆心在AB的垂直平分线上，即圆心在y轴上，设圆心坐标为（0，m），半径为r，则r2＝22+m2＝4+m2，可得圆心（0，m）到直线l：2x+y﹣8＝0的距离d=|0+所以|m整理可得m2+4m﹣11＝0，解得m＝﹣2±15，因为圆心在y轴上，且圆与直线相切，所以m=因为圆心E（0，﹣2+15），半径r设点P的坐标为（x，8﹣2x），则（x﹣0）2+（8﹣2x+2-15整理可得：5x2因为圆与直线相切，即Δ＝（40+2015解得x=故答案为：445；16【点评】本题考查直线与圆相切的性质的应用及数量积的性质的应用，属于中档题．14．已知a1→，a2→，…，ak→，e→是平面内两两互不相等的非零向量，且满足|ai→|∈{1，2}（1≤i≤k），且对任意的m，n∈N*，当1≤m＜【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】4．【分析】由题意得到am→与an→在【解答】解：因为am所以am→与an将a1→，a2→，…，以e→所在直线为x因为|ai→|∈{1，2}，所以a1如图，作与x轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点，此时在e→上的数量投影为相同值的向量，最多有4故答案为：4．【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义，属于中档题．15．如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形ONPQR，使点P在弧AB上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，点R在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大．则符合要求的矩形PMON的面积为2m2，五边形ONPQR的面积为52m2【考点】解三角形．【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形．【答案】2；52【分析】设∠BOP=θ，θ∈(0，π2)，由题得到PM＝2cosθ，PN＝2sinθ，利用SPMON＝PM•PN，先求矩形PMON面积的最大值；接着设∠BOQ＝α，α∈【解答】解：由题，设∠BOP＝θ，θ∈则PM＝2cosθ，PN＝2sinθ，所以SPMON＝PM•PN＝2cosθ•2sinθ＝2sin2θ，所以当2θ=π2，即θ=π4时，（此时PM=2，MO=在此前提下，过Q点作QS⊥OB垂足为S，连接OQ，如图，设∠BOQ＝α，α∈在Rt△QOS中，有QS＝2sinα，OS＝2cosα，则RQ＝OS＝2cosα，RM=2则S=2sinαcosα令t=则α∈(π此时2sinαcosα＝1﹣t2，则S梯形所以当t=22即α=5π12所以符合要求的五边形ONPQR面积为52故答案为：2；52【点评】本题考查了求含sinx（型）函数的值域和最值，几何中的三角函数模型，解三角形，辅助角公式，属于难题．16．如图，已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条水平直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且BC＝20，则球体建筑物的半径为10．【考点】解三角形．【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】10．【分析】设球半径为R，结合图像利用三角形和球的性质表示|AB|，|AC|，再利用已知条件|BC|构造关于R的方程，利用正切化弦与两角差的正弦公式化简即得．【解答】解：根据题意作示意图如下，设该球体建筑物的半径为R，则|AO|，|AM|，|AN|均为球的半径，则∠ABN＝60°，∠ACM＝30°，所以∠ACO所以|AC所以|BC即R(1则R=20故答案为：10．【点评】本题考查了三角恒等变形及解三角形，属于难题．四．解答题（共4小题）17．设m为不小于3的正整数，集合M＝{1，2，…，m}，λ1，λ2，…，λm满足i=1mλi=1，设α为平面，点O∉α，对任意i∈M，点Ai∈α（1）若m＝3，λ1＝λ2＝λ3，OA1⊥a，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A1，求直线OP与α所成角的大小；（2）证明：P∈α；（3）对任意i∈M，规定λm+i＝λi，Am+i＝Ai．设点Ps，t满足OPs，t→=mti=ss+t-1λiOAi→，s，t∈M，证明：存在u∈M，使得对任意v∈M【考点】平面向量的综合题；直线与平面所成的角．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解；新定义类．【答案】（1）π3（2）证明：OP→=i=1m所以OP→-OA1→=i=1m（3）证明：由λm+i＝λi，Am+i＝Ai知，λi，Ai具有周期m，对OPs，t→=m若∃u∈M，当i=uu+v-1λ当mvi=uu+v-1λi≠1时，由周期性由抽屉原理，因u∈{1，2，3，．，m}，则必∃u∈M，使∀v∈M，都有Pu，v∈α或Pu，v∈a且Pu，v与O始终在α的不同侧．【分析】（1）用线面角的向量求法求解；（2）将已知条件转化为向量共面形式证明；（3）利用周期性及（2）中结论证明．【解答】解：（1）由已知，ΔA1A2A3是等边三角形，且OA1⊥平面A1A2A3，以A1为坐标原点，分别以A1A2，A1O所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设A1A2＝1，则A1（0，0，0），A2（1，0，0），A3(12，32，0)OP→又平面α的法向量为A1O→=(0，0，则sinθ=|OP→⋅（2）证明：OP→=i=1m所以OP→-OA1→=i=1m（3）证明：由λm+i＝λi，Am+i＝Ai知，λi，Ai具有周期m，对OPs，t→=m若∃u∈M，当i=uu+v-1λ当mvi=uu+v-1λi≠1时，由周期性由抽屉原理，因u∈{1，2，3，．，m}，则必∃u∈M，使∀v∈M，都有Pu，v∈α或Pu，v∈a且Pu，v与O始终在α的不同侧．【点评】本题考查线面所成角，向量共面等性质，属于难题．18．为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域ABCD进行改造．如图，AB＝4（百米），BC＝2（百米），AD＝CD，AD⊥CD，∠ABC∈[π4，3π4]，M，N，E分别为边BC，AB，AC的中点，△BDE所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道DM，（1）若∠ABC=π2，求主干道（2）当∠ABC变化时，①证明运动健身区域△BDE的面积为定值，并求出该值；②求4条观景栈道总长度的取值范围．【考点】解三角形；根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）32（2）①证明见解析，定值32；②[6+【分析】（1）利用勾股定理得到AC，根据两角和的余弦公式和余弦定理即可求解；（2）①设∠ABC＝α，由E为AC中点，易知BE→②设∠ABC＝α，∠BAC＝β，∠BCA＝γ，利用正弦定理、余弦定理和换元法即可求解．