高三数学数列的概念选择题专项训练单元-易错题提优专项训练

高三数学数列的概念选择题专项训练单元易错题提优专项训练一、数列的概念选择题1．数列满足：，其前项积为，则（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根据递推公式推导出，且有，再利用数列的周期性可计算出的值.【详解】，，，，，，，且，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.2．已知数列满足，，则的值不可能是（）A．2 B．4 C．10 D．14答案：B解析：B【分析】先由题中条件，得到，由累加法得到，根据，，逐步计算出所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由得，则，所以，，……，，以上各式相加可得：，所以，又，所以，则，因为，，则，所以，则或，所以或；则或，所以或；则或或，所以或或；则或或，所以或或；……，以此类推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值为，所以所有可能取的值为，，，，，，，，，，；则所有可能取的值为，，，，，，，，，，，即ACD都有可能，B不可能.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到，将问题转化为求的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.3．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357答案：C解析：C【分析】由题意可知，得数列是周期为3的周期数列，前3项和为，又，由此可得答案【详解】解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列为，所以数列是周期为3的周期数列，前3项和为，因为，所以数列的前2020项的和为故选：C4．已知在数列中，，则的值为（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由累乘法可求得，即可求出.【详解】，即，，.故选：C.5．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由转化为，利用叠加法，求得，即可求解.【详解】由，可得，所以，所以.故选：B.【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；3、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.6．函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.【详解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正数零点从小到大构成数列为：故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.7．设数列满足若，则（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由题意有且，即可求，进而可得，即可比较它们的大小.【详解】由题意知：，，∴，而，∴，故选：C【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624 B．1198 C．1024 D．1560答案：C解析：C【分析】设该数列为，令，设的前项和为，又令，则，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为，易得，所以，，进而得，所以，同理：所以，所以.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.9．在数列中，，()，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】通过递推公式求出可得数列是周期数列，根据周期即可得答案.【详解】解：，，，则数列周期数列，满足，，故选：B.【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.10．已知等差数列中，，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】利用等差数列的通项公式代入可得的值.【详解】由，得，则有.故选：B.【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.11．已知数列按如下规律分布（其中表示行数，表示列数），若，则下列结果正确的是（）第1列第2列第3列第4列…第1行1391933第2行751121第3行17151323第4行31292725┇A．， B．， C．， D．，答案：C解析：C【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完次后，排出的数呈正方形.可先算是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置.【详解】每排完次后，数字呈现边长是的正方形，所以排次结束后共排了个数.，说明是个奇数.而，故一定是行，而从第个数算起，第个数是倒数第个，根据规律第个数排在第行第列，所以第个数是第行第列，即在第行第列.故.故选：C.【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.12．已知数列满足，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由题意可得，，，……，再将这2019个式子相加得到结论.【详解】由题意可知，，，……，这个式子相加可得.故选：B.【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.13．对于实数表示不超过的最大整数.已知正项数列满足，，其中为数列的前项和，则（）A．135 B．141 C．149 D．155答案：D解析：D【分析】利用已知数列的前项和求其得通项，再求【详解】解：由于正项数列满足，，所以当时，得，当时，所以，所以，因为各项为正项，所以因为,,,,.所以，故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.14．已知数列满足，，且，则数列的前项和为（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】将题干中的等式化简变形得，利用累乘法可求得数列的通项公式，由此计算出，进而可得出数列的前项和.【详解】，将此等式变形得，由累乘法得，，，，因此，数列的前项和为.故选：B.【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．已知数列，3，，，…，，…，则是它的（）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项答案：D解析：D【解析】【分析】根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项.【详解】根据数列中的项,都改成根式形式为,,,,…,,由前几项可知,根式下的数列是以5为首项,4为公差的等差数列则根式下的数字组成的等差数列通项公式为而所以解得故选:D【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.二、数列多选题16．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A． B．是偶数 C． D．…答案：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加得，所以，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.17．已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A． B．C． D．答案：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，解析：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC18．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（）A． B．是递增数列C． D．答案：ABD【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，解析：ABD【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，即，所以，，故A正确；C不正确；由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；,所以因此，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.19．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是（）A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列答案：ABC【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】数列的前项和为，且满足，，∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4，∴，可得解析：ABC【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】数列的前项和为，且满足，，∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4，∴，可得，∴时，，，对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题20．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列答案：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；解析：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.21．已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．当且仅当时，取得最大值答案：AC【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，则，解得.所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的解析：AC【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，则，解得.所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前项和的最值问题，是中档题.等差数列前项和的最值得求解常见一下两种情况：（1）当时，有最大值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；（2）当时，有最小值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；22．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大C． D．答案：ABD【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误解析：ABD【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD.23．记为等差数列前项和，若且，则下列关于数列的描述正确的是（）A． B．数列中最大值的项是C．公差 D．数列也是等差数列答案：AB【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列中，即，.对于A选项，，所以A选项正确.对于C选项，，，所以，解析：AB【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列中，即，.对于A选项，，所以A选项正确.对于C选项，，，所以，所以C选项错误.对于B选项，，令得，由于是正整数，所以，所以数列中最大值的项是，所以B选项正确.对于D选项，由上述分析可知，时，，当时，，且.所以数列的前项递减，第项后面递增，不是等差数列，所以D选项错误.故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前项和的最值，可以令或来求解.24．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（）A．若，则；B．若，则使的最大的n为15C．若，，则中最大D．若