广东省六校2025-2026学年高二上学期12月联合学业质量检测数学试题（含答案）

2025～2026学年度第一学期高二年级六校联数学科试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点(-3,2,5)关于平面Oxy对称的点的坐标是A.(—3,—2,-5)B.(—3,2,-5)2.圆x²+y²—2x—4y+4=0与圆(x—1)²+(y+2)²=9的位置关系为A.内切B.相交C.外切D.相离3.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为A.(0,-1,-1)B.(-1,0,-1)5.设F₁,F₂是椭的左、右焦点，过F₁的直线交椭圆于A,B两点，若AF₂|+|BF₂|的最大值为5,则椭圆的离心率为6.已知O为正方形ABCD的中心，E,F分别为BC,AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线7.已知直线l₁:mx+y-m—3=0与l2:x-my+m-3=0相交于点M,线段AB是圆A.6√2+2B.6√2+4C.8√2+4D.8√2+2【高二年级六校联合学业质量检测数学卷第1页(共4页)】6163B则下列结论不正确的是A.点D(2√2,0)在曲线C上二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。A.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底B.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA+2OB-3OC,则P,A,B,C四点共面C.直线3x+4y+5=0的方向向量可以是n=(3,4)10.若实数x,y满足(x-2)²+y²=1,则C.2x+y≤5D.|3x+4y+10|≤2111.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,点P在侧面BB₁C₁C的边界及其内部运动.下列说法正确的是C.若点O为底面ABCD的中心，且D₁OLOP,则△D₁C₁P面积的最D.若tan∠PDC=2tan∠PAB,则点P的轨迹的长度12.已知直线4x+3y+2m=0与圆C:(x+3)²+(y-1)²=1相交，则整数m的一个取值可能的斜率为2.若△PF₁F₂是直角三角形，且面积为8,则双曲线的方程为【高二年级六校联合学业质量检测数学卷第2页(共4页)】14.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆C(a>b>0)的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其方程为x²+y²=a²+b².已知椭圆C的离心率,点A,B均在椭圆C上，则动点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 (用含b的式子表示);若b=1,椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA⊥MB,则AB|的取值范围为.(第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15.(本小题满分13分)已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(2,4),底边的一个端点为B(-2,0).(1)求AB的中垂线l的一般方程；(2)求底边的另一个端点C的轨迹.16.(本小题满分15分)(1)求证：四边形AEC₁F为平行四边形；(2)若底面ABCD为正方形，且AB=4,AA₁=3,∠A₁AB=∠A₁AD=60°,AC₁与EF相交于点M,求点M到直线AB的距离.17.(本小题满分15分)双曲线C上任意一点.(1)求双曲线C的方程；(3)若双曲线C的左顶点为A₁,右焦点为F₂,求PA₁·PF₂的最小值.【高二年级六校联合学业质量检测数学卷第3页(共4页)】18.(本小题满分17分)(2)若点P,A,B,C都在半径为√5的球O的表面上.(ii)求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值.19.(本小题满分17分)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为C的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)试确定m的取值范围，使得椭圆C上有两个不同的点关于直线y=4x+m对称；(3)若A,B是椭圆C上的两动点(A,B两点不关于x轴对称),O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为k₁,k₂,问是否存在非零常数λ,使得k₁·k₂=λ时，△AOB的面积S为定值?【高二年级六校联合学业质量检测数学卷第4页(共4页)】6163B题号12345678答案BCCADADB题号9答案2.C圆C₁:x²+y²—2x—4y+4=0,即(x—1)²+(y—2)²=1,表示以C₁(1,2)为圆心，半径等于1的圆，圆为圆心，半径等于3的圆，∴两圆的圆心距d=√(1-1)²+(2+2)²=4,∵4=3+1,∴两个圆外切.