【解答】解：（1）因为AB=4所以在直角△ABC中，AC=AB又因为AD⊥所以在等腰直角△ACD中，AD=所以cos∠BCD＝cos（∠BCA+∠ACD）＝cos∠BCAcos∠ACD﹣sin∠BCAsin∠ACD=5所以在△BCD中，BD所以BD=32，即主干道BD的长为（2）证明：①设∠ABC＝α，由E为AC中点，易知BE→故BE→2=在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC′•cosα＝20﹣16cosα，所以AC=2因为AD⊥CD，AD＝CD，所以DE=所以cos∠所以S△②设∠ABC＝α，∠BAC＝β，∠BCA＝γ，因为M，N，E外别为边BC，AB，AC的中点，所以EM∥所以EN∥在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosα＝20﹣16cosα，由正弦定理ACsinα=BC因为AD＝CD，AD⊥CD，E为边AC的中点，所以DE⊥在△MDE中，cos∠由余弦定理得D=4+1在△NDE中，cos∠由余弦定理得D=1+1令t=因为α∈[π4，所以DM+令f(t)=9+4t+6+4t+3f(所以DN+DM+EN+EM的取值范围为[6+6【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于难题．19．“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点；（Ⅱ）当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．请用上述知识解决下面的问题：在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA﹣（2b﹣c）sinB＝（2c﹣b）sinC．（1）求A；（2）已知a＝4，点M为△ABC的费马点．①若∠ABC＝45°，记∠MBC＝θ，求tanθ；②求|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|的取值范围．【考点】解三角形．【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解；新定义类．【答案】（1）π3（2）①3-12；【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；（2）①由正弦定理得AC=463，分别在△MBC，△MAC中由正弦定理得到②由三角形面积公式得到|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|＝bc，再由正弦定理得到bc=163+【解答】解：（1）由正弦定理及2asinA﹣（2b﹣c）sinB＝（2c﹣b）sinC，得2a2﹣（2b﹣c）b＝（2c﹣b）c，整理得b2+c因为0＜A＜π，所以A=（2）因为△ABC是锐角三角形，M为费马点，所以∠AMC＝∠AMB＝∠BMC＝120°，①在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC=BC在△MBC中，由正弦定理得BCsin∠BMC在△MAC中，∠MAC＝60°﹣[180°﹣120°﹣（∠AMC﹣θ）]＝45°﹣θ，由正弦定理得ACsin∠AMC＜1＞，＜2＞两式相除得4AC=sin所以tanθ=②由S△ABC＝S△AMB+S△BMC+S△CMA，得12整理得|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|＝bc，因为bsin所以bc=64=16因为△ABC是锐角三角形，所以0＜∠ABC＜所以π6＜∠ABC＜所以323＜bc≤16，所以|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|【点评】本题考查解三角形，属于难题．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，（1）求角A；（2）若△ABC为锐角三角形，求2sin2B+cosC-（3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：sinα﹣sinβ＝2cosα+β2sinα-β2，sinαsinβ=12[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）【考点】解三角形．【专题】方程思想；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π3；（2）2；（3）1【分析】（1）由正弦定理与辅助角公式化简即可求得；（2）由三角恒等变换和三角函数的有界性即可求得；（3）由三角形的面积公式和正弦定理化简可得sinC﹣sinB＝sinBsinC，再由题中推得的公式结合题意化简可得sinC-B2【解答】解：（1）因为asinB=所以由正弦定理得：sinAsinB=因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以sinA=所以sinA=3cosA又因为A∈（0，π），所以A=（2）由（1）知A=π3因为△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜所以2=1-所以2B-π6∈(π6，5（3）由（1）知A=π3，因为c﹣b等于边BC所以S△ABC=12bcsinA=12ah=12由正弦定理得：sinBsinCsinA＝sinA（sinC﹣sinB），因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以sinC﹣sinB＝sinBsinC，又sinC-sinCsinB=所以sinC-B2=所以sinC【点评】本题考查利用正弦定理、三角形的面积公式，三角恒等变换等知识解三角形，属于中档题．

考点卡片1．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=14A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函数y=14000x2，易知满足①，当x＝400时，y＞故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=kt+1（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x=k且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x=2t+1生产成本为32x+3，每件售价32(32所以，y=[32(＝16x-t2+32=-（2）因为32t+1+t+12≥8当且仅当32所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．2．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．3．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．4．平面向量的综合题【知识点的认识】1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．2、相关概念（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．3、向量的加减运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量叫做a特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）向量的减法运算．求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→设a→=OA→，b特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一个向量，叫做a→与b5．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S=12a•ha（ha表示边②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由