所以向量b在向量a上的投影向量.故选C.|n+2|=3,解得n=1或n=-5,故m+n=2+1=3或m+n=2-5=—3,即m+n=±3.,所以8—b²=5,解得b=√3,所以c=√a²—b²=1,.故选D.6.A如图所示，易知OA⊥BD,OC⊥BD,所以结合已知有OA⊥OB,OC⊥OD,<OB,OD>=π,设正方形边长为2,所以OA=OB=OC=OD=√2,OE=OF=1,,故选A.7.D依题意得C(-1,-1),半径r=2,设M点坐标为(x,y),易知直线l₁:mx+y-m-3=0恒过点E(1,3),直线l2:x—my+m—3=0恒过点F(3,1),所以点M的轨迹是以EF为直径的圆，EF的中点为故点M的轨迹为圆G:(x—2)²+(y-2)²=2,但是去掉点(1,1),【高二年级六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第1页(共6页)】6163B故点D在以(-1,-1)为圆心，半径为1的圆上，|CG|=√(-1-2)²+(-1-2)²=3√2,直线CG为y=x,联立y=x与G:(x—2)²+(y—2)²=2得或(舍去),M(3,3).8.B对于A,因为|DF₁||DF₂|=(2√2+2)(2√2-2)=4,由定义知D∈C,故A正确；化简得x⁴—6x²+9=0,所以x=√3,|MF₁|=√(3+2)²+1≠2√2,B错误；故选B.对于C,直线3x+4y+5=0的斜率,C错误； ,故A正确；对于B,由(x—2)²+y²≥2(x—2)y知,当且仅当或时对于C,设2x+y=t,则直线2x+y-t=0与圆(x-2)²+y²=1有公共点，,圆上的点到直线l:3x+4y+10=0的距离的5倍的最大值等于则A₁(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C0,2,0),B₁(2,2,2),D₁(0,0,2对于AB,由,则A₁B=(0,2,-2),,设平面A₁BP的法向量为n=(a,b,c),则,取b=c=2,得a=1,故平面A₁BP的一个法向量为n=(1,2,2).又D₁A₁=(2,0,0),则点D₁到平面A₁BP的距离为,B错误；正方体ABCD-A₁B₁CD₁的棱长为2,所以B₁F=BF=1,DO=BO=OC=√2,由OC∩OF=O可得OD₁⊥平面OCF,所以OD₁⊥CF,所以点P的轨迹为线段CF,又C₁F=√B₁C+B₁F²=√5>C₁C=2,所以△D₁C₁P面积的最大值√5,C正确；(C选项建系方法更快)对于D,BC⊥平面CDD₁C,BC⊥平面ABB₁A₁,所以△PDC,△PAB都是直角三角形.在侧面BCC₁B₁中以点B为坐标原点，以BC,BB₁所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则BC0,0),C(2,0),设P(x,y),则整理得到，圆,所以点P是在以为圆心，以为半径的圆上.又因为P在侧面BCC₁B₁(含边界)上运动，所以点P轨迹是圆上的一段劣弧MN(M,N分别是圆Q与BC,BB₁的交点),因为,所以,则点P的轨迹长三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3(或4,5,6,只需填写一个答案即可)圆心C(-3,1)到直线4x+3y+2m=0的距离,由,得2<m<7,所以整数m的所有可能取值为3,4,5,6.13.如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F₁PF₂=90°,设|PF₂|=m,∠PF₂F₁=θ₁,因为∠F₁PF₂=90°,所以kpF₁·kpF₂=-1,得,即,sinθ₂由正弦定理可得|PF₁|:|PF₂|:|F₁F₂|=sinθ₁:sinθ₂:sin90°=2:1:√5,【高二年级六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第3页(共6页)】6163B若b=1,则椭圆C的方程,即x²+3y²=3,蒙日圆方程为x²+y²=4,故直线MA的方程为x1x+3yy=3,直线MB则AE=FC₁,即AE=FC₁且AE//FC₁,所以四边形AEC₁F为平行四边形.……………5分………9分则点M到直线AB的距离为14分…7分函数的对称轴为又PC二平面PAC,所以AB⊥PC.……(i)设O(a,b,c),c>0,由AO=BO=CO=√5,得a²+b²+c²=(a-2)²+b²+c²=a²+(b—2)²+c²=5,由PC=2,OP=√5,得(d-2)²+e²=2²,(0-1)²+(d-1)²+(e—√3)²解得d=3,e=√3,∴P(0,3,√3),………8分PA=√(0—0)²+(3—0)²+(√3-0)²=2√3.………9取z1=√3,则y₁=-1,得n=(0,-1,√3),………………12分第5页(共6页)】19.解：(1)由已知可设椭圆C的方程,则,解得b²=1,∴椭圆C的方程为……………3分(2)令椭圆上M(xi,y1),N(x2,y2)两点关于直线y=4x+m对称，MN的中点为Q(x₀,yo),则.因为点M,N在椭圆上，所以,两式相减得 ,又因为x₁+x2=2x₀,y₁+y₂=2y₀,所即yo=xo,所以